Chapitre 11 – Produit scalaire | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Tania, technicienne en agencement de centres commerciaux, calcule les forces sur un escalator incliné à 30°. Le moteur exerce une force F⃗ parallèle à la pente, de norme 800 N. On veut décomposer cette force pour comprendre l'efficacité énergétique du système.
Pour un vecteur F⃗ de norme F incliné d'un angle α par rapport à l'horizontale :
F_x = F × cos(α) (composante horizontale)
F_y = F × sin(α) (composante verticale)
Vérification : ||F⃗|| = √(F_x² + F_y²) = F (Pythagore).
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (projection sur un axe) et §5 (composantes d'un vecteur).
Calculer la composante horizontale F_x et la composante verticale F_y de la force F = 800 N inclinée à 30°.
Vérification : √(693² + 400²) = √(480 249 + 160 000) = √640 249 ≈ 800,2 N ≈ F ✓.
L'usager veut surtout monter (composante verticale qui combat la gravité). Quelle proportion de l'énergie sert vraiment à le monter ?
Composante « utile » (verticale) : 400 N.
Composante « inutile pour la montée » (horizontale) : 693 N.
Proportion utile : 400 / 800 = 50 % (= sin 30°).
Donc seule la moitié de la force du moteur sert à élever réellement les usagers.
Pour un escalator à 45° (plus raide), quelle proportion serait utile ?
F_y = F × sin(45°) = 800 × 0,707 = 566 N.
Proportion : 566 / 800 = 70,7 % (= sin 45°).
Plus la pente est raide, plus la composante verticale est grande, plus l'efficacité énergétique est haute.
Cas limites :
Pourquoi un escalator typique est-il à 30° et non plus raide pour économiser de l'énergie ?
Contraintes autres qu'énergétiques :
L'ascenseur (90°) est le plus économe énergétiquement, mais plus cher à installer et limité en débit (1 cabine = 1-2 personnes/min vs 60-100/min pour un escalator).
L'escalator est un compromis débit / sécurité / confort, pas énergétique. Le surcoût énergétique est accepté.
Pour transporter 60 personnes/minute (poids moyen 75 kg) sur 4 m de hauteur, calculer la puissance moteur nécessaire (P = F × v, v vitesse de l'escalator ≈ 0,5 m/s).
Force pour soulever 60 personnes (poids total 4 500 kg) : poids = 4 500 × 9,81 ≈ 44 145 N.
Mais 60 personnes ne sont pas toutes sur l'escalator simultanément. Si la durée du trajet est 4/0,5 × 2 (= aller + retour pas tous présents) ≈ 16 secondes, et 1 personne par seconde monte → ~16 personnes simultanées sur le ruban. Poids ~ 1 200 kg.
Force verticale : 1 200 × 9,81 ≈ 11 770 N. Avec inclinaison 30° : F nécessaire = 11 770 / sin(30°) = 23 540 N.
Puissance : P = F × v = 23 540 × 0,5 ≈ 11,8 kW.
Avec rendement moteur 80 % : puissance électrique consommée ~ 15 kW. Comparable à 5 fers à repasser.
L'escalator fonctionne 14 h/jour, 365 j/an. Calculer la consommation annuelle (à 0,18 €/kWh).
Énergie annuelle : 15 kW × 14 h/j × 365 j/an = 76 650 kWh/an.
Coût : 76 650 × 0,18 = 13 800 €/an.
Sur 20 ans (durée de vie escalator) : 276 000 €. C'est l'argument pour les escalators à variation de vitesse qui ralentissent ou s'arrêtent quand personne ne les utilise.
Économie possible : -50 % à -70 % sur la consommation. ROI rapide pour les centres commerciaux.
Rédiger en 5 lignes une note technique pour le maître d'ouvrage (centre commercial) sur le choix de l'escalator vs ascenseur.
Note — Escalator vs ascenseur (centre commercial)
| Critère | Escalator 30° | Ascenseur |
|---|---|---|
| Énergie utile | 50 % | 100 % |
| Débit | 60-100 pers/min | 5-15 pers/min |
| Coût installation | 50-80 k€ | 30-50 k€ |
| Adapté PMR | Non | Oui |
Recommandation : escalator pour le débit principal, ascenseur en complément pour PMR et chariots. Investir dans une variation de vitesse (économie énergie 50-70 %).
La projection orthogonale est aussi utilisée pour calculer le travail réel d'une force. Si une voiture roule horizontalement et qu'on lui applique une force inclinée à 60° du sol, quel pourcentage du travail va à la propulsion ?
Composante horizontale (utile pour propulser) : F × cos(60°) = F × 0,5 = 50 %.
50 % du travail est utile, 50 % est « gaspillé » en composante verticale (qui ne fait pas avancer la voiture).
Cas extrêmes :
C'est pourquoi en mécanique, on cherche toujours à aligner la force avec le déplacement souhaité (poussée d'avion, propulsion fusée).