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Chapitre 11 – Exercices par capacités

Produit scalaire  |  Terminale Bac Pro  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Calculer un produit scalaire à partir des coordonnées

Rappel de cours — Produit scalaire

Par coordonnées : \(\vec{u}(x_1;y_1)\) et \(\vec{v}(x_2;y_2)\) alors \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2\).
Par angle : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta\) où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).

Exercice 1

Calculer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) pour chaque paire de vecteurs :

  1. \(\vec{u}(3 ; 4)\) et \(\vec{v}(2 ; -1)\)
  2. \(\vec{u}(-1 ; 5)\) et \(\vec{v}(3 ; 2)\)
  3. \(\vec{u}(6 ; 0)\) et \(\vec{v}(0 ; -4)\)
Formule : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2\)
  1. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 + 4 \times (-1) = 6 - 4 = 2\)
  2. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = (-1) \times 3 + 5 \times 2 = -3 + 10 = 7\)
  3. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \times 0 + 0 \times (-4) = 0\) (les vecteurs sont orthogonaux)

Exercice 2

On donne les points \(A(1 ; 2)\), \(B(4 ; 6)\) et \(C(7 ; 3)\).
Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).

\(\overrightarrow{AB} = B - A = (4-1 ; 6-2) = (3 ; 4)\)
\(\overrightarrow{AC} = C - A = (7-1 ; 3-2) = (6 ; 1)\)
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times 6 + 4 \times 1 = 18 + 4 = 22\)

Exercice 3

Dans un plan de coupe, un menuisier repère les points \(A(0 ; 0)\), \(B(8 ; 0)\) et \(C(5 ; 6)\) (coordonnées en cm).
Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).

\(\overrightarrow{AB} = (8-0 ; 0-0) = (8 ; 0)\)
\(\overrightarrow{AC} = (5-0 ; 6-0) = (5 ; 6)\)
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 8 \times 5 + 0 \times 6 = 40\)

Exercice 4

Calculer les normes \(|\vec{u}|\) et \(|\vec{v}|\) puis le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) avec \(\vec{u}(4 ; -3)\) et \(\vec{v}(6 ; 2)\).

\(|\vec{u}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\)
\(|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 6 + (-3) \times 2 = 24 - 6 = 18\)

C2 — Calculer un produit scalaire à partir de la norme et de l'angle

Rappel de cours

Formule angulaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta\), où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
Cas particuliers : si \(\theta = 90°\) alors \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) ; si \(\theta = 0°\) alors \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|\).
Le produit scalaire peut être négatif si l'angle est obtus (\(90° < \theta \leq 180°\)).

→u →v θ
Angle \(\theta\) entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) — \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta\)

Exercice 5

Calculer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) en utilisant la formule \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\) :

  1. \(|\vec{u}| = 3\), \(|\vec{v}| = 4\), \(\theta = 60°\)
  2. \(|\vec{u}| = 5\), \(|\vec{v}| = 2\), \(\theta = 90°\)
  3. \(|\vec{u}| = 6\), \(|\vec{v}| = 3\), \(\theta = 0°\)
  1. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 \times \cos(60°) = 12 \times 0{,}5 = 6\)
  2. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times 2 \times \cos(90°) = 10 \times 0 = 0\)
  3. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \times 3 \times \cos(0°) = 18 \times 1 = 18\)

Exercice 6

Un artisan agenceur tire une planche en exerçant une force \(\vec{F}\) de norme 80 N selon une direction faisant un angle de 30° avec l'axe de déplacement \(\vec{d}\) de norme 1,5 m.
Calculer le travail \(W = \vec{F} \cdot \vec{d}\).

\(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = |\vec{F}| \times |\vec{d}| \times \cos(30°)\)
\(W = 80 \times 1{,}5 \times \cos(30°) = 120 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 120 \times 0{,}866 \approx 103{,}9\) J

Exercice 7

Dans un triangle \(ABC\), on sait que \(AB = 5\), \(AC = 8\) et l'angle \(\widehat{BAC} = 45°\).
Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\)
\(= 5 \times 8 \times \cos(45°) = 40 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2} \approx 28{,}3\)

Exercice 8

Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) dans chacun des cas suivants :

  1. \(|\vec{u}| = 4\), \(|\vec{v}| = 7\), angle de 120°
  2. \(|\vec{u}| = \sqrt{2}\), \(|\vec{v}| = \sqrt{2}\), angle de 90°
  3. \(|\vec{u}| = 10\), \(|\vec{v}| = 3\), angle de 180°
  1. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 7 \times \cos(120°) = 28 \times (-0{,}5) = -14\)
  2. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \cos(90°) = 2 \times 0 = 0\)
  3. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 10 \times 3 \times \cos(180°) = 30 \times (-1) = -30\)

C3 — Démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux

Rappel de cours

Deux vecteurs \(\vec{u}(x_1;y_1)\) et \(\vec{v}(x_2;y_2)\) sont orthogonaux si et seulement si \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\), c'est-à-dire \(x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0\).
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Exercice 9

Parmi les paires de vecteurs suivantes, identifier celles qui sont orthogonales :

  1. \(\vec{u}(3 ; -2)\) et \(\vec{v}(4 ; 6)\)
  2. \(\vec{u}(5 ; 2)\) et \(\vec{v}(-2 ; 5)\)
  3. \(\vec{u}(1 ; -3)\) et \(\vec{v}(3 ; 1)\)
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
  1. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 + (-2) \times 6 = 12 - 12 = 0\) → orthogonaux ✔
  2. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times (-2) + 2 \times 5 = -10 + 10 = 0\) → orthogonaux ✔
  3. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + (-3) \times 1 = 3 - 3 = 0\) → orthogonaux ✔

Exercice 10

On donne les points \(A(1 ; 3)\), \(B(5 ; 1)\) et \(C(3 ; 7)\).
Démontrer que les droites \(AB\) et \(AC\) sont perpendiculaires.

\(\overrightarrow{AB} = (5-1 ; 1-3) = (4 ; -2)\)
\(\overrightarrow{AC} = (3-1 ; 7-3) = (2 ; 4)\)
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 2 + (-2) \times 4 = 8 - 8 = 0\)
Comme le produit scalaire est nul, les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont orthogonaux, donc les droites \(AB\) et \(AC\) sont perpendiculaires.

Exercice 11

Dans un plan d'agencement (coordonnées en cm), un menuisier agenceur repère trois points caractéristiques :
\(P(0 ; 0)\), \(Q(6 ; 0)\) et \(R(0 ; 8)\).
Vérifier que les deux parois \(PQ\) et \(PR\) se rejoignent à angle droit en \(P\).

\(\overrightarrow{PQ} = (6 ; 0)\) et \(\overrightarrow{PR} = (0 ; 8)\)
\(\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR} = 6 \times 0 + 0 \times 8 = 0\)
Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs sont orthogonaux. Les deux parois se rejoignent bien à angle droit en \(P\).

Exercice 12

Trouver la valeur de \(k\) pour que les vecteurs \(\vec{u}(k ; 3)\) et \(\vec{v}(4 ; -6)\) soient orthogonaux.

Condition d'orthogonalité : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
\(k \times 4 + 3 \times (-6) = 0\)
\(4k - 18 = 0\)
\(4k = 18\)
\(k = \dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5\)

C4 — Calculer un angle entre deux vecteurs en utilisant le produit scalaire

Rappel de cours

On isole \(\cos\theta\) dans la formule du produit scalaire :
\(\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}\), puis \(\theta = \arccos\!\left(\dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}\right)\).
L'angle obtenu est dans \([0°\,;\,180°]\). Pour l'angle entre deux droites, on prend la valeur dans \([0°\,;\,90°]\).

Exercice 13

Calculer l'angle \(\theta\) entre les vecteurs \(\vec{u}(3 ; 4)\) et \(\vec{v}(4 ; 3)\).
Rappel : \(\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \times |\vec{v}|}\)

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 + 4 \times 3 = 12 + 12 = 24\)
\(|\vec{u}| = \sqrt{9+16} = 5\) ; \(|\vec{v}| = \sqrt{16+9} = 5\)
\(\cos\theta = \dfrac{24}{5 \times 5} = \dfrac{24}{25} = 0{,}96\)
\(\theta = \arccos(0{,}96) \approx 16{,}3°\)

Exercice 14

On donne les points \(A(2 ; 1)\), \(B(6 ; 3)\) et \(C(4 ; 5)\).
Calculer l'angle \(\widehat{BAC}\) (l'angle en \(A\) du triangle \(ABC\)).

\(\overrightarrow{AB} = (4 ; 2)\) et \(\overrightarrow{AC} = (2 ; 4)\)
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 2 + 2 \times 4 = 8 + 8 = 16\)
\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
\(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
\(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{16}{2\sqrt{5} \times 2\sqrt{5}} = \dfrac{16}{4 \times 5} = \dfrac{16}{20} = 0{,}8\)
\(\widehat{BAC} = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}9°\)

Exercice 15

Un technicien chauffagiste pose deux canalisations depuis un point \(O(0;0)\) :
— Canalisation 1 vers le point \(A(5 ; 2)\)
— Canalisation 2 vers le point \(B(1 ; 4)\)
Calculer l'angle entre les deux canalisations en \(O\).

\(\overrightarrow{OA} = (5 ; 2)\) et \(\overrightarrow{OB} = (1 ; 4)\)
\(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 5 \times 1 + 2 \times 4 = 5 + 8 = 13\)
\(|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}\)
\(|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{1+16} = \sqrt{17}\)
\(\cos\theta = \dfrac{13}{\sqrt{29} \times \sqrt{17}} = \dfrac{13}{\sqrt{493}} \approx \dfrac{13}{22{,}2} \approx 0{,}585\)
\(\theta = \arccos(0{,}585) \approx 54{,}2°\)

Exercice 16

Calculer l'angle entre les droites \(d_1\) et \(d_2\) sachant que :

  • \(d_1\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}(1 ; 2)\)
  • \(d_2\) a pour vecteur directeur \(\vec{v}(3 ; -1)\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) = 3 - 2 = 1\)
\(|\vec{u}| = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}\) ; \(|\vec{v}| = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\)
\(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{50}} = \dfrac{1}{5\sqrt{2}} \approx \dfrac{1}{7{,}07} \approx 0{,}141\)
\(\theta = \arccos(0{,}141) \approx 81{,}9°\)
L'angle entre deux droites est toujours entre 0° et 90°. On prend ici \(\theta \approx 81{,}9°\).

C5 — Appliquer le produit scalaire à des problèmes de géométrie et professionnels

Rappel de cours

Usages clés du produit scalaire en géométrie :
— Vérifier qu'un angle est droit : calculer \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\) et vérifier qu'il est nul.
— Calculer un angle dans un triangle : \(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \times AC}\).
— En physique : travail \(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \times d \times \cos\alpha\).

Exercice 17 – Distance d'un point à une droite

On donne les points \(A(1 ; 1)\) et \(B(5 ; 1)\) (longueurs en cm). Le point \(H\) est le pied de la perpendiculaire abaissée de \(C(3 ; 4)\) sur la droite \(AB\).
En déduire la distance \(CH\).

La droite \(AB\) est horizontale (\(y = 1\)).
Le pied de la perpendiculaire issue de \(C(3;4)\) sur \(AB\) est \(H(3 ; 1)\) (même abscisse, ordonnée sur la droite).
\(\overrightarrow{CH} = (3-3 ; 1-4) = (0 ; -3)\)
Distance \(CH = |\overrightarrow{CH}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3\) cm.
Vérification : \(\overrightarrow{AB} = (4 ; 0)\) et \(\overrightarrow{CH} = (0 ; -3)\) ; \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CH} = 0\) → bien perpendiculaire ✔

Exercice 18 – Application au triangle rectangle

On considère un triangle \(ABC\) de sommets \(A(0 ; 0)\), \(B(4 ; 0)\) et \(C(0 ; 3)\).

  1. Démontrer que le triangle est rectangle en \(A\).
  2. Calculer l'hypoténuse \(BC\).
  3. Calculer l'angle \(\widehat{ABC}\).
  1. \(\overrightarrow{AB} = (4 ; 0)\) et \(\overrightarrow{AC} = (0 ; 3)\)
    \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 0 + 0 \times 3 = 0\) → le triangle est rectangle en \(A\).
  2. \(BC = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\)
  3. \(\overrightarrow{BA} = (-4 ; 0)\) et \(\overrightarrow{BC} = (-4 ; 3)\)
    \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-4)(-4) + 0 \times 3 = 16\)
    \(|\overrightarrow{BA}| = 4\) ; \(|\overrightarrow{BC}| = 5\)
    \(\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{16}{4 \times 5} = \dfrac{16}{20} = 0{,}8\)
    \(\widehat{ABC} = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}9°\)

Exercice 19 – Plan d'agencement

Sur un plan d'un local (coordonnées en mètres), un artisan agenceur repère quatre coins d'un meuble encastré :
\(P(1 ; 1)\), \(Q(4 ; 1)\), \(R(4 ; 3)\) et \(S(1 ; 3)\).

  1. Calculer \(\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PS}\) et vérifier que l'angle en \(P\) est bien droit.
  2. Calculer les dimensions du meuble (longueur \(PQ\) et largeur \(PS\)).
  3. En déduire la diagonale \(PR\).
  1. \(\overrightarrow{PQ} = (3 ; 0)\) et \(\overrightarrow{PS} = (0 ; 2)\)
    \(\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PS} = 3 \times 0 + 0 \times 2 = 0\) → angle droit en \(P\) ✔
  2. Longueur \(PQ = |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{9+0} = 3\) m
    Largeur \(PS = |\overrightarrow{PS}| = \sqrt{0+4} = 2\) m
  3. \(\overrightarrow{PR} = (3 ; 2)\)
    \(PR = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\) m

Exercice 20 – Réseau de canalisations

Sur un plan de chantier (coordonnées en mètres), un technicien chauffagiste trace deux tronçons de canalisation : du point \(O(0 ; 0)\) au point \(A(6 ; 4)\), et du point \(O\) au point \(B(2 ; -3)\).

  1. Calculer la longueur \(OA\) et la longueur \(OB\).
  2. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}\).
  3. En déduire l'angle entre les deux canalisations en \(O\). Donner une valeur approchée au degré.
  1. \(OA = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21\) m
    \(OB = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\) m
  2. \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 6 \times 2 + 4 \times (-3) = 12 - 12 = 0\)
  3. Le produit scalaire est nul, donc \(\cos\theta = 0\), donc \(\theta = 90°\).
    Les deux canalisations se croisent à angle droit en \(O\).

Exercice 21 – Identité remarquable vectorielle

Soit un triangle \(ABC\) avec \(\overrightarrow{AB}(5 ; 0)\) et \(\overrightarrow{AC}(3 ; 4)\).

  1. Calculer \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\).
  2. Calculer \(BC^2 = |\overrightarrow{BC}|^2\).
  3. Vérifier la relation d'Al-Kashi : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).
  1. \(\overrightarrow{BC} = (3-5 ; 4-0) = (-2 ; 4)\)
  2. \(BC^2 = (-2)^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20\), donc \(BC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
  3. \(AB^2 = 25\), \(AC^2 = 9+16 = 25\)
    \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 5 \times 3 + 0 \times 4 = 15\)
    \(AB^2 + AC^2 - 2 \cdot \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 25 + 25 - 30 = 20 = BC^2\) ✔

C6 — 3e expression et propriétés du produit scalaire

À retenir

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2}(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2)\). Propriétés : commutativité, linéarité, \(\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2\).

Exercice 16

\(\|\vec{u}\|=3\), \(\|\vec{v}\|=4\), \(\|\vec{u}+\vec{v}\|=6\). Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}(36-9-16)=\frac{11}{2}=\mathbf{5{,}5}\).

Exercice 17

\(\|\vec{u}\|=5\), \(\|\vec{v}\|=12\), \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Calculer \(\|\vec{u}+\vec{v}\|\).

\(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=25+0+144=169\) → \(\|\vec{u}+\vec{v}\|=\mathbf{13}\) (Pythagore vectoriel).