Devoir Surveillé – Chapitre 14

Dérivation | Première STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(f'(x_0)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) ; tangente : \(y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\) ; \(\Delta y\approx f'(x_0)\Delta x\) ; \((x^n)'=nx^{n-1}\), \(\left(\tfrac1x\right)'=-\tfrac1{x^2}\), \((\cos x)'=-\sin x\), \((\sin x)'=\cos x\) ; \((uv)'=u'v+uv'\), \(\left(\tfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) ; \((A\cos(\omega t+\varphi))'=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\).

Exercice 1 — Nombre dérivé, tangente, approximation affine (7 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 - 4x + 5\).

1. Calculer et simplifier le taux de variation de \(f\) entre \(x_0 = 1\) et \(1 + h\) (\(h \ne 0\)). (2 pts)

2. En déduire le nombre dérivé \(f'(1)\). (1 pt)

3. Déterminer l'équation réduite de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(1\). (2 pts)

4. À l'aide de l'approximation affine en \(x_0 = 1\), estimer \(f(1{,}03)\). (2 pts)

1. \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{(1+h)^2 - 4(1+h) + 5 - 2}{h} = \dfrac{1 + 2h + h^2 - 4 - 4h + 5 - 2}{h} = \dfrac{-2h + h^2}{h} = -2 + h.\) (2 pts)

2. Quand \(h \to 0\), le taux tend vers \(-2\), donc \(f'(1) = -2\). (1 pt)

3. \(f(1) = 1 - 4 + 5 = 2\) et \(f'(1) = -2\). \(T : y = 2 - 2(x - 1) = -2x + 4.\) (2 pts)

4. \(f(1{,}03) \approx f(1) + f'(1)\times 0{,}03 = 2 - 2\times 0{,}03 = 1{,}94.\) (Exact : \(1{,}9409\).) (2 pts)

Exercice 2 — Calculs de dérivées (7 points)

Dériver chacune des fonctions (préciser \(u\), \(v\), \(u'\), \(v'\) le cas échéant).

1. \(f(x) = 3x^4 - 2x^3 + x - 8\). (1,5 pt)

2. \(g(x) = (x^2 - 1)(2x + 3)\). (2 pts)

3. \(h(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + 2}\) sur \(\mathbb{R}\). (2 pts)

4. \(k(x) = 2\sin(3x) - \cos(3x)\). (1,5 pt)

1. \(f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 1.\) (1,5 pt)

2. \(u = x^2-1\) (\(u'=2x\)), \(v = 2x+3\) (\(v'=2\)). \(g'(x) = 2x(2x+3) + (x^2-1)\times 2 = 4x^2 + 6x + 2x^2 - 2 = 6x^2 + 6x - 2.\) (2 pts)

3. \(u = x+1\) (\(u'=1\)), \(v = x^2+2\) (\(v'=2x\)). \(h'(x) = \dfrac{(x^2+2) - (x+1)(2x)}{(x^2+2)^2} = \dfrac{x^2 + 2 - 2x^2 - 2x}{(x^2+2)^2} = \dfrac{-x^2 - 2x + 2}{(x^2+2)^2}.\) (2 pts)

4. \(k'(x) = 2\times 3\cos(3x) - (-3\sin(3x)) = 6\cos(3x) + 3\sin(3x).\) (1,5 pt)

Exercice 3 — Signal sinusoïdal et sens de variation (6 points)

Partie A — Signal (2,5 pts). Un signal est modélisé par \(u(t) = 8\cos\!\left(50\pi\, t + \tfrac{\pi}{3}\right)\) (\(u\) en volts, \(t\) en secondes).

1. Donner l'amplitude \(A\), la pulsation \(\omega\) et la phase à l'origine \(\varphi\). (1,5 pt)

2. Calculer \(u'(t)\). (1 pt)

Partie B — Étude de fonction (3,5 pts). Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\) sur \(\mathbb{R}\).

3. Calculer \(f'(x)\) et le factoriser. (1,5 pt)

4. Dresser le tableau de variations de \(f\) et donner les extrema locaux. (2 pts)

\(x\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)
Signe de \(f'(x)\)
Variations de \(f\)

1. \(A = 8\ \text{V}\), \(\omega = 50\pi\ \text{rad/s}\), \(\varphi = \tfrac{\pi}{3}\). (1,5 pt)

2. \(u'(t) = -A\omega\sin(\omega t+\varphi) = -8\times 50\pi\,\sin\!\left(50\pi\, t + \tfrac{\pi}{3}\right) = -400\pi\,\sin\!\left(50\pi\, t + \tfrac{\pi}{3}\right)\) (en V/s). (1 pt)

3. \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1).\) (1,5 pt)

4. \(f'(x) \gt 0\) pour \(x \lt -1\) ou \(x \gt 3\), \(f'(x) \lt 0\) pour \(-1 \lt x \lt 3\). Donc \(f\) croît sur \(]{-}\infty\,;-1]\), décroît sur \([-1\,;3]\), croît sur \([3\,;{+}\infty[\). Maximum local \(f(-1) = -1 - 3 + 9 + 2 = 7\) ; minimum local \(f(3) = 27 - 27 - 27 + 2 = -25\). (2 pts)