QCM – Produit scalaire

Chapitre 11 | Terminale Bac Pro | Mathématiques

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Calculer un produit scalaire par les trois formules (norme/angle, coordonnées, développement)
Démontrer l’orthogonalité de deux vecteurs ou de deux droites
Calculer l’angle entre deux vecteurs (ou deux droites, deux plans)
Écrire l’équation d’une droite à partir de son vecteur normal
Calculer la distance d’un point à une droite
Appliquer ces outils à des problèmes professionnels (plans de construction, réseaux, forces)

⏱ Durée : 15–20 min

📄 15 questions

🧮 Calculatrice autorisée

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Socle

Question 1

Définition – Nature du produit scalaire

Le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) est :

un vecteur un nombre réel une matrice une équation

Question 2

Formule par coordonnées

Si \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\), alors \(\vec{u} \cdot \vec{v} =\) :

5 6 11 14

Question 3

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si :

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1\) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -1\) \(\vec{u} \cdot \vec{v} > 0\)

Question 4

Calcul – Vérifier l'orthogonalité

\(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\). Que vaut \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) ?

24 10 -12 0

Question 5

Carré scalaire – Norme

Le carré scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{u}\) est égal à :

\(2|\vec{u}|\) \(|\vec{u}|^2\) \(|\vec{u}|\) \(0\)

Question 6

Norme d'un vecteur

Si \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\), quelle est la norme \(|\vec{u}|\) ?

7 1 5 12

Question 7

Commutativité

Laquelle de ces égalités est toujours vraie ?

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| + |\vec{v}|\) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times |\vec{v}|\) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| - |\vec{v}|\)

Question 8

Produit scalaire – Calcul simple

Si \(\vec{u}\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\), alors \(\vec{u} \cdot \vec{v} =\) :

15 8 5 0

Question 9

Interprétation géométrique

Si \(\theta = 90°\) entre deux vecteurs non nuls, alors leur produit scalaire est :

positif nul négatif égal à 1

Question 10

Produit scalaire par la formule norme/angle

Si \(|\vec{u}| = 4\), \(|\vec{v}| = 3\) et \(\theta = 0°\), alors \(\vec{u} \cdot \vec{v} =\) :

0 7 12 -12

Question 11

Calcul – Produit scalaire

\(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}\). Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) :

5 -5 11 0

Question 12

Signe du produit scalaire

Si \(\vec{u} \cdot \vec{v} < 0\), alors l'angle \(\theta\) entre les deux vecteurs est :

égal à 0° égal à 90° compris entre 0° et 90° compris entre 90° et 180°

Question 13

Vecteurs orthogonaux – Vérification

\(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\). Ces vecteurs sont-ils orthogonaux ?

Non, car \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 24\) Oui, car \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) Non, car \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 12\) Oui, car \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1\)

Question 14

Norme – Calcul

Si \(\vec{v}\begin{pmatrix}5\\12\end{pmatrix}\), quelle est la norme \(|\vec{v}|\) ?

17 60 13 7

Question 15

Produit scalaire – Angles remarquables

Si \(|\vec{u}| = 6\), \(|\vec{v}| = 5\) et \(\theta = 180°\), alors \(\vec{u} \cdot \vec{v} =\) :

-30 30 0 11

Standard

Question 1

Formule norme/angle

Si \(|\vec{u}| = 5\), \(|\vec{v}| = 4\) et \(\theta = 60°\), alors \(\vec{u} \cdot \vec{v} =\) :

20 10 \(20\sqrt{3}\) 0

Question 2

Calcul d'un angle

On a \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}\). L'angle entre ces deux vecteurs est :

0° 45° 90° 180°

Question 3

Calcul d'angle – Contexte menuiserie

Deux arêtes d'un meuble ont pour vecteurs directeurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\). Le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v} =\) :

7 4 3 0

Question 4

Formule de l'angle

La formule permettant de calculer l'angle \(\theta\) entre deux vecteurs est :

\(\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| + |\vec{v}|}\) \(\theta = \dfrac{|\vec{u}| \times |\vec{v}|}{\vec{u} \cdot \vec{v}}\) \(\theta = \arcsin\!\left(\dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \times |\vec{v}|}\right)\) \(\theta = \arccos\!\left(\dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \times |\vec{v}|}\right)\)

Question 5

Calcul d'angle – Application numérique

\(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\). Quelle est la valeur de \(\cos(\theta)\) ?

1 \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) 0

Question 6

Vecteur normal à une droite

Si le vecteur directeur d'une droite est \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\), un vecteur normal à cette droite est :

\(\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix}-5\\3\end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}\)

Question 7

Équation d'une droite – Vecteur normal

Une droite a pour vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\). Son équation est de la forme :

\(2x - 3y + c = 0\) \(-3x + 2y + c = 0\) \(2x + 3y + c = 0\) \(3x - 2y + c = 0\)

Question 8

Équation de droite – Calcul de c

Une droite de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}\) passe par \(A(2\,;\,3)\). Quelle est l'équation de cette droite ?

\(4x - y + 11 = 0\) \(4x - y - 11 = 0\) \(4x - y = 0\) \(4x - y - 5 = 0\)

Question 9

Distance d'un point à une droite

La formule de la distance du point \(M(x_M\,;\,y_M)\) à la droite \(ax + by + c = 0\) est :

\(\dfrac{ax_M + by_M + c}{a^2 + b^2}\) \(\dfrac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) \(\dfrac{ax_M + by_M + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) \(\sqrt{ax_M + by_M + c}\)

Question 10

Distance point–droite – Calcul

Distance du point \(P(1\,;\,5)\) à la droite \(3x - 4y + 2 = 0\) :

\(\dfrac{10}{5} = 2\) \(\dfrac{15}{7}\) 3 \(\dfrac{17}{5}\)

Question 11

Angle entre deux canalisations

Deux canalisations ont pour vecteurs directeurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}\). Que vaut \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) ?

0 12 -12 6

Question 12

Interprétation du signe

Si \(\vec{u} \cdot \vec{v} > 0\), alors l'angle \(\theta\) entre les deux vecteurs est :

supérieur à 90° égal à 90° égal à 180° strictement inférieur à 90°

Question 13

Produit scalaire 3D

Dans l'espace, si \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\), alors \(\vec{u} \cdot \vec{v} =\) :

0 4 9 -4

Question 14

Norme d'un vecteur 3D

Si \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\), quelle est la norme \(|\vec{u}|\) ?

5 \(\sqrt{5}\) 3 \(\sqrt{7}\)

Question 15

Droites perpendiculaires

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont :

orthogonaux (produit scalaire nul) de même norme colinéaires de même direction

Approfondissement

Question 1

Angle précis – Calcul complet

\(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\). Quelle est la valeur de \(\cos(\theta)\) ?

\(\dfrac{7}{\sqrt{34}}\) \(\dfrac{7}{17}\) \(\dfrac{7}{\sqrt{170}}\) \(\dfrac{7}{\sqrt{17}}\)

Question 2

Démontrer l'orthogonalité

Pour démontrer que les droites \(d_1\) (vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\)) et \(d_2\) (vecteur \(\vec{v}\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\)) sont perpendiculaires, on calcule :

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 12\) → pas perpendiculaires \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 6 + (-3) \times 4 = 12 - 12 = 0\) → perpendiculaires \(|\vec{u}| = |\vec{v}|\) → perpendiculaires \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 6 - (-3) \times 4 = 24\) → pas perpendiculaires

Question 3

Équation de droite – Méthode complète

Une cloison passe par \(D(3\,;\,0)\) et a pour vecteur directeur \(\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\). Quelle est l'équation de la droite portant cette cloison ?

\(5x + 4y - 15 = 0\) \(4x - 5y + 12 = 0\) \(4x + 5y = 0\) \(-4x + 5y + 12 = 0\)

Question 4

Distance – Contexte de construction

Une droite a pour équation \(-4x + 5y + 12 = 0\). Distance du point \(F(5\,;\,3)\) à cette droite :

\(\dfrac{7}{\sqrt{41}} \approx 1{,}09\) \(\dfrac{7}{41}\) \(\dfrac{3}{\sqrt{41}}\) \(\dfrac{|-20 + 15 + 12|}{9} = \dfrac{7}{9}\)

Question 5

Composante d'une force – Travail

Une force \(\vec{F}\) de norme 800 N est à 40° de l'axe d'une canalisation (vecteur unitaire \(\vec{u}\)). La composante axiale \(\vec{F} \cdot \vec{u}\) est :

800 N 514 N 613 N 400 N

Question 6

Travail d'une force – Définition

Le travail \(W\) d'une force \(\vec{F}\) le long d'un déplacement \(\vec{d}\) est :

\(W = |\vec{F}| + |\vec{d}|\) \(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = |\vec{F}| \times |\vec{d}| \times \cos\theta\) \(W = |\vec{F}| \times |\vec{d}|\) \(W = \dfrac{|\vec{F}|}{|\vec{d}|}\)

Question 7

Identité remarquable

L'identité \(|\vec{u} + \vec{v}|^2 =\) :

\(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2\) \((|\vec{u}| + |\vec{v}|)^2\) \(|\vec{u}|^2 - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + |\vec{v}|^2\) \(|\vec{u}|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + |\vec{v}|^2\)

Question 8

Identité de polarisation

La formule \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\!\left(|\vec{u}+\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2\right)\) s'appelle :

identité de polarisation théorème de Pythagore formule de l'angle formule des cosinus

Question 9

Angle 3D – Calcul

Deux conduites en 3D ont pour vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\). \(\cos(\theta) =\) :

\(\dfrac{4}{6}\) \(\dfrac{2}{9}\) \(\dfrac{4}{9}\) \(\dfrac{2}{3}\)

Question 10

Projection orthogonale

La projection orthogonale de \(\vec{v}\) sur \(\vec{u}\) vaut \(\dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|^2}\,\vec{u}\). Si \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\), la projection de \(\vec{v}\) sur \(\vec{u}\) est :

\(\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)

Question 11

Application – Force et angle de fixation

Une fixation subit une force de 500 N à 30° de l'axe d'ancrage. Avec un coefficient de sécurité de 1,5, la fixation doit être homologuée pour au moins :

433 N 500 N 576 N 650 N

Question 12

Droite perpendiculaire – Construction

La façade est portée par la droite \(d : 3x - 5y + 15 = 0\). Un tuyau perpendiculaire à la façade passe par \(P(0\,;\,3)\). Son équation est :

\(5x + 3y - 9 = 0\) \(3x - 5y + 15 = 0\) \(5x - 3y + 9 = 0\) \(3x + 5y = 0\)

Question 13

Distance – Réseau de canalisations

La canalisation principale CP a pour équation \(-x + 2y = 0\). Distance de la fixation \(P(5\,;\,4)\) à CP :

\(\dfrac{3}{5}\) \(\dfrac{3}{5} \approx 0{,}60\) \(\dfrac{3}{\sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{5} \approx 1{,}34\) \(\dfrac{3}{\sqrt{10}} \approx 0{,}95\)

Question 14

Propriété – Distributivité

\(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) =\) :

\(\vec{u} \cdot \vec{v} \times \vec{u} \cdot \vec{w}\) \(\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\) \((\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}\) \(\vec{v} \cdot \vec{w}\)

Question 15

Angle de raccordement – Raisonnement complet

Deux canalisations ont pour vecteurs directeurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\). Quel est l'angle de raccordement approximatif ?

81,9° 45° 63,4° 90°