Nombres complexes — Terminale Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Pour chaque nombre complexe, donner la partie réelle, la partie imaginaire et la nature (réel, imaginaire pur ou complexe) :
a) \(z_1 = 4 + 3i\) → Re = ... , Im = ... , nature : ...
b) \(z_2 = -7\) → Re = ... , Im = ... , nature : ...
c) \(z_3 = 5i\) → Re = ... , Im = ... , nature : ...
a) \(z_1 = 4 + 3i\) : Re = \(\mathbf{4}\), Im = \(\mathbf{3}\), nature : complexe
b) \(z_2 = -7\) : Re = \(\mathbf{-7}\), Im = \(\mathbf{0}\), nature : réel
c) \(z_3 = 5i\) : Re = \(\mathbf{0}\), Im = \(\mathbf{5}\), nature : imaginaire pur
Soient \(z_1 = 3 + 2i\) et \(z_2 = 1 - 4i\).
a) Calculer \(z_1 + z_2 = (3 + ...) + (2 + ...)i = ...\)
b) Calculer \(z_1 - z_2 = (3 - ...) + (2 - (...))i = ...\)
a) \(z_1 + z_2 = (3 + 1) + (2 + (-4))i = \mathbf{4 - 2i}\)
b) \(z_1 - z_2 = (3 - 1) + (2 - (-4))i = \mathbf{2 + 6i}\)
Soit \(z = 4 - 3i\).
a) Écrire le conjugué : \(\bar{z} = 4 - (...) = ...\)
b) Calculer le module : \(|z| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{... + ...} = \sqrt{...} = ...\)
a) \(\bar{z} = 4 - (-3)i = \mathbf{4 + 3i}\)
b) \(|z| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = \mathbf{5}\)
Calculer le produit \(z_1 \times z_2\) avec \(z_1 = 2 + i\) et \(z_2 = 3 - 2i\).
a) Développer : \((2 + i)(3 - 2i) = 2 \times 3 + 2 \times (-2i) + i \times 3 + i \times (-2i)\)
b) Simplifier : \(= 6 - 4i + 3i - 2i^2 = 6 - i - 2 \times (...) = ...\)
a) \((2 + i)(3 - 2i) = 6 - 4i + 3i - 2i^2\)
b) \(= 6 - i - 2 \times (-1) = 6 - i + 2 = \mathbf{8 - i}\)
Placer dans le plan complexe les points correspondant à :
a) \(z_1 = 2 + 3i\) → point \(M_1(...\,;\,...)\)
b) \(z_2 = -1 + 2i\) → point \(M_2(...\,;\,...)\)
c) \(z_3 = 3\) → point \(M_3(...\,;\,...)\) — sur quel axe se trouve-t-il ?
a) \(z_1 = 2 + 3i\) → \(M_1(\mathbf{2}\,;\,\mathbf{3})\)
b) \(z_2 = -1 + 2i\) → \(M_2(\mathbf{-1}\,;\,\mathbf{2})\)
c) \(z_3 = 3 = 3 + 0i\) → \(M_3(\mathbf{3}\,;\,\mathbf{0})\) — il se trouve sur l'axe réel (axe des abscisses).
Barème : 20 points
Pour chaque nombre complexe, donner la partie réelle, la partie imaginaire et la nature (réel, imaginaire pur ou complexe) :
a) \(z_1 = -2 + 7i\) → Re = ... , Im = ... , nature : ...
b) \(z_2 = 9\) → Re = ... , Im = ... , nature : ...
c) \(z_3 = -3i\) → Re = ... , Im = ... , nature : ...
a) \(z_1 = -2 + 7i\) : Re = \(\mathbf{-2}\), Im = \(\mathbf{7}\), nature : complexe
b) \(z_2 = 9\) : Re = \(\mathbf{9}\), Im = \(\mathbf{0}\), nature : réel
c) \(z_3 = -3i\) : Re = \(\mathbf{0}\), Im = \(\mathbf{-3}\), nature : imaginaire pur
Soient \(z_1 = 5 - i\) et \(z_2 = -2 + 3i\).
a) Calculer \(z_1 + z_2 = (5 + ...) + (-1 + ...)i = ...\)
b) Calculer \(z_1 - z_2 = (5 - ...) + (-1 - (...))i = ...\)
a) \(z_1 + z_2 = (5 + (-2)) + (-1 + 3)i = \mathbf{3 + 2i}\)
b) \(z_1 - z_2 = (5 - (-2)) + (-1 - 3)i = \mathbf{7 - 4i}\)
Soit \(z = 3 + 4i\).
a) Écrire le conjugué : \(\bar{z} = 3 - (...) = ...\)
b) Calculer le module : \(|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{... + ...} = \sqrt{...} = ...\)
a) \(\bar{z} = \mathbf{3 - 4i}\)
b) \(|z| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5}\)
Calculer le produit \(z_1 \times z_2\) avec \(z_1 = 4 - i\) et \(z_2 = 1 + 3i\).
a) Développer : \((4 - i)(1 + 3i) = 4 \times 1 + 4 \times 3i + (-i) \times 1 + (-i) \times 3i\)
b) Simplifier : \(= 4 + 12i - i - 3i^2 = 4 + 11i - 3 \times (...) = ...\)
a) \((4 - i)(1 + 3i) = 4 + 12i - i - 3i^2\)
b) \(= 4 + 11i - 3 \times (-1) = 4 + 11i + 3 = \mathbf{7 + 11i}\)
Placer dans le plan complexe les points correspondant à :
a) \(z_1 = -3 + 2i\) → point \(M_1(...\,;\,...)\)
b) \(z_2 = 4 - i\) → point \(M_2(...\,;\,...)\)
c) \(z_3 = -2i\) → point \(M_3(...\,;\,...)\) — sur quel axe se trouve-t-il ?
a) \(z_1 = -3 + 2i\) → \(M_1(\mathbf{-3}\,;\,\mathbf{2})\)
b) \(z_2 = 4 - i\) → \(M_2(\mathbf{4}\,;\,\mathbf{-1})\)
c) \(z_3 = -2i = 0 - 2i\) → \(M_3(\mathbf{0}\,;\,\mathbf{-2})\) — il se trouve sur l'axe imaginaire (axe des ordonnées).
Barème : 20 points
Soient \(z_1 = 5 - 2i\) et \(z_2 = -3 + i\).
a) Calculer \(z_1 + z_2\) et \(z_1 - z_2\).
b) Calculer \(z_1 \times z_2\).
c) Donner le conjugué et le module de \(z_1\).
a) \(z_1 + z_2 = (5 - 3) + (-2 + 1)i = \mathbf{2 - i}\)
\(z_1 - z_2 = (5 - (-3)) + (-2 - 1)i = \mathbf{8 - 3i}\)
b) \(z_1 \times z_2 = (5 - 2i)(-3 + i) = -15 + 5i + 6i - 2i^2 = -15 + 11i + 2 = \mathbf{-13 + 11i}\)
c) \(\overline{z_1} = \mathbf{5 + 2i}\) ; \(|z_1| = \sqrt{25 + 4} = \mathbf{\sqrt{29} \approx 5{,}39}\)
Mettre sous forme trigonométrique le nombre complexe \(z = 1 + i\).
a) Calculer le module \(r\).
b) Déterminer l'argument \(\theta\) en identifiant \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).
c) Écrire \(z\) sous forme trigonométrique \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\).
a) \(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \mathbf{\sqrt{2}}\)
b) \(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) et \(\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\), donc \(\theta = \mathbf{\dfrac{\pi}{4}}\) (soit 45°).
c) \(z = \mathbf{\sqrt{2}\!\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)}\)
Dans le plan complexe, \(A\) a pour affixe \(z_A = 1 + 3i\) et \(B\) a pour affixe \(z_B = 5 + i\).
a) Calculer la distance \(AB\).
b) Donner l'affixe du milieu \(I\) de \([AB]\).
a) \(z_B - z_A = (5 - 1) + (1 - 3)i = 4 - 2i\)
\(AB = |4 - 2i| = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = \mathbf{2\sqrt{5} \approx 4{,}47}\)
b) \(z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2} = \dfrac{(1+3i)+(5+i)}{2} = \dfrac{6+4i}{2} = \mathbf{3 + 2i}\)
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z^2 + 4z + 13 = 0\).
a) Calculer le discriminant \(\Delta\).
b) Déterminer les deux solutions complexes.
c) Vérifier que les solutions sont conjuguées.
a) \(\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times 13 = 16 - 52 = \mathbf{-36}\)
\(\Delta < 0\), donc deux solutions complexes conjuguées.
b) \(\sqrt{|\Delta|} = \sqrt{36} = 6\)
\(z = \dfrac{-4 \pm 6i}{2}\)
\(z_1 = \mathbf{-2 + 3i}\) et \(z_2 = \mathbf{-2 - 3i}\)
c) On a bien \(z_2 = \overline{z_1}\) : même partie réelle (\(-2\)), parties imaginaires opposées (\(+3\) et \(-3\)). ✓
Un installateur thermique utilise les impédances complexes. Un circuit RL série a \(R = 80\,\Omega\) et \(X_L = L\omega = 60\,\Omega\).
a) Écrire l'impédance complexe \(Z\).
b) Calculer le module \(|Z|\).
a) \(Z = R + jX_L = \mathbf{80 + 60j}\)
b) \(|Z| = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10\,000} = \mathbf{100\,\Omega}\)
Barème : 20 points
Soient \(z_1 = -2 + 3i\) et \(z_2 = 4 - i\).
a) Calculer \(z_1 + z_2\) et \(z_1 - z_2\).
b) Calculer \(z_1 \times z_2\).
c) Donner le conjugué et le module de \(z_2\).
a) \(z_1 + z_2 = (-2 + 4) + (3 + (-1))i = \mathbf{2 + 2i}\)
\(z_1 - z_2 = (-2 - 4) + (3 - (-1))i = \mathbf{-6 + 4i}\)
b) \(z_1 \times z_2 = (-2 + 3i)(4 - i) = -8 + 2i + 12i - 3i^2 = -8 + 14i + 3 = \mathbf{-5 + 14i}\)
c) \(\overline{z_2} = \mathbf{4 + i}\) ; \(|z_2| = \sqrt{16 + 1} = \mathbf{\sqrt{17} \approx 4{,}12}\)
Mettre sous forme trigonométrique le nombre complexe \(z = 1 - i\).
a) Calculer le module \(r\).
b) Déterminer l'argument \(\theta\) en identifiant \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).
c) Écrire \(z\) sous forme trigonométrique \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\).
a) \(r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \mathbf{\sqrt{2}}\)
b) \(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) et \(\sin\theta = \dfrac{-1}{\sqrt{2}}\), donc \(\theta = \mathbf{-\dfrac{\pi}{4}}\) (soit \(-45°\)).
c) \(z = \mathbf{\sqrt{2}\!\left(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + i\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)}\)
Dans le plan complexe, \(A\) a pour affixe \(z_A = 2 - i\) et \(B\) a pour affixe \(z_B = -2 + 5i\).
a) Calculer la distance \(AB\).
b) Donner l'affixe du milieu \(I\) de \([AB]\).
a) \(z_B - z_A = (-2 - 2) + (5 - (-1))i = -4 + 6i\)
\(AB = |-4 + 6i| = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = \mathbf{2\sqrt{13} \approx 7{,}21}\)
b) \(z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2} = \dfrac{(2-i)+(-2+5i)}{2} = \dfrac{0+4i}{2} = \mathbf{2i}\)
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z^2 + 2z + 10 = 0\).
a) Calculer le discriminant \(\Delta\).
b) Déterminer les deux solutions complexes.
c) Vérifier que les solutions sont conjuguées.
a) \(\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 10 = 4 - 40 = \mathbf{-36}\)
\(\Delta < 0\), donc deux solutions complexes conjuguées.
b) \(\sqrt{|\Delta|} = \sqrt{36} = 6\)
\(z = \dfrac{-2 \pm 6i}{2}\)
\(z_1 = \mathbf{-1 + 3i}\) et \(z_2 = \mathbf{-1 - 3i}\)
c) On a bien \(z_2 = \overline{z_1}\) : même partie réelle (\(-1\)), parties imaginaires opposées (\(+3\) et \(-3\)). ✓
Un technicien chauffagiste utilise les impédances complexes. Un circuit RL série a \(R = 60\,\Omega\) et \(X_L = L\omega = 80\,\Omega\).
a) Écrire l'impédance complexe \(Z\).
b) Calculer le module \(|Z|\).
a) \(Z = R + jX_L = \mathbf{60 + 80j}\)
b) \(|Z| = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10\,000} = \mathbf{100\,\Omega}\)
Barème : 20 points
Soient \(z_1 = 3 + 4i\) et \(z_2 = 1 - 2i\).
a) Calculer \(z_1 \times z_2\).
b) Vérifier que \(|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|\).
a) \(z_1 \times z_2 = (3+4i)(1-2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^2 = 3 - 2i + 8 = \mathbf{11 - 2i}\)
b) \(|z_1 \times z_2| = \sqrt{121 + 4} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\)
\(|z_1| = \sqrt{9+16} = 5\) et \(|z_2| = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}\)
\(|z_1| \times |z_2| = 5\sqrt{5}\). On a bien \(|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2| = 5\sqrt{5}\). ✓
Mettre sous forme trigonométrique puis exponentielle le nombre complexe \(z = -1 + i\sqrt{3}\).
a) Calculer le module.
b) Déterminer l'argument \(\theta\).
c) Écrire les formes trigonométrique et exponentielle.
a) \(r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \mathbf{2}\)
b) \(\cos\theta = \dfrac{-1}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
On reconnaît \(\theta = \mathbf{\dfrac{2\pi}{3}}\) (soit 120°).
c) Forme trigonométrique : \(z = \mathbf{2\!\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)
Forme exponentielle : \(z = \mathbf{2\,e^{i\,2\pi/3}}\)
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(2z^2 - 6z + 5 = 0\).
a) Calculer le discriminant.
b) Donner les deux solutions sous forme algébrique.
c) Calculer le module de chacune des solutions.
a) \(\Delta = (-6)^2 - 4 \times 2 \times 5 = 36 - 40 = \mathbf{-4}\)
b) \(\sqrt{|\Delta|} = 2\). Donc \(z = \dfrac{6 \pm 2i}{4} = \dfrac{3 \pm i}{2}\)
\(z_1 = \mathbf{\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}i}\) et \(z_2 = \mathbf{\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}i}\)
c) \(|z_1| = |z_2| = \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{10}{4}} = \mathbf{\dfrac{\sqrt{10}}{2} \approx 1{,}58}\)
Un technicien chauffagiste dimensionne un circuit RLC série avec \(R = 40\,\Omega\), \(L = 0{,}1\,\text{H}\), \(C = 200\,\mu\text{F}\) et \(\omega = 100\,\text{rad/s}\). La tension efficace est \(U = 230\,\text{V}\).
a) Calculer la réactance inductive \(X_L = L\omega\) et la réactance capacitive \(X_C = \dfrac{1}{C\omega}\).
b) Écrire l'impédance complexe \(Z = R + j(X_L - X_C)\) et calculer \(|Z|\).
c) En déduire l'intensité efficace \(I = U / |Z|\).
a) \(X_L = 0{,}1 \times 100 = \mathbf{10\,\Omega}\)
\(X_C = \dfrac{1}{200 \times 10^{-6} \times 100} = \dfrac{1}{0{,}02} = \mathbf{50\,\Omega}\)
b) \(Z = 40 + j(10 - 50) = \mathbf{40 - 40j}\)
\(|Z| = \sqrt{40^2 + (-40)^2} = \sqrt{1600 + 1600} = \sqrt{3200} = 40\sqrt{2} \approx \mathbf{56{,}57\,\Omega}\)
c) \(I = \dfrac{230}{56{,}57} \approx \mathbf{4{,}06\,\text{A}}\)
Dans le plan complexe, \(A\) a pour affixe \(z_A = -1 + 5i\) et \(B\) a pour affixe \(z_B = 3 - i\). Un point \(C\) est tel que \(I\), milieu de \([AB]\), est aussi le milieu de \([OC]\) (où \(O\) est l'origine).
a) Calculer l'affixe de \(I\).
b) En déduire l'affixe de \(C\).
a) \(z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2} = \dfrac{(-1+5i)+(3-i)}{2} = \dfrac{2 + 4i}{2} = \mathbf{1 + 2i}\)
b) \(I\) est le milieu de \([OC]\), donc \(z_I = \dfrac{z_O + z_C}{2} = \dfrac{z_C}{2}\).
Ainsi \(z_C = 2z_I = 2(1 + 2i) = \mathbf{2 + 4i}\).
Barème : 20 points
Soient \(z_1 = 2 - 5i\) et \(z_2 = -1 + 3i\).
a) Calculer \(z_1 \times z_2\).
b) Vérifier que \(|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|\).
a) \(z_1 \times z_2 = (2-5i)(-1+3i) = -2 + 6i + 5i - 15i^2 = -2 + 11i + 15 = \mathbf{13 + 11i}\)
b) \(|z_1 \times z_2| = \sqrt{169 + 121} = \sqrt{290}\)
\(|z_1| = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}\) et \(|z_2| = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}\)
\(|z_1| \times |z_2| = \sqrt{29} \times \sqrt{10} = \sqrt{290}\). On a bien \(|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2| = \sqrt{290}\). ✓
Mettre sous forme trigonométrique puis exponentielle le nombre complexe \(z = -\sqrt{3} - i\).
a) Calculer le module.
b) Déterminer l'argument \(\theta\).
c) Écrire les formes trigonométrique et exponentielle.
a) \(r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \mathbf{2}\)
b) \(\cos\theta = \dfrac{-\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{-1}{2}\)
On reconnaît \(\theta = \mathbf{-\dfrac{5\pi}{6}}\) (soit \(-150°\)).
c) Forme trigonométrique : \(z = \mathbf{2\!\left(\cos\!\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) + i\sin\!\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)\right)}\)
Forme exponentielle : \(z = \mathbf{2\,e^{-i\,5\pi/6}}\)
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(3z^2 - 6z + 4 = 0\).
a) Calculer le discriminant.
b) Donner les deux solutions sous forme algébrique.
c) Calculer le module de chacune des solutions.
a) \(\Delta = (-6)^2 - 4 \times 3 \times 4 = 36 - 48 = \mathbf{-12}\)
b) \(\sqrt{|\Delta|} = 2\sqrt{3}\). Donc \(z = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{3}\,i}{6} = 1 \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}\,i\)
\(z_1 = \mathbf{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}\,i}\) et \(z_2 = \mathbf{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}\,i}\)
c) \(|z_1| = |z_2| = \sqrt{1 + \dfrac{1}{3}} = \sqrt{\dfrac{4}{3}} = \mathbf{\dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}15}\)
Un installateur thermique dimensionne un circuit RLC série avec \(R = 30\,\Omega\), \(L = 0{,}2\,\text{H}\), \(C = 100\,\mu\text{F}\) et \(\omega = 100\,\text{rad/s}\). La tension efficace est \(U = 230\,\text{V}\).
a) Calculer la réactance inductive \(X_L = L\omega\) et la réactance capacitive \(X_C = \dfrac{1}{C\omega}\).
b) Écrire l'impédance complexe \(Z = R + j(X_L - X_C)\) et calculer \(|Z|\).
c) En déduire l'intensité efficace \(I = U / |Z|\).
a) \(X_L = 0{,}2 \times 100 = \mathbf{20\,\Omega}\)
\(X_C = \dfrac{1}{100 \times 10^{-6} \times 100} = \dfrac{1}{0{,}01} = \mathbf{100\,\Omega}\)
b) \(Z = 30 + j(20 - 100) = \mathbf{30 - 80j}\)
\(|Z| = \sqrt{30^2 + (-80)^2} = \sqrt{900 + 6400} = \sqrt{7300} \approx \mathbf{85{,}44\,\Omega}\)
c) \(I = \dfrac{230}{85{,}44} \approx \mathbf{2{,}69\,\text{A}}\)
Dans le plan complexe, \(A\) a pour affixe \(z_A = 2 + 4i\) et \(B\) a pour affixe \(z_B = -4 + 2i\). Un point \(C\) est tel que \(I\), milieu de \([AB]\), est aussi le milieu de \([OC]\) (où \(O\) est l'origine).
a) Calculer l'affixe de \(I\).
b) En déduire l'affixe de \(C\).
a) \(z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2} = \dfrac{(2+4i)+(-4+2i)}{2} = \dfrac{-2 + 6i}{2} = \mathbf{-1 + 3i}\)
b) \(I\) est le milieu de \([OC]\), donc \(z_I = \dfrac{z_O + z_C}{2} = \dfrac{z_C}{2}\).
Ainsi \(z_C = 2z_I = 2(-1 + 3i) = \mathbf{-2 + 6i}\).