Produit scalaire — Terminale Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Calculer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) pour chaque cas :
a) \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times ... + 3 \times ... = ...\)
b) \(\vec{u}\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\10\end{pmatrix}\) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times ... + (-1) \times ... = ...\)
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 4 + 3 \times 1 = 8 + 3 = \mathbf{11}\)
b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times 2 + (-1) \times 10 = 10 - 10 = \mathbf{0}\)
Dire si les vecteurs suivants sont orthogonaux. Justifier par le calcul.
a) \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}\) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = ... + ... = ...\)
Conclusion : orthogonaux ? ...
b) \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ...\)
Conclusion : orthogonaux ? ...
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -12 + 12 = \mathbf{0}\). Oui, les vecteurs sont orthogonaux.
b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times 1 = 3 + 2 = \mathbf{5} \neq 0\). Non, les vecteurs ne sont pas orthogonaux.
Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\). Calculer l'angle entre ces deux vecteurs.
a) Produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 + 0 \times 2 = ...\)
b) Normes : \(|\vec{u}| = \sqrt{9 + 0} = ...\) et \(|\vec{v}| = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{...} = ...\)
c) Cosinus : \(\cos\theta = \dfrac{...}{... \times ...} = ...\)
d) Angle : \(\theta = \arccos(...) = ...°\)
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 + 0 = \mathbf{6}\)
b) \(|\vec{u}| = \sqrt{9} = \mathbf{3}\) et \(|\vec{v}| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx \mathbf{2{,}83}\)
c) \(\cos\theta = \dfrac{6}{3 \times 2\sqrt{2}} = \dfrac{6}{6\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx \mathbf{0{,}707}\)
d) \(\theta = \arccos(0{,}707) = \mathbf{45°}\)
Un menuisier exerce une force \(\vec{F}\) de norme 200 N sur une planche. La force fait un angle de 60° avec la direction de déplacement.
a) Calculer la composante utile de la force dans la direction du déplacement :
\(F_{\text{utile}} = |\vec{F}| \times \cos(60°) = 200 \times ... = ...\) N
a) \(F_{\text{utile}} = 200 \times \cos(60°) = 200 \times 0{,}5 = \mathbf{100}\) N
Seule la moitié de la force est utile dans la direction du déplacement.
Calculer la distance du point \(P(2\,;\,1)\) à la droite \(d : 3x + 4y - 10 = 0\).
a) Numérateur : \(|3 \times 2 + 4 \times 1 - 10| = |... + ... - 10| = |...| = ...\)
b) Dénominateur : \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{...} = ...\)
c) Distance : \(d = \dfrac{...}{...} = ...\)
a) Numérateur : \(|6 + 4 - 10| = |0| = \mathbf{0}\)
b) Dénominateur : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5}\)
c) Distance : \(d = \dfrac{0}{5} = \mathbf{0}\). Le point \(P\) est sur la droite.
Barème : 20 points
Calculer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) pour chaque cas :
a) \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times ... + (-2) \times ... = ...\)
b) \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}6\\-8\end{pmatrix}\) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times ... + 3 \times ... = ...\)
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 1 + (-2) \times 4 = 3 - 8 = \mathbf{-5}\)
b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 6 + 3 \times (-8) = 24 - 24 = \mathbf{0}\)
Dire si les vecteurs suivants sont orthogonaux. Justifier par le calcul.
a) \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 5 + (-5) \times 2 = ... + ... = ...\)
Conclusion : orthogonaux ? ...
b) \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ...\)
Conclusion : orthogonaux ? ...
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 10 - 10 = \mathbf{0}\). Oui, les vecteurs sont orthogonaux.
b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 2 + 1 \times (-3) = 8 - 3 = \mathbf{5} \neq 0\). Non, les vecteurs ne sont pas orthogonaux.
Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\). Calculer l'angle entre ces deux vecteurs.
a) Produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 4 + 1 \times 0 = ...\)
b) Normes : \(|\vec{u}| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{...} = ...\) et \(|\vec{v}| = \sqrt{16 + 0} = ...\)
c) Cosinus : \(\cos\theta = \dfrac{...}{... \times ...} = ...\)
d) Angle : \(\theta = \arccos(...) = ...°\)
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 + 0 = \mathbf{4}\)
b) \(|\vec{u}| = \sqrt{2} \approx \mathbf{1{,}41}\) et \(|\vec{v}| = \sqrt{16} = \mathbf{4}\)
c) \(\cos\theta = \dfrac{4}{\sqrt{2} \times 4} = \dfrac{4}{4\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx \mathbf{0{,}707}\)
d) \(\theta = \arccos(0{,}707) = \mathbf{45°}\)
Un artisan menuisier pousse un panneau avec une force \(\vec{F}\) de norme 150 N. La force fait un angle de 30° avec la direction de déplacement.
a) Calculer la composante utile de la force dans la direction du déplacement :
\(F_{\text{utile}} = |\vec{F}| \times \cos(30°) = 150 \times ... = ...\) N
a) \(F_{\text{utile}} = 150 \times \cos(30°) = 150 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 150 \times 0{,}866 \approx \mathbf{130}\) N
Environ 87 % de la force est utile dans la direction du déplacement.
Calculer la distance du point \(P(1\,;\,3)\) à la droite \(d : 4x - 3y + 5 = 0\).
a) Numérateur : \(|4 \times 1 + (-3) \times 3 + 5| = |... + ... + 5| = |...| = ...\)
b) Dénominateur : \(\sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{...} = ...\)
c) Distance : \(d = \dfrac{...}{...} = ...\)
a) Numérateur : \(|4 - 9 + 5| = |0| = \mathbf{0}\)
b) Dénominateur : \(\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = \mathbf{5}\)
c) Distance : \(d = \dfrac{0}{5} = \mathbf{0}\). Le point \(P\) est sur la droite.
Barème : 20 points
Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\).
a) Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
b) Calculer les normes \(|\vec{u}|\) et \(|\vec{v}|\).
c) En déduire l'angle \(\theta\) entre les deux vecteurs (arrondi au degré).
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 2 + (-1) \times 5 = 8 - 5 = \mathbf{3}\)
b) \(|\vec{u}| = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \approx 4{,}12\) ; \(|\vec{v}| = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx 5{,}39\)
c) \(\cos\theta = \dfrac{3}{\sqrt{17} \times \sqrt{29}} = \dfrac{3}{\sqrt{493}} \approx \dfrac{3}{22{,}20} \approx 0{,}135\)
\(\theta = \arccos(0{,}135) \approx \mathbf{82°}\)
Sur un plan d'agencement, deux cloisons ont pour vecteurs directeurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}\).
a) Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
b) Les deux cloisons sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times (-2) + 2 \times 5 = -10 + 10 = \mathbf{0}\)
b) Le produit scalaire est nul et les deux vecteurs sont non nuls, donc les cloisons sont perpendiculaires. ✓
Une droite \(d\) passe par le point \(A(1\,;\,4)\) et admet le vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\).
a) Écrire l'équation de \(d\) sous la forme \(ax + by + c = 0\).
b) Donner un vecteur directeur de \(d\).
a) Forme générale : \(3x - 2y + c = 0\).
Point \(A(1\,;\,4)\) : \(3(1) - 2(4) + c = 0 \Rightarrow 3 - 8 + c = 0 \Rightarrow c = 5\).
Équation : \(\mathbf{3x - 2y + 5 = 0}\)
b) Un vecteur directeur est \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) (rotation de 90° du vecteur normal).
Un installateur thermique trace le parcours d'une canalisation sur un plan. La canalisation est portée par la droite \(d : 2x - y + 3 = 0\). Un radiateur est fixé au point \(R(4\,;\,1)\).
a) Calculer la distance du radiateur à la canalisation.
b) Donner le vecteur normal et un vecteur directeur de la canalisation.
a) \(d(R, d) = \dfrac{|2(4) - 1(1) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|8 - 1 + 3|}{\sqrt{4 + 1}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5} = \mathbf{2\sqrt{5} \approx 4{,}47}\) unités
b) Vecteur normal : \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\). Vecteur directeur : \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\).
Une fixation subit une force \(\vec{F}\) de norme 600 N qui forme un angle de 35° avec l'axe d'une canalisation.
a) Calculer la composante axiale de la force (dans la direction de la canalisation).
b) La fixation est homologuée pour 500 N en axial. Est-elle suffisante ?
a) \(F_{\text{axiale}} = 600 \times \cos(35°) \approx 600 \times 0{,}819 \approx \mathbf{491}\) N
b) \(491 < 500\) : la fixation est suffisante (sans coefficient de sécurité). Toutefois, la marge est très faible (9 N).
Barème : 20 points
Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\).
a) Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
b) Calculer les normes \(|\vec{u}|\) et \(|\vec{v}|\).
c) En déduire l'angle \(\theta\) entre les deux vecteurs (arrondi au degré).
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = (-3) \times 1 + 2 \times 4 = -3 + 8 = \mathbf{5}\)
b) \(|\vec{u}| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\) ; \(|\vec{v}| = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4{,}12\)
c) \(\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{13} \times \sqrt{17}} = \dfrac{5}{\sqrt{221}} \approx \dfrac{5}{14{,}87} \approx 0{,}336\)
\(\theta = \arccos(0{,}336) \approx \mathbf{70°}\)
Sur un plan d'agencement, deux murs ont pour vecteurs directeurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}\).
a) Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
b) Les deux murs sont-ils perpendiculaires ? Justifier.
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 + 4 \times (-3) = 12 - 12 = \mathbf{0}\)
b) Le produit scalaire est nul et les deux vecteurs sont non nuls, donc les murs sont perpendiculaires. ✓
Une droite \(d\) passe par le point \(A(2\,;\,-1)\) et admet le vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}\).
a) Écrire l'équation de \(d\) sous la forme \(ax + by + c = 0\).
b) Donner un vecteur directeur de \(d\).
a) Forme générale : \(5x + y + c = 0\).
Point \(A(2\,;\,-1)\) : \(5(2) + (-1) + c = 0 \Rightarrow 10 - 1 + c = 0 \Rightarrow c = -9\).
Équation : \(\mathbf{5x + y - 9 = 0}\)
b) Un vecteur directeur est \(\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}\) (rotation de 90° du vecteur normal).
Un menuisier agenceur trace le parcours d'une goulotte électrique sur un plan. La goulotte est portée par la droite \(d : 3x + y - 7 = 0\). Une prise est fixée au point \(P(1\,;\,5)\).
a) Calculer la distance de la prise à la goulotte.
b) Donner le vecteur normal et un vecteur directeur de la goulotte.
a) \(d(P, d) = \dfrac{|3(1) + 1(5) - 7|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \dfrac{|3 + 5 - 7|}{\sqrt{9 + 1}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{10} \approx \mathbf{0{,}32}\) unités
b) Vecteur normal : \(\vec{n}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\). Vecteur directeur : \(\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\).
Un artisan menuisier exerce une traction de norme 400 N sur un chariot. Le câble forme un angle de 25° avec l'horizontale.
a) Calculer la composante horizontale de la force (dans la direction du déplacement).
b) La charge maximale du chariot à l'horizontal est de 350 N. Le chariot va-t-il avancer sans glisser ?
a) \(F_{\text{horizontale}} = 400 \times \cos(25°) \approx 400 \times 0{,}906 \approx \mathbf{362}\) N
b) \(362 > 350\) : la composante horizontale dépasse la charge maximale (de 12 N). Le chariot risque de glisser.
Barème : 20 points
Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}\).
a) Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), \(|\vec{u}|\) et \(|\vec{v}|\).
b) En déduire l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) (arrondi au dixième de degré).
c) Ces vecteurs sont-ils « presque perpendiculaires » ? Justifier.
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 - 6 = \mathbf{0}\)
\(|\vec{u}| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\) ; \(|\vec{v}| = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\)
b) \(\cos\theta = \dfrac{0}{\sqrt{10} \times 2\sqrt{10}} = 0\), donc \(\theta = \mathbf{90{,}0°}\)
c) Ils ne sont pas « presque » perpendiculaires, ils sont exactement perpendiculaires puisque \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).
Sur le plan d'un atelier de menuiserie (repère en mètres), une poutre est portée par la droite passant par \(A(1\,;\,2)\) et \(B(5\,;\,4)\). Un pilier est au point \(P(3\,;\,6)\).
a) Donner le vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}\) et un vecteur normal à la droite \((AB)\).
b) Écrire l'équation de la droite \((AB)\).
c) Calculer la distance du pilier \(P\) à la poutre.
d) Calculer l'angle que fait la poutre avec l'horizontale (axe des \(x\)).
a) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\). Vecteur normal : \(\vec{n}\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}\), simplifié en \(\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\).
b) Forme : \(-x + 2y + c = 0\). Point \(A(1\,;\,2)\) : \(-1 + 4 + c = 0 \Rightarrow c = -3\).
Équation : \(\mathbf{-x + 2y - 3 = 0}\)
c) \(d(P, (AB)) = \dfrac{|-3 + 12 - 3|}{\sqrt{1 + 4}} = \dfrac{6}{\sqrt{5}} = \dfrac{6\sqrt{5}}{5} \approx \mathbf{2{,}68}\) m
d) \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{i}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) : \(\cos\theta = \dfrac{4}{\sqrt{20} \times 1} = \dfrac{4}{2\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \approx 0{,}894\)
\(\theta = \arccos(0{,}894) \approx \mathbf{26{,}6°}\)
Deux conduites dans l'espace 3D ont pour vecteurs directeurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\).
a) Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
b) Calculer les normes de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
c) En déduire l'angle de raccordement entre les deux conduites.
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + 1 \times (-2) + (-2) \times 2 = 2 - 2 - 4 = \mathbf{-4}\)
b) \(|\vec{u}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = \mathbf{3}\) ; \(|\vec{v}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = \mathbf{3}\)
c) \(\cos\theta = \dfrac{-4}{3 \times 3} = \dfrac{-4}{9} \approx -0{,}444\)
\(\theta = \arccos(-0{,}444) \approx \mathbf{116{,}4°}\)
L'angle de raccordement est d'environ 116°. En pratique, l'angle aigu correspondant est \(180° - 116{,}4° = 63{,}6°\).
Sur un plan de réseau de chauffage, un collecteur principal passe par \(C(0\,;\,2)\) avec le vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\). Une dérivation part de \(D(4\,;\,0)\) avec le vecteur directeur \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\).
a) Calculer l'angle entre le collecteur et la dérivation.
b) Écrire l'équation de la droite portant le collecteur.
c) Calculer la distance du point \(D\) au collecteur.
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 + 2 = 5\). \(|\vec{u}| = \sqrt{10}\), \(|\vec{v}| = \sqrt{5}\).
\(\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707\)
\(\theta = \arccos(0{,}707) = \mathbf{45°}\)
b) Vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\) → vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\).
Forme : \(-x + 3y + c = 0\). Point \(C(0\,;\,2)\) : \(0 + 6 + c = 0 \Rightarrow c = -6\).
Équation : \(\mathbf{-x + 3y - 6 = 0}\)
c) \(d(D, \text{collecteur}) = \dfrac{|-4 + 0 - 6|}{\sqrt{1 + 9}} = \dfrac{10}{\sqrt{10}} = \dfrac{10\sqrt{10}}{10} = \sqrt{10} \approx \mathbf{3{,}16}\) unités
Démontrer que dans un triangle rectangle en \(C\), avec \(\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\), le produit scalaire \(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}\) confirme l'angle droit. Puis calculer l'angle \(\widehat{BAC}\) en utilisant les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Angle droit en C : \(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 4 \times 0 + 0 \times 3 = \mathbf{0}\). Le produit scalaire est nul, donc \(\overrightarrow{CA} \perp \overrightarrow{CB}\) : l'angle en \(C\) est bien droit. ✓
Angle en A : On prend \(C = (0,0)\), \(A = (4,0)\), \(B = (0,3)\).
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}\).
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-4)(-4) + 3 \times 0 = 16\)
\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{16+9} = 5\) ; \(|\overrightarrow{AC}| = 4\)
\(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{16}{5 \times 4} = \dfrac{16}{20} = 0{,}8\)
\(\widehat{BAC} = \arccos(0{,}8) \approx \mathbf{36{,}9°}\)
Barème : 20 points
Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\).
a) Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), \(|\vec{u}|\) et \(|\vec{v}|\).
b) En déduire l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) (arrondi au dixième de degré).
c) Ces vecteurs sont-ils « presque perpendiculaires » ? Justifier.
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + (-4) \times 2 = 3 - 8 = \mathbf{-5}\)
\(|\vec{u}| = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\) ; \(|\vec{v}| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)
b) \(\cos\theta = \dfrac{-5}{\sqrt{17} \times \sqrt{13}} = \dfrac{-5}{\sqrt{221}} \approx \dfrac{-5}{14{,}87} \approx -0{,}336\)
\(\theta = \arccos(-0{,}336) \approx \mathbf{109{,}6°}\)
c) Non, ils ne sont pas presque perpendiculaires : l'angle (\(109{,}6°\)) est assez éloigné de \(90°\) (environ 20° d'écart).
Sur le plan d'un atelier d'agencement (repère en mètres), un rail de guidage est porté par la droite passant par \(A(2\,;\,1)\) et \(B(6\,;\,5)\). Une colonne est au point \(P(1\,;\,4)\).
a) Donner le vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}\) et un vecteur normal à la droite \((AB)\).
b) Écrire l'équation de la droite \((AB)\).
c) Calculer la distance de la colonne \(P\) au rail.
d) Calculer l'angle que fait le rail avec l'horizontale (axe des \(x\)).
a) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\). Vecteur normal : \(\vec{n}\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}\), simplifié en \(\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\).
b) Forme : \(-x + y + c = 0\). Point \(A(2\,;\,1)\) : \(-2 + 1 + c = 0 \Rightarrow c = 1\).
Équation : \(\mathbf{-x + y + 1 = 0}\)
c) \(d(P, (AB)) = \dfrac{|-1 + 4 + 1|}{\sqrt{1 + 1}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx \mathbf{2{,}83}\) m
d) \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\) et \(\vec{i}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) : \(\cos\theta = \dfrac{4}{\sqrt{32} \times 1} = \dfrac{4}{4\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707\)
\(\theta = \arccos(0{,}707) = \mathbf{45°}\)
Deux tuyaux dans l'espace 3D ont pour vecteurs directeurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\).
a) Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
b) Calculer les normes de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
c) En déduire l'angle de raccordement entre les deux tuyaux.
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 2 \times 0 = 2 - 2 + 0 = \mathbf{0}\)
b) \(|\vec{u}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = \mathbf{3}\) ; \(|\vec{v}| = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5} \approx \mathbf{2{,}24}\)
c) \(\cos\theta = \dfrac{0}{3 \times \sqrt{5}} = 0\)
\(\theta = \arccos(0) = \mathbf{90°}\)
Les deux tuyaux sont perpendiculaires (raccordement à angle droit).
Sur un plan d'installation, une conduite principale passe par \(C(1\,;\,3)\) avec le vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\). Un raccord part de \(R(5\,;\,1)\) avec le vecteur directeur \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\).
a) Calculer l'angle entre la conduite et le raccord.
b) Écrire l'équation de la droite portant la conduite.
c) Calculer la distance du point \(R\) à la conduite.
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + 1 \times 3 = 5\). \(|\vec{u}| = \sqrt{5}\), \(|\vec{v}| = \sqrt{10}\).
\(\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707\)
\(\theta = \arccos(0{,}707) = \mathbf{45°}\)
b) Vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\) → vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\).
Forme : \(-x + 2y + c = 0\). Point \(C(1\,;\,3)\) : \(-1 + 6 + c = 0 \Rightarrow c = -5\).
Équation : \(\mathbf{-x + 2y - 5 = 0}\)
c) \(d(R, \text{conduite}) = \dfrac{|-5 + 2 - 5|}{\sqrt{1 + 4}} = \dfrac{8}{\sqrt{5}} = \dfrac{8\sqrt{5}}{5} \approx \mathbf{3{,}58}\) unités
Démontrer que dans un triangle rectangle en \(C\), avec \(\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix}0\\12\end{pmatrix}\), le produit scalaire \(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}\) confirme l'angle droit. Puis calculer l'angle \(\widehat{BAC}\) en utilisant les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Angle droit en C : \(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 5 \times 0 + 0 \times 12 = \mathbf{0}\). Le produit scalaire est nul, donc \(\overrightarrow{CA} \perp \overrightarrow{CB}\) : l'angle en \(C\) est bien droit. ✓
Angle en A : On prend \(C = (0,0)\), \(A = (5,0)\), \(B = (0,12)\).
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}-5\\12\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-5\\0\end{pmatrix}\).
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-5)(-5) + 12 \times 0 = 25\)
\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13\) ; \(|\overrightarrow{AC}| = 5\)
\(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{25}{13 \times 5} = \dfrac{25}{65} \approx 0{,}385\)
\(\widehat{BAC} = \arccos(0{,}385) \approx \mathbf{67{,}4°}\)