Chapitre 11 – Produit scalaire | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Romain, déménageur, doit pousser une caisse de 100 kg sur 10 m de distance. Il applique une force de 200 N. Quel travail effectue-t-il selon l'angle de poussée ?
W = F⃗ · d⃗ = ||F⃗|| × ||d⃗|| × cos(α)
où α est l'angle entre la force et le déplacement, W en joules (J).
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (produit scalaire) et §3 (application au travail d'une force).
Calculer le travail W de la force F = 200 N sur le déplacement d = 10 m, à l'angle α = 30°.
W = F × d × cos(α) = 200 × 10 × cos(30°) = 2 000 × 0,866 ≈ 1 732 J.
Si Romain poussait horizontalement (α = 0°), avec la même force 200 N, quel serait le travail ?
W = 200 × 10 × cos(0°) = 200 × 10 × 1 = 2 000 J.
Le travail est maximal quand F⃗ est aligné avec d⃗.
Quelle est la perte de travail utile entre le cas oblique (30°) et horizontal (0°) ?
Perte : 2 000 − 1 732 = 268 J, soit 13 % du travail.
Ce travail « perdu » correspond à la composante verticale de la force qui ne contribue pas au déplacement horizontal.
Pourtant, les déménageurs poussent souvent en diagonale vers le bas. Pourquoi ?
Mathématiquement, on perd 268 J (13 %) en travail utile. Mais la composante verticale vers le bas a 2 effets :
Pour une caisse trop légère (qui glisse facilement) : pousser horizontal ou légèrement vers le haut diminue les frottements → plus efficace.
Pour une caisse lourde et stable : pousser horizontal est optimal énergétiquement.
Pour un meuble qui résiste (frottement secs) : la diagonale aide à le déplacer en augmentant la force normale.
Si Romain pousse perpendiculairement au déplacement (α = 90°), quel travail ? Pourquoi ?
W = 200 × 10 × cos(90°) = 200 × 10 × 0 = 0 J.
Aucun travail ! La force perpendiculaire ne fait pas avancer la caisse.
Exemples physiques :
Cette propriété (cos 90° = 0) est essentielle en physique pour distinguer forces « actives » et forces « passives ».
Si Romain freine la caisse (force opposée au déplacement, α = 180°), calculer W. Que signifie un travail négatif ?
W = 200 × 10 × cos(180°) = 200 × 10 × (−1) = −2 000 J.
Travail négatif : la force « consomme » l'énergie cinétique de la caisse au lieu de l'augmenter.
C'est le cas du frottement quand on pousse, ou des freins d'une voiture qui ralentit.
Énergie cinétique perdue → généralement transformée en chaleur (frottements).
Avec une force de 250 N à 45°, quel travail sur 10 m ? Comparer aux 1 732 J du cas précédent.
W = 250 × 10 × cos(45°) = 2 500 × 0,707 ≈ 1 768 J.
Légèrement plus que 1 732 J (+ 36 J).
Compromis : la force est plus grande (250 vs 200), mais l'angle est moins favorable (45° vs 30°). Les deux effets se compensent presque.
Pour optimiser : à effort F constant, l'angle optimal est α = 0° (poussée horizontale). En pratique, on choisit l'angle selon la stabilité et l'ergonomie.
Rédiger en 5 lignes des conseils pratiques pour un nouveau déménageur (économie de force).
Conseils ergonomiques au déménageur
Calcul du produit scalaire par les coordonnées : si F⃗ = (3 ; 4) N et d⃗ = (5 ; 0) m, calculer F⃗·d⃗ par les 2 méthodes. Quel angle α ?
Méthode 1 (composantes) : F⃗·d⃗ = F_x × d_x + F_y × d_y = 3 × 5 + 4 × 0 = 15 J.
Méthode 2 (norme + angle) : ||F⃗|| = √(9 + 16) = 5 N. ||d⃗|| = 5 m.
F⃗·d⃗ = ||F⃗|| × ||d⃗|| × cos α = 25 × cos α.
D'où cos α = 15 / 25 = 0,6 → α = 53° (= arctan(4/3), triplet pythagoricien).
Les 2 méthodes donnent 15 J. La 1ère est plus rapide en pratique (pas besoin de mesurer l'angle), la 2ème est plus intuitive géométriquement.