Ch10 – Nombres complexes – QCM

Question 1

Définition – Unité imaginaire

Quelle est la valeur de \(i^2\) ?

\(1\) \(-1\) \(0\) \(i\)

Question 2

Forme algébrique – Partie réelle

Pour le nombre complexe \(z = 5 - 3i\), la partie réelle est :

\(-3\) \(3\) \(5\) \(5 - 3i\)

Question 3

Forme algébrique – Partie imaginaire

Pour le nombre complexe \(z = -2 + 7i\), la partie imaginaire est :

\(7\) \(-2\) \(7i\) \(-2 + 7i\)

Question 4

Addition de complexes

Soient \(z_1 = 3 + 2i\) et \(z_2 = 1 - 5i\). Calculer \(z_1 + z_2\) :

\(4 + 7i\) \(2 + 3i\) \(4 + 3i\) \(4 - 3i\)

Question 5

Soustraction de complexes

Soient \(z_1 = 4 + i\) et \(z_2 = 1 + 3i\). Calculer \(z_1 - z_2\) :

\(5 + 4i\) \(3 - 2i\) \(3 + 4i\) \(-3 + 2i\)

Question 6

Conjugué

Le conjugué de \(z = 2 + 5i\) est :

\(2 + 5i\) \(-2 - 5i\) \(2 - 5i\) \(-2 + 5i\)

Question 7

Module – Définition

Le module de \(z = a + ib\) est :

\(\sqrt{a^2 + b^2}\) \(a^2 + b^2\) \(a + b\) \(\sqrt{a^2 - b^2}\)

Question 8

Module – Calcul

Calculer le module de \(z = 3 + 4i\) :

\(7\) \(\sqrt{7}\) \(1\) \(5\)

Question 9

Nature d'un nombre complexe

Le nombre \(z = -4i\) est :

un réel un imaginaire pur un nombre complexe non réel avec partie réelle non nulle nul

Question 10

Conjugué – Propriété

Pour tout complexe \(z = a + ib\), on a \(z \times \bar{z} =\) :

\(2a\) \(a^2 - b^2\) \(a^2 + b^2\) \(0\)

Question 11

Calcul – i au carré dans une expression

Simplifier \(3i^2\) :

\(-3\) \(3\) \(3i\) \(-3i\)

Question 12

Forme algébrique – Identifier les parties

Pour \(z = -1 + i\), quelles sont Re\((z)\) et Im\((z)\) ?

Re\((z) = 1\) et Im\((z) = -1\) Re\((z) = -1\) et Im\((z) = -1\) Re\((z) = 1\) et Im\((z) = 1\) Re\((z) = -1\) et Im\((z) = 1\)

Question 13

Module – Calcul

Le module de \(z = 0 + 6i\) est :

\(0\) \(6\) \(-6\) \(\sqrt{6}\)

Question 14

Conjugué – Calcul

Le conjugué de \(z = -3 - 2i\) est :

\(3 + 2i\) \(-3 - 2i\) \(-3 + 2i\) \(3 - 2i\)

Question 15

Module – Propriété

Pour un nombre réel \(a\) (c'est-à-dire \(z = a + 0i\)), son module \(|z|\) vaut :

la valeur absolue \(|a|\) \(a^2\) \(2a\) \(\sqrt{2a}\)

Question 1

Multiplication de complexes

Soient \(z_1 = 2 + 3i\) et \(z_2 = 1 - i\). Calculer \(z_1 \times z_2\) :

\(2 - 3i\) \(2 + 3i\) \(5 + i\) \(-1 + 5i\)

Question 2

Multiplication – Règle clé

Lors d'un produit \((a+ib)(c+id)\), quel terme important simplifie le calcul ?

\(i^3 = i\) \(i^2 = -1\), ce qui transforme \(-bdi^2\) en \(+bd\) \(i^2 = 1\), ce qui élimine le terme imaginaire \(i \times i = 2i\)

Question 3

Division – Technique du conjugué

Pour calculer \(\dfrac{z_1}{z_2}\) en forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par :

le conjugué \(\bar{z}_2\) \(z_2\) lui-même \(|z_2|\) \(z_1\)

Question 4

Division – Calcul

Calculer \(\dfrac{1}{1+i}\) en forme algébrique :

\(1 - i\) \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i\) \(1 + i\) \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i\)

Question 5

Module – Propriété multiplicative

Pour deux complexes \(z_1\) et \(z_2\), on a :

\(|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|\) \(|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|\) \(|z_1 \times z_2| = |z_1| + |z_2|\) \(|z_1| = |z_2|\)

Question 6

Argument – Identification

Pour \(z = 2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\), l'argument de \(z\) est :

\(2\) \(\dfrac{2\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{6}\)

Question 7

Forme trigonométrique – Module

Pour \(z = 3(\cos\theta + i\sin\theta)\), le module de \(z\) est :

\(3\) \(\cos\theta\) \(\theta\) \(9\)

Question 8

Équation – Discriminant négatif

Pour l'équation \(z^2 + 4 = 0\), les solutions dans \(\mathbb{C}\) sont :

\(z = \pm 2\) \(z = \pm 4i\) Pas de solution \(z = \pm 2i\)

Question 9

Équation du second degré – Discriminant

Pour \(z^2 - 2z + 5 = 0\), le discriminant \(\Delta\) vaut :

\(24\) \(-16\) \(4\) \(-4\)

Question 10

Équation du second degré – Solutions complexes

Pour \(z^2 - 2z + 5 = 0\) avec \(\Delta = -16\), les solutions sont :

\(z = 1 \pm 4i\) \(z = -1 \pm 2i\) \(z = 1 \pm 2i\) \(z = 2 \pm 4i\)

Question 11

Multiplication – Résultat

Calculer \((1 + i)^2\) :

\(2i\) \(2\) \(1 + 2i\) \(-2i\)

Question 12

Forme trigonométrique – Conversion

Le nombre \(z = 1 + i\) a pour module et argument :

\(r = 2,\ \theta = \dfrac{\pi}{4}\) \(r = 1,\ \theta = \dfrac{\pi}{4}\) \(r = 2,\ \theta = \dfrac{\pi}{2}\) \(r = \sqrt{2},\ \theta = \dfrac{\pi}{4}\)

Question 13

Division – Calcul

Calculer \(\dfrac{3 + i}{1 - i}\) en forme algébrique :

\(3 - i\) \(1 + 2i\) \(2 + i\) \(3 + i\)

Question 14

Plan complexe – Représentation

Dans le plan complexe, le nombre \(z = 3 - 2i\) correspond au point de coordonnées :

\((3i\,;\,-2)\) \((-2\,;\,3)\) \((3\,;\,-2)\) \((3\,;\,2)\)

Question 15

Distance dans le plan complexe

Si \(z_A = 1 + 2i\) et \(z_B = 4 - 2i\), la distance \(AB\) vaut :

\(5\) \(\sqrt{7}\) \(3\) \(\sqrt{34}\)

Question 1

Forme exponentielle – Euler

La formule d'Euler donne : \(e^{i\theta} =\) :

\(\cos\theta - i\sin\theta\) \(\cos\theta + i\sin\theta\) \(e^{-\theta}\) \(\sin\theta + i\cos\theta\)

Question 2

Forme exponentielle – Conversion

Le nombre \(z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\) en forme algébrique est :

\(\sqrt{2} + \sqrt{2}\) \(\sqrt{2}i\) \(1 + i\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}i\)

Question 3

Identité d'Euler

L'identité remarquable \(e^{i\pi} + 1 = 0\) provient du fait que :

\(e^{i\pi} = 1\) \(e^{i\pi} = i\) \(\cos\pi = 1\) et \(\sin\pi = 0\) \(\cos\pi = -1\) et \(\sin\pi = 0\)

Question 4

Produit en forme exponentielle

Si \(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\) et \(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\), alors \(z_1 \times z_2 =\) :

\(r_1 r_2\, e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\) \((r_1 + r_2)\, e^{i(\theta_1 \theta_2)}\) \(r_1 r_2\, e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\) \(r_1 r_2\, e^{i\theta_1}\)

Question 5

Impédance complexe – Application en installation thermique

Un installateur thermique modélise un circuit RL série avec \(R = 30\,\Omega\) et une réactance \(X_L = 40\,\Omega\). L'impédance totale \(|Z|\) vaut :

\(70\,\Omega\) \(10\,\Omega\) \(50\,\Omega\) \(\sqrt{1300}\,\Omega\)

Question 6

Impédance – Réactance inductive

Pour une bobine d'inductance \(L = 0{,}2\,\text{H}\) alimentée à \(\omega = 100\,\text{rad/s}\), la réactance \(X_L\) vaut :

\(0{,}002\,\Omega\) \(20\,\Omega\) \(500\,\Omega\) \(2\,\Omega\)

Question 7

Équation du second degré – Racines complexes conjuguées

Les solutions de \(z^2 + 2z + 10 = 0\) sont :

\(z = -1 \pm 3i\) \(z = 1 \pm 3i\) \(z = -2 \pm 3i\) \(z = -1 \pm \sqrt{10}\,i\)

Question 8

Argument – Calcul

Pour \(z = -1 + i\sqrt{3}\), l'argument de \(z\) est :

\(\dfrac{2\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{6}\) \(-\dfrac{2\pi}{3}\)

Question 9

Impédance – Circuit RLC, résonance

Dans un circuit RLC série, la résonance a lieu quand :

\(R = 0\) \(L = C\) \(L\omega = \dfrac{1}{C\omega}\) \(|Z| = 0\)

Question 10

Milieu d'un segment dans le plan complexe

Les points \(A\) et \(B\) ont pour affixes \(z_A = 2 + 4i\) et \(z_B = 6 - 2i\). L'affixe du milieu de \([AB]\) est :

\(4 + 6i\) \(4 + i\) \(8 + 2i\) \(2 - i\)

Question 11

Forme exponentielle – Argument négatif

La forme exponentielle de \(z = 1 - i\) est :

\(\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\) \(e^{-i\pi/4}\) \(\sqrt{2}\,e^{i3\pi/4}\) \(\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}\)

Question 12

Impédance complexe – Intensité

Un plombier chauffagiste mesure \(U = 230\,\text{V}\) aux bornes d'un circuit d'impédance \(|Z| = 46\,\Omega\). L'intensité efficace \(I\) vaut :

\(5\,\text{A}\) \(10\,\text{A}\) \(0{,}2\,\text{A}\) \(184\,\text{A}\)

Question 13

Produit de complexes conjugués

On calcule \((3 + 4i)(3 - 4i) =\) :

\(9 - 16i^2\) sans simplification possible \(9 - 16 = -7\) \(25\) \(9 + 16i\)

Question 14

Division de complexes – Calcul complet

Calculer \(\dfrac{2 + 3i}{1 + 2i}\) en forme algébrique :

\(2 - i\) \(\dfrac{8}{5} - \dfrac{1}{5}i\) \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5}i\) \(\dfrac{8}{5} + \dfrac{1}{5}i\)

Question 15

Argument – Produit

Si \(\arg(z_1) = \dfrac{\pi}{6}\) et \(\arg(z_2) = \dfrac{\pi}{4}\), alors \(\arg(z_1 \times z_2) =\) :

\(\dfrac{\pi}{24}\) \(\dfrac{\pi}{6}\) \(\dfrac{\pi}{4}\) \(\dfrac{5\pi}{12}\)