Chapitre 7 – Mouvements : cinématique du point
Chapitre 7 | Première STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Physique-Chimie
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
⏱ Durée de lecture estimée : ~20 min
Objectifs du chapitre :
- Choisir un référentiel d'étude et comprendre que la description d'un mouvement en dépend.
- Estimer des ordres de grandeur de vitesses et d'accélérations dans des situations de la vie courante.
- Définir et calculer une vitesse moyenne à partir d'un relevé de positions.
- Relier la vitesse instantanée au nombre dérivé de la position : \(v_x=\dfrac{dx}{dt}\).
- Citer et exploiter la relation entre les coordonnées de la position et celles du vecteur vitesse.
- Exploiter la relation entre vitesse et accélération pour un mouvement rectiligne à accélération constante.
- Exploiter une loi de vitesse pour construire une approximation des positions par la méthode d'Euler.
- Tracer et interpréter une trajectoire.
Situation. Un technicien de laboratoire suit, à l'aide d'une vidéo, la chute d'une bille dans un tube. Image après image, il relève la position de la bille. Comment passer de ce simple tableau de positions à la vitesse de la bille à chaque instant, puis à son accélération ? Et inversement, si l'on connaît la loi qui donne la vitesse au cours du temps, comment reconstruire les positions sans résoudre d'équation compliquée ? La cinématique du point répond à ces questions : elle décrit le mouvement d'un objet — réduit à un point — sans se soucier des causes (les forces), à l'aide de trois grandeurs liées : position, vitesse, accélération.
1. Référentiel et repère d'étude
Définition — système, point matériel
Le système est l'objet dont on étudie le mouvement. Lorsque sa taille est négligeable devant les distances parcourues, ou qu'on ne s'intéresse pas à sa rotation propre, on le modélise par un point matériel : toute la matière est ramenée à un point unique (souvent son centre). Une bille, une voiture vue de loin, une planète peuvent être traitées comme des points matériels.
Définition — référentiel
Un référentiel est un solide de référence par rapport auquel on repère les positions, muni d'une horloge pour mesurer le temps. Décrire un mouvement n'a de sens que par rapport à un référentiel choisi. Les plus courants :
- le référentiel terrestre (lié au sol, au laboratoire) : le plus utilisé au lycée ;
- le référentiel géocentrique (lié au centre de la Terre) : mouvements de satellites, de la Lune ;
- le référentiel héliocentrique (lié au centre du Soleil) : mouvements des planètes.
La description du mouvement dépend du référentiel
Un même objet peut être immobile dans un référentiel et en mouvement dans un autre. Un passager assis dans un train est immobile par rapport au wagon, mais en mouvement par rapport au quai. Choisir le référentiel est donc la première étape de toute étude de mouvement.
Définition — repère et coordonnées
Pour repérer numériquement la position du point, on associe au référentiel un repère : une origine \(O\) et des axes \((Ox)\), \((Oy)\). La position du point \(M\) est donnée par ses coordonnées \((x\,;y)\), exprimées en mètres (m) dans le Système international. Au cours du mouvement, ces coordonnées varient dans le temps : ce sont des fonctions \(x(t)\) et \(y(t)\).
Mini-exercice 1. Une mouche est posée sur la vitre latérale d'une voiture qui roule sur l'autoroute. La mouche est-elle en mouvement ou immobile (a) par rapport à la voiture ? (b) par rapport au sol ?
(a) Par rapport à la voiture (référentiel lié au véhicule), la mouche est immobile. (b) Par rapport au sol (référentiel terrestre), la mouche est en mouvement : elle avance avec la voiture. Le mouvement dépend du référentiel choisi.
2. Trajectoire
Définition — trajectoire
La trajectoire d'un point matériel est l'ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du temps, dans un référentiel donné. On la trace en reliant les points relevés. Selon sa forme, le mouvement est dit :
- rectiligne si la trajectoire est une droite ;
- circulaire si la trajectoire est un cercle ;
- curviligne dans les autres cas (courbe quelconque).
3. Vitesse moyenne
Définition — vitesse moyenne
La vitesse moyenne d'un point entre deux instants est le quotient de la distance parcourue \(d\) par la durée \(\Delta t\) mise à la parcourir :
\(v_{moy}=\dfrac{d}{\Delta t}\)
Dans le Système international, \(d\) est en mètres (m), \(\Delta t\) en secondes (s), donc \(v_{moy}\) en mètres par seconde (m·s\(^{-1}\)).
Conversion m·s⁻¹ ↔ km·h⁻¹
Pour passer des m·s\(^{-1}\) aux km·h\(^{-1}\), on multiplie par 3,6 ; dans l'autre sens, on divise par 3,6.
\(1\ \text{m·s}^{-1}=3{,}6\ \text{km·h}^{-1}\)
Exemple : \(20\ \text{m·s}^{-1}=20\times3{,}6=72\ \text{km·h}^{-1}\).
Exemple travaillé. Un coureur parcourt \(d=400\) m en \(\Delta t=50\) s.
Vitesse moyenne : \(v_{moy}=\dfrac{400}{50}=8{,}0\ \text{m·s}^{-1}\), soit \(8{,}0\times3{,}6\approx29\ \text{km·h}^{-1}\).
Vitesse moyenne : \(v_{moy}=\dfrac{400}{50}=8{,}0\ \text{m·s}^{-1}\), soit \(8{,}0\times3{,}6\approx29\ \text{km·h}^{-1}\).
Mini-exercice 2. Une voiture parcourt \(90\) km en \(1\) h. (a) Donner sa vitesse moyenne en km·h\(^{-1}\). (b) La convertir en m·s\(^{-1}\).
(a) \(v_{moy}=\dfrac{90\ \text{km}}{1\ \text{h}}=90\ \text{km·h}^{-1}\). (b) \(v_{moy}=\dfrac{90}{3{,}6}=25\ \text{m·s}^{-1}\).
4. Ordres de grandeur de vitesses et d'accélérations
Savoir estimer un ordre de grandeur
Une compétence essentielle est de situer un mouvement en ordre de grandeur, pour vérifier qu'un résultat est vraisemblable. Quelques repères utiles :
| Mouvement | Vitesse (ordre de grandeur) |
|---|---|
| Marche d'un piéton | \(\approx 1{,}4\ \text{m·s}^{-1}\) (5 km·h\(^{-1}\)) |
| Coureur (100 m) | \(\approx 10\ \text{m·s}^{-1}\) (36 km·h\(^{-1}\)) |
| Voiture sur route | \(\approx 25\ \text{m·s}^{-1}\) (90 km·h\(^{-1}\)) |
| Avion de ligne | \(\approx 250\ \text{m·s}^{-1}\) (900 km·h\(^{-1}\)) |
| Son dans l'air | \(\approx 340\ \text{m·s}^{-1}\) |
| Lumière dans le vide | \(\approx 3{,}0\times10^{8}\ \text{m·s}^{-1}\) |
Ordres de grandeur d'accélérations
L'accélération se mesure en mètres par seconde carrée (m·s\(^{-2}\)). Quelques repères : la chute libre (pesanteur) vaut \(g\approx9{,}8\ \text{m·s}^{-2}\) ; une voiture qui démarre franchement \(\approx 3\ \text{m·s}^{-2}\) ; un freinage d'urgence \(\approx 8\ \text{m·s}^{-2}\). Un ordre de grandeur de quelques m·s\(^{-2}\) est donc typique des mouvements courants.
Mini-exercice 3. Un TGV roule à \(320\) km·h\(^{-1}\). (a) Convertir cette vitesse en m·s\(^{-1}\). (b) Est-elle plus grande ou plus petite que la vitesse du son dans l'air ?
(a) \(v=\dfrac{320}{3{,}6}\approx89\ \text{m·s}^{-1}\). (b) \(89\ \text{m·s}^{-1}\) est bien plus petit que la vitesse du son \(\approx340\ \text{m·s}^{-1}\).
5. Vitesse instantanée et vecteur vitesse
Définition — vitesse instantanée et nombre dérivé
La vitesse instantanée à un instant donné est la vitesse moyenne calculée sur une durée très courte autour de cet instant. Mathématiquement, elle est le nombre dérivé de la position par rapport au temps. Pour un mouvement le long de l'axe \((Ox)\), la coordonnée de la vitesse est :
\(v_x=\dfrac{dx}{dt}\)
De même, si le point se déplace aussi selon \((Oy)\) : \(v_y=\dfrac{dy}{dt}\). Ces coordonnées sont en m·s\(^{-1}\).
Méthode — estimer la vitesse à partir d'un relevé de positions
En pratique, on n'a pas la fonction \(x(t)\) mais un tableau de positions relevées à intervalles réguliers \(\Delta t\). On approche alors le nombre dérivé à un instant \(t_i\) par la vitesse moyenne calculée entre l'instant précédent et l'instant suivant :
\(v_x(t_i)\approx\dfrac{x_{i+1}-x_{i-1}}{t_{i+1}-t_{i-1}}\)
Cette vitesse moyenne « centrée » est d'autant plus proche de la vitesse instantanée que \(\Delta t\) est petit.
Définition — vecteur vitesse
À chaque instant, la vitesse est représentée par un vecteur vitesse \(\vec{v}\), qui possède :
- une direction : celle du mouvement, c'est-à-dire tangente à la trajectoire ;
- un sens : celui du mouvement ;
- une valeur (ou norme) \(v\), en m·s\(^{-1}\), donnée par la longueur du vecteur.
Mini-exercice 4. Un mobile se déplace sur l'axe \((Ox)\). On relève : à \(t=0{,}20\) s, \(x=0{,}80\) m ; à \(t=0{,}40\) s, \(x=1{,}60\) m. Estimer la valeur de la vitesse à \(t=0{,}30\) s.
On approche le nombre dérivé par la vitesse moyenne entre ces deux instants : \(v_x\approx\dfrac{1{,}60-0{,}80}{0{,}40-0{,}20}=\dfrac{0{,}80}{0{,}20}=4{,}0\ \text{m·s}^{-1}\).
6. Accélération
Définition — accélération
L'accélération mesure la façon dont la vitesse varie au cours du temps. Pour un mouvement le long de \((Ox)\), sa coordonnée est le nombre dérivé de la vitesse :
\(a_x=\dfrac{dv_x}{dt}\)
Elle s'exprime en mètres par seconde carrée (m·s\(^{-2}\)). Une accélération est positive quand la vitesse augmente (sur l'axe), négative quand elle diminue.
Méthode — estimer l'accélération à partir d'un relevé de vitesses
Comme pour la vitesse, on approche l'accélération à partir d'un tableau de vitesses relevées :
\(a_x\approx\dfrac{\Delta v_x}{\Delta t}=\dfrac{v_x(t_{i+1})-v_x(t_i)}{t_{i+1}-t_i}\)
On estime donc l'accélération à partir d'un relevé de vitesses, comme on estime la vitesse à partir d'un relevé de positions.
7. Mouvement rectiligne à accélération constante
Définition — mouvement rectiligne uniformément accéléré
Un mouvement est rectiligne lorsque la trajectoire est une droite, et uniformément accéléré lorsque l'accélération \(a\) est constante au cours du temps. La chute libre (sans frottement) en est l'exemple type : \(a=g\approx9{,}8\ \text{m·s}^{-2}\).
Relation vitesse-accélération (accélération constante)
Si l'accélération \(a\) est constante, la vitesse varie de façon linéaire avec le temps. En notant \(v_0\) la vitesse à l'instant \(t=0\) :
\(v(t)=a\,t+v_0\)
C'est l'équation d'une droite : le graphe de la vitesse en fonction du temps est une droite de pente \(a\) et d'ordonnée à l'origine \(v_0\).
Exemple travaillé — accélération d'une voiture. Une voiture démarre du repos (\(v_0=0\)) avec une accélération constante \(a=2{,}5\ \text{m·s}^{-2}\).
Vitesse au bout de \(t=4{,}0\) s : \(v=a\,t+v_0=2{,}5\times4{,}0+0=10\ \text{m·s}^{-1}\), soit \(36\ \text{km·h}^{-1}\).
Vitesse au bout de \(t=4{,}0\) s : \(v=a\,t+v_0=2{,}5\times4{,}0+0=10\ \text{m·s}^{-1}\), soit \(36\ \text{km·h}^{-1}\).
Mini-exercice 5. Une bille tombe en chute libre (\(a=g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}\)) sans vitesse initiale (\(v_0=0\)). Quelle est sa vitesse au bout de \(t=1{,}5\) s ?
\(v=g\,t+v_0=9{,}8\times1{,}5+0=14{,}7\approx15\ \text{m·s}^{-1}\).
8. De la vitesse aux positions : la méthode d'Euler
Définition — méthode d'Euler
Quand on connaît la loi de vitesse \(v(t)\), la méthode d'Euler permet de reconstruire pas à pas les positions successives, sans intégrer. On avance par petits incréments de temps \(\Delta t\) : pendant un pas, on suppose la vitesse à peu près constante, donc le point avance de \(v_n\,\Delta t\) :
\(x_{n+1}=x_n+v_n\,\Delta t\)
On calcule ainsi de proche en proche \(x_0, x_1, x_2, \dots\) à partir de la position de départ \(x_0\).
Influence du pas \(\Delta t\)
La méthode d'Euler est approchée : elle suppose la vitesse constante sur chaque pas, ce qui est faux si la vitesse varie. Plus le pas \(\Delta t\) est petit, plus l'approximation des positions est précise — mais plus il faut d'étapes de calcul. C'est un compromis entre précision et temps de calcul.
Méthode — dérouler Euler « à la main »
On dispose la vitesse, puis on met à jour la position. Exemple avec \(v(t)=2t\) (donc \(a=2\ \text{m·s}^{-2}\)), \(x_0=0\), \(\Delta t=0{,}5\) s :
| \(n\) | \(t_n\) (s) | \(v_n=2t_n\) (m·s⁻¹) | \(x_{n+1}=x_n+v_n\,\Delta t\) (m) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | \(0+0\times0{,}5=0\) |
| 1 | 0,5 | 1,0 | \(0+1{,}0\times0{,}5=0{,}50\) |
| 2 | 1,0 | 2,0 | \(0{,}50+2{,}0\times0{,}5=1{,}50\) |
Programme Python (méthode d'Euler)
Le même calcul se programme en quelques lignes. Ici, la loi de vitesse est \(v(t)=2t\), le pas
dt et la position de départ x sont fixés :
dt = 0.5 # pas de temps (s)
x = 0.0 # position de depart (m)
t = 0.0
# on affiche tant que t < 2 s
while t < 2.0:
v = 2 * t # loi de vitesse v(t) = 2t
x = x + v * dt # methode d'Euler : x_(n+1) = x_n + v_n * dt
t = t + dt
print(round(t, 2), round(x, 3))
dt (par exemple \(0{,}1\) s puis \(0{,}01\) s), on obtient une approximation de plus en plus fine des positions.
Erreurs fréquentes
- ❌ Décrire un mouvement sans préciser le référentiel → ✅ toujours choisir et nommer le référentiel d'étude.
- ❌ Confondre vitesse moyenne et vitesse instantanée → ✅ la vitesse instantanée est le nombre dérivé \(v_x=dx/dt\), estimé sur une très courte durée.
- ❌ Dessiner le vecteur vitesse n'importe comment → ✅ il est toujours tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement.
- ❌ Oublier de convertir les unités → ✅ toujours revenir aux unités SI (m, s, m·s\(^{-1}\), m·s\(^{-2}\)) ; \(1\ \text{m·s}^{-1}=3{,}6\ \text{km·h}^{-1}\).
- ❌ Croire qu'Euler donne le résultat exact → ✅ c'est une approximation ; elle s'améliore quand \(\Delta t\) diminue.
- ❌ Utiliser \(v=a\,t+v_0\) alors que \(a\) n'est pas constante → ✅ cette relation ne vaut que pour un mouvement à accélération constante.
À retenir
- Un mouvement se décrit toujours par rapport à un référentiel ; la trajectoire est l'ensemble des positions successives.
- Vitesse moyenne : \(v_{moy}=\dfrac{d}{\Delta t}\) (en m·s\(^{-1}\)) ; \(1\ \text{m·s}^{-1}=3{,}6\ \text{km·h}^{-1}\).
- Vitesse instantanée = nombre dérivé de la position : \(v_x=\dfrac{dx}{dt}\) ; accélération = nombre dérivé de la vitesse : \(a_x=\dfrac{dv_x}{dt}\).
- Le vecteur vitesse \(\vec{v}\) est tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement, de coordonnées \((v_x\,;v_y)\).
- Mouvement rectiligne à accélération constante : \(v(t)=a\,t+v_0\) (droite de pente \(a\)).
- Méthode d'Euler : \(x_{n+1}=x_n+v_n\,\Delta t\) reconstruit les positions à partir de la loi de vitesse ; plus \(\Delta t\) est petit, plus c'est précis.