Chapitre 1 – Mesure et incertitudes
Chapitre 1 | Première STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Physique-Chimie
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
⏱ Durée de lecture estimée : ~18 min
Objectifs du chapitre :
- Distinguer grandeur, valeur et unité ; connaître les 7 unités de base du Système international (SI).
- Identifier les sources d'erreurs (aléatoires et systématiques) d'un processus de mesure.
- Exploiter une série de mesures : histogramme, valeur moyenne, écart-type.
- Distinguer la justesse et la fidélité d'un instrument.
- Évaluer une incertitude-type de type A à partir d'une série de mesures.
- Évaluer l'incertitude sur une mesure unique et écrire correctement un résultat \(x=x_{mes}\pm u(x)\).
- Maîtriser les chiffres significatifs et l'écriture d'un résultat avec son incertitude.
- Comparer un résultat de mesure à une valeur de référence.
Situation. Dans un bureau d'études, un technicien mesure au pied à coulisse le diamètre d'un axe usiné. Il recommence dix fois : il ne trouve jamais exactement la même valeur. Faut-il en conclure que la mesure est fausse ? Non : aucune mesure n'est parfaite. Mesurer, ce n'est pas donner un nombre unique et certain, c'est donner une valeur assortie d'une incertitude qui indique dans quel intervalle se trouve « vraiment » la grandeur. Savoir estimer et écrire cette incertitude est indispensable pour décider si une pièce est conforme, si deux résultats sont compatibles, ou si une mesure confirme une valeur attendue.
1. Grandeur, valeur, unité
Définition — grandeur, valeur, unité
Une grandeur physique est une propriété d'un objet ou d'un phénomène que l'on peut mesurer (longueur, masse, durée, température, intensité…). Le résultat d'une mesure s'écrit comme le produit d'une valeur numérique et d'une unité :
grandeur = valeur numérique × unité
Par exemple \(L=1{,}25\ \text{m}\) : la grandeur est la longueur \(L\), la valeur numérique est \(1{,}25\), l'unité est le mètre (m). Une valeur sans unité n'a aucun sens physique.
Définition — les 7 unités de base du Système international (SI)
Toutes les grandeurs de la physique se ramènent à sept grandeurs de base, chacune ayant une unité SI de base :
Toutes les autres unités (dites dérivées) s'expriment à partir de ces sept-là : par exemple la vitesse en m·s\(^{-1}\), la force en newton \((\text{N}=\text{kg·m·s}^{-2})\), l'énergie en joule \((\text{J}=\text{kg·m}^2\text{·s}^{-2})\).
| Grandeur de base | Unité SI | Symbole |
|---|---|---|
| Longueur | mètre | m |
| Masse | kilogramme | kg |
| Temps (durée) | seconde | s |
| Intensité électrique | ampère | A |
| Température | kelvin | K |
| Quantité de matière | mole | mol |
| Intensité lumineuse | candela | cd |
Préfixes multiplicateurs
On adapte l'unité à l'ordre de grandeur avec des préfixes : kilo (k, \(\times10^{3}\)), milli (m, \(\times10^{-3}\)), micro (µ, \(\times10^{-6}\)), nano (n, \(\times10^{-9}\)), méga (M, \(\times10^{6}\))… Ainsi \(2{,}5\ \text{km}=2{,}5\times10^{3}\ \text{m}\) et \(4{,}7\ \text{µF}=4{,}7\times10^{-6}\ \text{F}\).
Mini-exercice 1. Pour chaque grandeur, donner l'unité SI de base et son symbole : (a) la durée d'un essai de traction ; (b) la masse d'une éprouvette ; (c) l'intensité du courant dans un circuit.
(a) durée → seconde (s) ; (b) masse → kilogramme (kg) ; (c) intensité électrique → ampère (A).
2. Sources d'erreurs et variabilité des mesures
Définition — erreur de mesure
L'erreur d'une mesure est l'écart entre la valeur mesurée \(x_{mes}\) et la valeur vraie de la grandeur (valeur qu'on ne connaît jamais exactement). On ne peut pas supprimer complètement l'erreur : on cherche à l'estimer.
Deux familles d'erreurs
- Erreurs aléatoires : elles varient d'une mesure à l'autre, de façon imprévisible, tantôt en plus, tantôt en moins (fluctuations de lecture, bruit, variations de l'opérateur ou du milieu). En répétant les mesures, elles se traduisent par une dispersion des valeurs. On les réduit en répétant les mesures et en faisant la moyenne.
- Erreurs systématiques : elles décalent toutes les mesures dans le même sens (instrument mal réglé, mal étalonné, zéro non fait, méthode biaisée). Répéter la mesure ne les corrige pas : il faut corriger ou ré-étalonner l'instrument.
Mini-exercice 2. On pèse dix fois la même éprouvette avec une balance dont on a oublié de faire la tare (le zéro affiche déjà 0,3 g avant de poser l'objet). L'erreur ainsi introduite est-elle aléatoire ou systématique ? Comment la corriger ?
Toutes les mesures sont décalées de \(+0{,}3\) g dans le même sens : c'est une erreur systématique. Répéter la pesée ne la corrige pas. Il faut faire la tare (remettre le zéro) avant de peser.
3. Série de mesures : moyenne, dispersion, histogramme
Comme une mesure unique ne dit rien de sa fiabilité, on répète la mesure \(n\) fois et on analyse la série obtenue \(x_1, x_2, \dots, x_n\).
Définition — valeur moyenne
La valeur moyenne \(\overline{x}\) d'une série de \(n\) mesures est la meilleure estimation de la grandeur :
\(\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\)
La moyenne « compense » les erreurs aléatoires : plus \(n\) est grand, plus \(\overline{x}\) est fiable.
Définition — écart-type expérimental
L'écart-type \(s\) mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : plus les valeurs sont resserrées, plus \(s\) est petit.
\(s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline{x}\right)^2}\)
On le calcule en pratique avec la fonction « écart-type » de la calculatrice ou d'un tableur (fonction ECARTYPE ou STDEV). Il a la même unité que les mesures.
Définition — histogramme d'une série
Un histogramme représente la série de mesures : on partage l'intervalle des valeurs en classes de même largeur et on compte, pour chaque classe, le nombre de mesures (l'effectif). Il visualise la dispersion : les valeurs se répartissent le plus souvent autour de la moyenne, en forme de « cloche ».
Exemple travaillé — calcul de la moyenne et de l'écart-type. On mesure 5 fois une même résistance (en Ω) : 98 ; 101 ; 100 ; 102 ; 99.
Moyenne : \(\overline{R}=\dfrac{98+101+100+102+99}{5}=\dfrac{500}{5}=100\ \Omega\).
Écarts à la moyenne : \(-2 ; +1 ; 0 ; +2 ; -1\), donc \(\sum(R_i-\overline{R})^2=4+1+0+4+1=10\).
Moyenne : \(\overline{R}=\dfrac{98+101+100+102+99}{5}=\dfrac{500}{5}=100\ \Omega\).
Écarts à la moyenne : \(-2 ; +1 ; 0 ; +2 ; -1\), donc \(\sum(R_i-\overline{R})^2=4+1+0+4+1=10\).
\(s=\sqrt{\dfrac{10}{5-1}}=\sqrt{2{,}5}\approx1{,}6\ \Omega\)
Les valeurs sont donc dispersées d'environ \(1{,}6\ \Omega\) autour de \(100\ \Omega\).
Mini-exercice 3. On mesure 4 fois une longueur (en mm) : 25,2 ; 25,0 ; 25,4 ; 25,0. Calculer la valeur moyenne. (On ne demande pas l'écart-type.)
\(\overline{L}=\dfrac{25{,}2+25{,}0+25{,}4+25{,}0}{4}=\dfrac{100{,}6}{4}=25{,}15\approx25{,}2\ \text{mm}\).
4. Justesse et fidélité
Définition — justesse et fidélité
- La justesse caractérise la proximité entre la moyenne des mesures et la valeur vraie : un instrument est juste si sa moyenne « tombe » sur la bonne valeur (peu d'erreur systématique).
- La fidélité caractérise la proximité des mesures entre elles : un instrument est fidèle si les mesures répétées sont resserrées (peu d'erreur aléatoire, petit écart-type).
Ne pas confondre
La fidélité (mesures resserrées) n'assure pas la justesse : un instrument déréglé peut donner des mesures très proches entre elles… mais toutes fausses (cible 2). L'écart-type mesure la fidélité, pas la justesse.
Mini-exercice 4. Deux thermomètres mesurent une eau à 20,0 °C (valeur vraie). Thermomètre A : 22,0 ; 22,1 ; 21,9 °C. Thermomètre B : 19,0 ; 21,0 ; 20,0 °C. Lequel est le plus fidèle ? Lequel est le plus juste ?
A est très fidèle (valeurs resserrées autour de 22,0) mais peu juste (moyenne 22,0 loin de 20,0). B est peu fidèle (valeurs dispersées) mais plus juste (moyenne 20,0 = valeur vraie). Aucun n'est à la fois juste et fidèle.
5. Incertitude-type de type A (série de mesures)
Définition — incertitude-type de type A
Quand on dispose d'une série de \(n\) mesures, on prend pour résultat la moyenne \(\overline{x}\). L'incertitude-type sur cette moyenne, notée \(u(x)\), s'évalue par une méthode statistique dite de type A :
\(u(x)=\dfrac{s}{\sqrt{n}}\)
où \(s\) est l'écart-type de la série et \(n\) le nombre de mesures. Elle a la même unité que la grandeur. Plus on fait de mesures (\(n\) grand), plus l'incertitude sur la moyenne diminue.
Pourquoi diviser par \(\sqrt{n}\) ?
L'écart-type \(s\) décrit la dispersion d'une mesure. Mais la moyenne de \(n\) mesures est bien plus stable qu'une mesure isolée : ses fluctuations sont réduites d'un facteur \(\sqrt{n}\). C'est pourquoi l'incertitude sur la moyenne est \(s/\sqrt{n}\), plus petite que \(s\).
Exemple travaillé — incertitude de type A. On reprend la série des 5 résistances : \(\overline{R}=100\ \Omega\), écart-type \(s\approx1{,}6\ \Omega\), \(n=5\).
\(u(R)=\dfrac{s}{\sqrt{n}}=\dfrac{1{,}6}{\sqrt{5}}=\dfrac{1{,}6}{2{,}24}\approx0{,}7\ \Omega\)
On écrira le résultat \(R=(100{,}0\pm0{,}7)\ \Omega\).
Mini-exercice 5. Une série de \(n=9\) mesures d'une durée donne une moyenne \(\overline{t}=4{,}50\) s et un écart-type \(s=0{,}12\) s. Calculer l'incertitude-type de type A \(u(t)\).
\(u(t)=\dfrac{s}{\sqrt{n}}=\dfrac{0{,}12}{\sqrt{9}}=\dfrac{0{,}12}{3}=0{,}04\ \text{s}\).
6. Incertitude sur une mesure unique
Définition — incertitude d'une mesure unique
Quand on ne fait qu'une seule mesure, l'incertitude ne vient plus de la dispersion mais de la résolution de l'instrument (la plus petite graduation lisible). Pour un instrument gradué, on prend souvent pour incertitude-type :
\(u(x)=\dfrac{\text{graduation}}{2\sqrt{3}}\)
En pratique au lycée, on retient plus simplement que l'incertitude est de l'ordre de la demi-graduation (règle, éprouvette) ou de la résolution affichée pour un appareil numérique. L'essentiel est de toujours associer une incertitude à une mesure unique.
Exemple. On lit une longueur sur une règle graduée au millimètre : \(L=84\ \text{mm}\). La plus petite graduation vaut 1 mm. On estime l'incertitude-type à la demi-graduation, soit \(u(L)\approx0{,}5\ \text{mm}\). On écrit \(L=(84{,}0\pm0{,}5)\ \text{mm}\).
Bien choisir la méthode
Série de plusieurs mesures → incertitude de type A \(\big(u=s/\sqrt{n}\big)\). Mesure unique → incertitude liée à la résolution de l'instrument (demi-graduation). On n'utilise \(s/\sqrt{n}\) que s'il y a réellement plusieurs mesures.
7. Chiffres significatifs
Définition — chiffres significatifs
Les chiffres significatifs d'une valeur sont les chiffres connus avec certitude, plus le premier chiffre incertain. Ils indiquent la précision d'un résultat. Règles :
- Les zéros à gauche du premier chiffre non nul ne comptent pas : \(0{,}0042\) a 2 chiffres significatifs.
- Les zéros situés entre ou après des chiffres non nuls comptent : \(1{,}20\) a 3 chiffres significatifs.
- L'écriture scientifique lève toute ambiguïté : \(3{,}00\times10^{2}\) a 3 chiffres significatifs.
Méthode — chiffres significatifs dans un calcul
- Multiplication / division : le résultat garde autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.
- Addition / soustraction : le résultat garde autant de décimales que la donnée qui en a le moins.
Exemple. \(v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{12{,}5\ \text{m}}{3{,}2\ \text{s}}=3{,}906\ldots\ \text{m·s}^{-1}\). La donnée la moins précise (\(3{,}2\)) a 2 chiffres significatifs : on écrit \(v\approx3{,}9\ \text{m·s}^{-1}\).
Mini-exercice 6. Combien de chiffres significatifs comportent : (a) \(0{,}050\) ; (b) \(304\) ; (c) \(2{,}400\times10^{3}\) ? Puis donner \(6{,}0\times2{,}55\) avec le bon nombre de chiffres significatifs.
(a) \(0{,}050\) → 2 (le 5 et le 0 final) ; (b) \(304\) → 3 ; (c) \(2{,}400\times10^{3}\) → 4. Produit : \(6{,}0\times2{,}55=15{,}3\), mais \(6{,}0\) n'a que 2 chiffres significatifs → \(15\) (2 chiffres significatifs).
8. Écrire un résultat et le comparer à une référence
Définition — écriture d'un résultat avec incertitude
Un résultat de mesure se présente sous la forme :
\(x=x_{mes}\pm u(x)\quad(\text{unité})\)
Cela signifie que la valeur vraie a de bonnes chances de se trouver dans l'intervalle \([\,x_{mes}-u(x)\,;\,x_{mes}+u(x)\,]\). Règles d'écriture :
- L'incertitude \(u(x)\) s'écrit avec 1 (parfois 2) chiffre significatif.
- La valeur \(x_{mes}\) est arrondie à la même décimale que l'incertitude.
- La valeur et l'incertitude ont la même unité.
Exemple. Un calcul donne \(x_{mes}=12{,}3746\) g et \(u(x)=0{,}08\) g. On garde 1 chiffre significatif pour l'incertitude (\(0{,}08\)) et on arrondit la valeur à la même décimale (centièmes) : \(x=(12{,}37\pm0{,}08)\ \text{g}\).
Méthode — comparer une mesure à une valeur de référence
Pour savoir si un résultat \(x=x_{mes}\pm u(x)\) est compatible avec une valeur de référence \(x_{réf}\) :
- Construire l'intervalle \([\,x_{mes}-u(x)\,;\,x_{mes}+u(x)\,]\).
- Si \(x_{réf}\) est dans cet intervalle → le résultat est compatible avec la référence.
- Si \(x_{réf}\) est hors de l'intervalle → le résultat est en désaccord : il faut suspecter une erreur systématique.
Exemple travaillé complet. On mesure la masse volumique d'un métal : \(\rho=(2{,}68\pm0{,}05)\ \text{g·cm}^{-3}\). La valeur de référence de l'aluminium est \(\rho_{réf}=2{,}70\ \text{g·cm}^{-3}\).
Intervalle : \([\,2{,}68-0{,}05\,;\,2{,}68+0{,}05\,]=[\,2{,}63\,;\,2{,}73\,]\ \text{g·cm}^{-3}\).
La référence \(2{,}70\) est dans l'intervalle : la mesure est compatible avec l'aluminium. Rien n'indique d'erreur systématique.
Intervalle : \([\,2{,}68-0{,}05\,;\,2{,}68+0{,}05\,]=[\,2{,}63\,;\,2{,}73\,]\ \text{g·cm}^{-3}\).
La référence \(2{,}70\) est dans l'intervalle : la mesure est compatible avec l'aluminium. Rien n'indique d'erreur systématique.
Mini-exercice 7. Une mesure donne \(g=(9{,}72\pm0{,}05)\ \text{m·s}^{-2}\). La valeur de référence est \(g_{réf}=9{,}81\ \text{m·s}^{-2}\). La mesure est-elle compatible avec la référence ?
Intervalle : \([\,9{,}72-0{,}05\,;\,9{,}72+0{,}05\,]=[\,9{,}67\,;\,9{,}77\,]\). La référence \(9{,}81\) est hors de l'intervalle : la mesure est en désaccord avec la référence. On soupçonne une erreur systématique (instrument mal réglé, méthode biaisée).
Erreurs fréquentes
- ❌ Donner une valeur sans unité → ✅ toute grandeur physique s'écrit valeur × unité.
- ❌ Croire qu'une mesure est exacte → ✅ toute mesure comporte une incertitude qu'il faut estimer et écrire.
- ❌ Confondre justesse et fidélité → ✅ juste = proche du vrai ; fidèle = mesures resserrées entre elles.
- ❌ Utiliser \(s/\sqrt{n}\) pour une seule mesure → ✅ le type A suppose une série ; sinon on prend la résolution de l'instrument.
- ❌ Écrire trop de chiffres (\(x=12{,}3746\pm0{,}08\)) → ✅ arrondir la valeur à la décimale de l'incertitude : \(12{,}37\pm0{,}08\).
- ❌ Conclure « faux » sans comparer les intervalles → ✅ une mesure est compatible si la référence tombe dans la barre d'incertitude.
À retenir
- Une grandeur = valeur × unité ; 7 unités SI de base : m, kg, s, A, K, mol, cd.
- Deux types d'erreurs : aléatoires (dispersion, réduites par la répétition) et systématiques (décalage constant, à corriger).
- Série de mesures : moyenne \(\overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_i\), écart-type \(s\) (dispersion), histogramme en cloche.
- Justesse = proche de la valeur vraie ; fidélité = mesures resserrées (petit \(s\)).
- Incertitude de type A (série) : \(u(x)=\dfrac{s}{\sqrt{n}}\) ; mesure unique : incertitude ≈ résolution / demi-graduation.
- Résultat écrit \(x=x_{mes}\pm u(x)\) : \(u\) à 1 chiffre significatif, \(x\) arrondi à la même décimale.
- Comparaison à une référence : compatible si \(x_{réf}\) est dans \([\,x_{mes}-u\,;\,x_{mes}+u\,]\).