Chapitre 11 – Produit scalaire | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Sébastien, charpentier, conçoit une toiture à 4 pans (« en pavillon ») pour une maison carrée. 2 pans adjacents se rencontrent en une arête saillante (= « arête de noulet »). Pour fabriquer la pièce de jonction (chevron d'arêtier), il a besoin de connaître l'angle dièdre entre ces 2 pans.
Les 2 vecteurs normaux (perpendiculaires aux toits, dirigés vers l'extérieur) sont donnés par :
Pour calculer l'angle entre les 2 pans :
cos(α) = (n₁⃗ · n₂⃗) / (||n₁⃗|| × ||n₂⃗||)
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §2 (produit scalaire en 3D) et §4 (angle entre 2 vecteurs).
Calculer le produit scalaire n₁⃗ · n₂⃗.
Pour des vecteurs en 3D, u⃗ · v⃗ = u_x × v_x + u_y × v_y + u_z × v_z.
n₁⃗ · n₂⃗ = 0 × 0,5 + 0,5 × 0 + 1 × 1 = 0 + 0 + 1 = 1.
Calculer les normes ||n₁⃗|| et ||n₂⃗||.
||n₁⃗|| = √(0² + 0,5² + 1²) = √(0 + 0,25 + 1) = √1,25 ≈ 1,118.
||n₂⃗|| = √(0,5² + 0² + 1²) = √1,25 ≈ 1,118.
Mêmes normes, par symétrie de la configuration.
Calculer cos(α) puis l'angle α entre les 2 vecteurs normaux.
cos(α) = (n₁⃗ · n₂⃗) / (||n₁⃗|| × ||n₂⃗||) = 1 / (1,118 × 1,118) = 1 / 1,25 = 0,800.
α = arccos(0,800) ≈ 36,9°.
C'est l'angle entre les 2 normales aux pans.
L'angle dièdre β entre les 2 pans est complémentaire (β = 180° − α). Le calculer.
β = 180° − 36,9° = 143,1°.
L'angle dièdre entre les 2 pans est de 143°.
(C'est un angle obtus car les pans s'évasent vers l'extérieur. Sur un toit plus pentu, l'angle serait plus aigu.)
Pour fabriquer le chevron d'arêtier, Sébastien doit le couper avec quel angle d'onglet (par rapport à la verticale) ?
Le chevron d'arêtier épouse les 2 pans. Sa coupe d'onglet est à la moitié de l'angle dièdre :
Angle d'onglet = β / 2 = 143,1 / 2 ≈ 71,5° par rapport à l'horizontale (ou 18,5° par rapport à la verticale).
Ces angles précis évitent les fuites et donnent une jonction esthétique. Sébastien règle sa scie radiale ou son onglet à 71,5° pour les coupes.
Si la pente des pans était plus forte (n₁⃗ = (0 ; 1 ; 1) au lieu de (0 ; 0,5 ; 1)), recalculer l'angle dièdre.
n₁⃗ · n₂⃗ = 0 × 1 + 1 × 0 + 1 × 1 = 1 (inchangé pour cet exemple symétrique).
||n₁⃗|| = √(0 + 1 + 1) = √2 ≈ 1,414.
cos(α) = 1 / (1,414 × 1,414) = 1 / 2 = 0,5 → α = 60°.
β = 180° − 60° = 120°.
Toit plus pentu → angle dièdre plus aigu (120° vs 143°). C'est cohérent : plus les pans sont raides, plus ils se rapprochent et l'arête est plus marquée.
Pourquoi cette méthode du produit scalaire est-elle utile pour le charpentier ?
Avantages :
Sans le produit scalaire, le charpentier travaillerait par essais et erreurs → bois gaspillé, fuites possibles.
Rédiger en 5 lignes une fiche métier : utilité du produit scalaire en charpente.
Fiche métier — Produit scalaire en charpente
Le produit scalaire permet de calculer rapidement et précisément les angles entre 2 surfaces (pans de toit, façades, escaliers...).
Vérification : utiliser un logiciel de CAO (Cadwork, AutoCAD) pour double-check les angles avant la coupe.
Sur un toit asymétrique : pan Sud (n₁ = (0 ; 0,5 ; 1)) et pan Est (n₂ = (0,8 ; 0 ; 1)). Recalculer l'angle dièdre.
n₁ · n₂ = 0 × 0,8 + 0,5 × 0 + 1 × 1 = 1.
||n₁|| = √1,25 ≈ 1,118. ||n₂|| = √(0,64 + 0 + 1) = √1,64 ≈ 1,281.
cos(α) = 1 / (1,118 × 1,281) = 1 / 1,432 ≈ 0,698 → α ≈ 45,7°.
β = 180° − 45,7° = 134,3°.
Asymétrie : angle légèrement différent de 143° (cas symétrique). En pratique, le charpentier doit calculer chaque arête séparément si les pans n'ont pas la même pente.