Chapitre 1 – Mesure et incertitudes au laboratoire
Chapitre 1 | Première STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Physique-Chimie
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
⏱ Durée de lecture estimée : ~20 min
Objectifs du chapitre :
- Identifier les principales sources d'erreurs lors d'une mesure au laboratoire.
- Exploiter une série de mesures indépendantes (histogramme, moyenne, écart-type).
- Comparer plusieurs méthodes de mesure en termes de justesse et de fidélité.
- Procéder à une évaluation de type A d'une incertitude-type à partir d'une série de mesures.
- Procéder à une évaluation de type B à partir d'une notice constructeur ou d'une relation fournie.
- Exprimer un résultat avec le nombre de chiffres significatifs adaptés et l'incertitude-type associée.
- Discuter la validité d'un résultat en le comparant à une valeur de référence, en évaluant l'écart en nombre d'incertitudes-types.
Situation. Au laboratoire de chimie, un technicien prépare une solution étalon. Il pèse une masse de soluté à la balance, prélève un volume à la pipette jaugée, puis dose la solution obtenue. À chaque étape, l'appareil affiche un nombre — mais ce nombre n'est jamais la « vraie » valeur : la balance a une résolution finie, la verrerie une tolérance, le geste de l'opérateur varie légèrement. Mesurer au laboratoire, ce n'est pas relever un chiffre certain, c'est donner une valeur assortie d'une incertitude et savoir si le résultat est compatible avec une valeur attendue. C'est cette démarche — au cœur des sciences et technologies de laboratoire — que nous construisons dans ce chapitre.
1. Grandeur, valeur, unité SI
Définition — grandeur, valeur, unité
Une grandeur physique est une propriété que l'on peut mesurer (masse, volume, concentration, température…). Le résultat d'une mesure est le produit d'une valeur numérique et d'une unité :
grandeur = valeur numérique × unité
Ainsi \(m=12{,}53\ \text{g}\) : la grandeur est la masse \(m\), la valeur numérique est \(12{,}53\), l'unité est le gramme. Une valeur sans unité n'a aucun sens physique.
Définition — les 7 unités de base du Système international (SI)
Toutes les grandeurs se ramènent à sept grandeurs de base, chacune avec son unité SI :
Les autres unités sont dérivées : concentration en mol·L\(^{-1}\), volume en m\(^3\) (ou L), masse volumique en g·cm\(^{-3}\)…
| Grandeur de base | Unité SI | Symbole |
|---|---|---|
| Longueur | mètre | m |
| Masse | kilogramme | kg |
| Temps (durée) | seconde | s |
| Intensité électrique | ampère | A |
| Température | kelvin | K |
| Quantité de matière | mole | mol |
| Intensité lumineuse | candela | cd |
Préfixes multiplicateurs
On adapte l'unité à l'ordre de grandeur : kilo (k, \(\times10^{3}\)), milli (m, \(\times10^{-3}\)), micro (µ, \(\times10^{-6}\)), nano (n, \(\times10^{-9}\)). Ainsi \(250\ \text{mL}=250\times10^{-3}\ \text{L}=0{,}250\ \text{L}\) et \(5\ \text{µL}=5\times10^{-6}\ \text{L}\).
Mini-exercice 1. Donner l'unité SI de base et son symbole pour : (a) la masse d'un échantillon ; (b) la durée d'une réaction ; (c) la quantité de matière d'un réactif. Puis convertir \(0{,}25\ \text{L}\) en mL.
(a) masse → kilogramme (kg) ; (b) durée → seconde (s) ; (c) quantité de matière → mole (mol). Conversion : \(0{,}25\ \text{L}=250\ \text{mL}\).
2. Sources d'erreurs au laboratoire
Définition — erreur de mesure
L'erreur d'une mesure est l'écart entre la valeur mesurée \(x_{mes}\) et la valeur vraie de la grandeur (que l'on ne connaît jamais exactement). On ne peut pas la supprimer complètement : on cherche à l'estimer et à la réduire.
Deux familles d'erreurs
- Erreurs aléatoires : elles varient d'une mesure à l'autre de façon imprévisible (fluctuation de lecture du ménisque, agitation thermique, variation du geste de l'opérateur). En répétant les mesures, elles produisent une dispersion. On les réduit en répétant et en moyennant.
- Erreurs systématiques : elles décalent toutes les mesures dans le même sens (balance non tarée, pipette mal étalonnée, solution étalon périmée, ménisque toujours lu au-dessus du trait). Répéter ne les corrige pas : il faut ré-étalonner ou corriger l'instrument ou le protocole.
Sources d'erreurs typiques en laboratoire
- Instrument : résolution finie de la balance, tolérance de la verrerie jaugée, dérive du pH-mètre non étalonné.
- Opérateur : lecture du ménisque, déclenchement du chronomètre, appréciation du virage d'un indicateur coloré.
- Méthode / environnement : température différente de celle de tarage de la verrerie, réactif impur, évaporation.
Mini-exercice 2. On pèse dix fois le même échantillon avec une balance dont le zéro affiche déjà \(0{,}2\) g avant de poser l'objet. L'erreur introduite est-elle aléatoire ou systématique ? Comment la corriger ?
Toutes les pesées sont décalées de \(+0{,}2\) g dans le même sens : erreur systématique. Répéter la pesée ne la corrige pas. Il faut faire la tare (remettre le zéro) avant de peser.
3. Série de mesures : moyenne, dispersion, histogramme
Une mesure unique ne dit rien de sa fiabilité. Au laboratoire, on répète la mesure \(n\) fois dans les mêmes conditions (mêmes appareils, même opérateur) : on parle de répétabilité. On analyse alors la série \(x_1, x_2, \dots, x_n\).
Définition — valeur moyenne
La valeur moyenne \(\overline{x}\) d'une série de \(n\) mesures est la meilleure estimation de la grandeur :
\(\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\)
La moyenne « compense » les erreurs aléatoires : plus \(n\) est grand, plus \(\overline{x}\) est fiable.
Définition — écart-type expérimental
L'écart-type \(s\) mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne :
\(s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline{x}\right)^2}\)
En pratique on l'obtient avec la fonction « écart-type » de la calculatrice ou d'un tableur (fonction ECARTYPE ou STDEV). Il a la même unité que les mesures.
Définition — histogramme d'une série
Un histogramme représente la série : on partage l'intervalle des valeurs en classes de même largeur et on compte, pour chaque classe, l'effectif (nombre de mesures). Il visualise la dispersion : les valeurs se répartissent le plus souvent autour de la moyenne, en forme de « cloche ».
Exemple travaillé — moyenne et écart-type. On titre cinq fois la même prise d'essai ; on relève le volume équivalent \(V_{éq}\) (en mL) : 12,4 ; 12,6 ; 12,5 ; 12,3 ; 12,7.
Moyenne : \(\overline{V}=\dfrac{12{,}4+12{,}6+12{,}5+12{,}3+12{,}7}{5}=\dfrac{62{,}5}{5}=12{,}5\ \text{mL}\).
Écarts à la moyenne : \(-0{,}1 ; +0{,}1 ; 0 ; -0{,}2 ; +0{,}2\), donc \(\sum(V_i-\overline{V})^2=0{,}01+0{,}01+0+0{,}04+0{,}04=0{,}10\).
Moyenne : \(\overline{V}=\dfrac{12{,}4+12{,}6+12{,}5+12{,}3+12{,}7}{5}=\dfrac{62{,}5}{5}=12{,}5\ \text{mL}\).
Écarts à la moyenne : \(-0{,}1 ; +0{,}1 ; 0 ; -0{,}2 ; +0{,}2\), donc \(\sum(V_i-\overline{V})^2=0{,}01+0{,}01+0+0{,}04+0{,}04=0{,}10\).
\(s=\sqrt{\dfrac{0{,}10}{5-1}}=\sqrt{0{,}025}\approx0{,}16\ \text{mL}\)
Les volumes équivalents sont dispersés d'environ \(0{,}16\ \text{mL}\) autour de \(12{,}5\ \text{mL}\).
Mini-exercice 3. On mesure 4 fois une masse (en g) : 25,2 ; 25,0 ; 25,4 ; 25,0. Calculer la valeur moyenne. (On ne demande pas l'écart-type.)
\(\overline{m}=\dfrac{25{,}2+25{,}0+25{,}4+25{,}0}{4}=\dfrac{100{,}6}{4}=25{,}15\approx25{,}2\ \text{g}\).
4. Justesse et fidélité
Définition — justesse et fidélité
- La justesse caractérise la proximité entre la moyenne des mesures et la valeur vraie : une méthode est juste si sa moyenne « tombe » sur la bonne valeur (peu d'erreur systématique).
- La fidélité caractérise la proximité des mesures entre elles : une méthode est fidèle si les mesures répétées sont resserrées (peu d'erreur aléatoire, petit écart-type).
Ne pas confondre
La fidélité (mesures resserrées) n'assure pas la justesse : une pipette mal étalonnée peut délivrer des volumes très reproductibles… mais tous faux (cible 2). L'écart-type mesure la fidélité, pas la justesse.
Mini-exercice 4. On dose une eau dont la concentration vraie est \(20{,}0\ \text{mmol·L}^{-1}\). Méthode A : 22,0 ; 22,1 ; 21,9. Méthode B : 19,0 ; 21,0 ; 20,0 (en mmol·L\(^{-1}\)). Laquelle est la plus fidèle ? La plus juste ?
A est très fidèle (valeurs resserrées autour de 22,0) mais peu juste (moyenne 22,0 loin de 20,0). B est peu fidèle (valeurs dispersées) mais plus juste (moyenne 20,0 = valeur vraie). Aucune n'est à la fois juste et fidèle.
5. Incertitude-type de type A (série de mesures)
Définition — incertitude-type de type A
Quand on dispose d'une série de \(n\) mesures, on prend pour résultat la moyenne \(\overline{x}\). L'incertitude-type sur cette moyenne, notée \(u(x)\), s'évalue par une méthode statistique dite de type A :
\(u(x)=\dfrac{s}{\sqrt{n}}\)
où \(s\) est l'écart-type de la série et \(n\) le nombre de mesures. Elle a la même unité que la grandeur. Plus on fait de mesures (\(n\) grand), plus l'incertitude sur la moyenne diminue.
Pourquoi diviser par \(\sqrt{n}\) ?
L'écart-type \(s\) décrit la dispersion d'une mesure. Mais la moyenne de \(n\) mesures est bien plus stable qu'une mesure isolée : ses fluctuations sont réduites d'un facteur \(\sqrt{n}\). D'où l'incertitude sur la moyenne \(s/\sqrt{n}\), plus petite que \(s\).
Exemple travaillé — incertitude de type A. On reprend la série des 5 titrages : \(\overline{V}=12{,}5\ \text{mL}\), écart-type \(s\approx0{,}16\ \text{mL}\), \(n=5\).
\(u(V)=\dfrac{s}{\sqrt{n}}=\dfrac{0{,}16}{\sqrt{5}}=\dfrac{0{,}16}{2{,}24}\approx0{,}07\ \text{mL}\)
On écrira le résultat \(V=(12{,}50\pm0{,}07)\ \text{mL}\).
Mini-exercice 5. Une série de \(n=9\) mesures d'une durée de réaction donne une moyenne \(\overline{t}=4{,}50\) s et un écart-type \(s=0{,}12\) s. Calculer l'incertitude-type de type A \(u(t)\).
\(u(t)=\dfrac{s}{\sqrt{n}}=\dfrac{0{,}12}{\sqrt{9}}=\dfrac{0{,}12}{3}=0{,}04\ \text{s}\).
6. Incertitude-type de type B (mesure unique, notice constructeur)
Définition — incertitude de type B
Quand on ne fait qu'une seule mesure, l'incertitude ne vient plus de la dispersion mais des caractéristiques de l'instrument : on l'évalue par une méthode de type B, à partir d'une notice constructeur ou d'une relation fournie. Pour une tolérance ou une résolution \(a\) répartie uniformément :
\(u(x)=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\quad\text{(tolérance }\pm a\text{)}\qquad u(x)=\dfrac{\Delta}{2\sqrt{3}}\quad\text{(résolution }\Delta\text{)}\)
En pratique au lycée, on utilise la relation donnée par l'énoncé ou la notice ; à défaut, on retient que l'incertitude est de l'ordre de la demi-graduation (règle, éprouvette) ou de la résolution affichée d'un appareil numérique.
Exemple — verrerie jaugée. Une pipette jaugée de \(20\ \text{mL}\) porte l'indication \(\pm0{,}03\ \text{mL}\) (tolérance de classe A donnée par la notice). L'incertitude-type de type B vaut :
\(u(V)=\dfrac{a}{\sqrt{3}}=\dfrac{0{,}03}{\sqrt{3}}=\dfrac{0{,}03}{1{,}73}\approx0{,}02\ \text{mL}\)
On écrit \(V=(20{,}00\pm0{,}02)\ \text{mL}\).
Exemple — lecture unique sur une éprouvette. On lit \(V=48\ \text{mL}\) sur une éprouvette graduée tous les 2 mL. On prend l'incertitude ≈ demi-graduation : \(u(V)\approx1\ \text{mL}\). On écrit \(V=(48\pm1)\ \text{mL}\).
Bien choisir la méthode
Série de plusieurs mesures → incertitude de type A \(\big(u=s/\sqrt{n}\big)\). Mesure unique → incertitude de type B (notice, tolérance, résolution). On n'utilise \(s/\sqrt{n}\) que s'il y a réellement plusieurs mesures indépendantes.
Mini-exercice 6. Une fiole jaugée de \(100\ \text{mL}\) a une tolérance \(\pm0{,}10\ \text{mL}\) (notice). Calculer l'incertitude-type de type B \(u(V)=a/\sqrt{3}\).
\(u(V)=\dfrac{0{,}10}{\sqrt{3}}=\dfrac{0{,}10}{1{,}73}\approx0{,}06\ \text{mL}\). Résultat : \(V=(100{,}00\pm0{,}06)\ \text{mL}\).
7. Chiffres significatifs
Définition — chiffres significatifs
Les chiffres significatifs d'une valeur sont les chiffres connus avec certitude, plus le premier chiffre incertain. Ils indiquent la précision. Règles :
- Les zéros à gauche du premier chiffre non nul ne comptent pas : \(0{,}0042\) a 2 chiffres significatifs.
- Les zéros entre ou après des chiffres non nuls comptent : \(1{,}20\) a 3 chiffres significatifs.
- L'écriture scientifique lève l'ambiguïté : \(3{,}00\times10^{2}\) a 3 chiffres significatifs.
Méthode — chiffres significatifs dans un calcul
- Multiplication / division : le résultat garde autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.
- Addition / soustraction : le résultat garde autant de décimales que la donnée qui en a le moins.
Exemple. Concentration \(c=\dfrac{n}{V}=\dfrac{0{,}0125\ \text{mol}}{0{,}250\ \text{L}}=0{,}0500\ \text{mol·L}^{-1}\). Les données ont 3 chiffres significatifs → on garde 3 chiffres significatifs : \(c=5{,}00\times10^{-2}\ \text{mol·L}^{-1}\).
Mini-exercice 7. Combien de chiffres significatifs comportent : (a) \(0{,}050\) ; (b) \(304\) ; (c) \(2{,}400\times10^{3}\) ? Puis donner \(6{,}0\times2{,}55\) avec le bon nombre de chiffres significatifs.
(a) \(0{,}050\) → 2 ; (b) \(304\) → 3 ; (c) \(2{,}400\times10^{3}\) → 4. Produit : \(6{,}0\times2{,}55=15{,}3\), mais \(6{,}0\) n'a que 2 chiffres significatifs → \(15\) (2 chiffres significatifs).
8. Écrire un résultat et le comparer à une référence
Définition — écriture d'un résultat avec incertitude
Un résultat de mesure se présente sous la forme :
\(x=x_{mes}\pm u(x)\quad(\text{unité})\)
Cela signifie que la valeur vraie a de bonnes chances de se trouver dans l'intervalle \([\,x_{mes}-u(x)\,;\,x_{mes}+u(x)\,]\). Règles d'écriture :
- L'incertitude \(u(x)\) s'écrit avec 1 (parfois 2) chiffre significatif.
- La valeur \(x_{mes}\) est arrondie à la même décimale que l'incertitude.
- La valeur et l'incertitude ont la même unité.
Exemple. Un calcul donne \(m_{mes}=12{,}3746\) g et \(u(m)=0{,}08\) g. On garde 1 chiffre significatif pour l'incertitude et on arrondit la valeur à la même décimale (centièmes) : \(m=(12{,}37\pm0{,}08)\ \text{g}\).
Méthode — comparer une mesure à une référence (nombre d'incertitudes-types)
Pour discuter la validité d'un résultat \(x=x_{mes}\pm u(x)\) face à une référence \(x_{réf}\), on calcule l'écart normalisé, c'est-à-dire l'écart exprimé en nombre d'incertitudes-types :
\(z=\dfrac{|\,x_{mes}-x_{réf}\,|}{u(x)}\)
- Si \(z\le2\) : l'écart est petit (moins de 2 incertitudes-types) → le résultat est compatible avec la référence.
- Si \(z\gt2\) : l'écart est grand (plus de 2 incertitudes-types) → le résultat est en désaccord ; on suspecte une erreur systématique.
Exemple travaillé complet. On mesure la masse volumique d'un liquide : \(\rho=(0{,}998\pm0{,}003)\ \text{g·cm}^{-3}\). La valeur de référence de l'eau à 20 °C est \(\rho_{réf}=0{,}998\ \text{g·cm}^{-3}\)… Prenons plutôt un cas d'écart : mesure \(\rho=(2{,}68\pm0{,}05)\ \text{g·cm}^{-3}\), référence de l'aluminium \(\rho_{réf}=2{,}70\ \text{g·cm}^{-3}\).
Écart normalisé : \(z=\dfrac{|\,2{,}68-2{,}70\,|}{0{,}05}=\dfrac{0{,}02}{0{,}05}=0{,}4\le2\).
Intervalle : \([\,2{,}63\,;\,2{,}73\,]\), qui contient \(2{,}70\). La mesure est compatible avec l'aluminium : rien n'indique d'erreur systématique.
Écart normalisé : \(z=\dfrac{|\,2{,}68-2{,}70\,|}{0{,}05}=\dfrac{0{,}02}{0{,}05}=0{,}4\le2\).
Intervalle : \([\,2{,}63\,;\,2{,}73\,]\), qui contient \(2{,}70\). La mesure est compatible avec l'aluminium : rien n'indique d'erreur systématique.
Mini-exercice 8. Un dosage donne \(c=(0{,}095\pm0{,}002)\ \text{mol·L}^{-1}\). La concentration de référence de la solution étalon est \(c_{réf}=0{,}100\ \text{mol·L}^{-1}\). Calculer l'écart en nombre d'incertitudes-types et conclure.
\(z=\dfrac{|\,0{,}095-0{,}100\,|}{0{,}002}=\dfrac{0{,}005}{0{,}002}=2{,}5\gt2\). L'écart dépasse 2 incertitudes-types : le résultat est en désaccord avec la référence. On soupçonne une erreur systématique (solution mal préparée, verrerie mal étalonnée, dosage biaisé).
Erreurs fréquentes
- ❌ Donner une valeur sans unité → ✅ toute grandeur physique s'écrit valeur × unité.
- ❌ Croire qu'une mesure est exacte → ✅ toute mesure comporte une incertitude à estimer et écrire.
- ❌ Confondre justesse et fidélité → ✅ juste = proche du vrai ; fidèle = mesures resserrées entre elles.
- ❌ Utiliser \(s/\sqrt{n}\) pour une seule mesure → ✅ série = type A ; mesure unique = type B (notice).
- ❌ Écrire trop de chiffres (\(x=12{,}3746\pm0{,}08\)) → ✅ arrondir la valeur à la décimale de l'incertitude : \(12{,}37\pm0{,}08\).
- ❌ Conclure « faux » sans quantifier → ✅ calculer l'écart en nombre d'incertitudes-types \(z=|x_{mes}-x_{réf}|/u\).
À retenir
- Une grandeur = valeur × unité ; 7 unités SI de base : m, kg, s, A, K, mol, cd.
- Deux types d'erreurs : aléatoires (dispersion, réduites par la répétition) et systématiques (décalage constant, à corriger).
- Série de mesures (répétabilité) : moyenne \(\overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_i\), écart-type \(s\), histogramme en cloche.
- Justesse = proche de la valeur vraie ; fidélité = mesures resserrées (petit \(s\)).
- Incertitude de type A (série) : \(u(x)=\dfrac{s}{\sqrt{n}}\) ; de type B (mesure unique) : notice/tolérance \(\big(u=a/\sqrt{3}\big)\), résolution.
- Résultat écrit \(x=x_{mes}\pm u(x)\) : \(u\) à 1 chiffre significatif, \(x\) arrondi à la même décimale.
- Comparaison à une référence : écart en nombre d'incertitudes-types \(z=|x_{mes}-x_{réf}|/u\) ; compatible si \(z\le2\).