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Chapitre 10 – Exercices par capacités

Nombres complexes  |  Terminale Bac Pro  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Écrire un nombre complexe sous forme algébrique ; identifier partie réelle et imaginaire

Rappel de cours — Nombres complexes

Tout nombre complexe s'écrit \(z = a + ib\) avec \(a, b \in \mathbb{R}\) et \(i^2 = -1\). On note \(\text{Re}(z)=a\) et \(\text{Im}(z)=b\).
Conjugué : \(\bar{z} = a - ib\). Module : \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
Propriété : \(z \times \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2\) (utile pour diviser par un complexe).

Re Im 1 2 3 1 2 O z = 3+2i |z| z̄ = 3−2i
Plan complexe : \(z = 3 + 2i\), son module \(|z|\), et son conjugué \(\bar{z} = 3 - 2i\)

Exercice 1

Pour chacun des nombres complexes suivants, identifier la partie réelle \(a\) et la partie imaginaire \(b\) :

  1. \(z_1 = 3 + 5i\)
  2. \(z_2 = -2 + 7i\)
  3. \(z_3 = 4 - i\)
  4. \(z_4 = -6i\)
  5. \(z_5 = 9\)
  1. \(z_1 = 3 + 5i\) : \(\text{Re}(z_1) = 3\) ; \(\text{Im}(z_1) = 5\)
  2. \(z_2 = -2 + 7i\) : \(\text{Re}(z_2) = -2\) ; \(\text{Im}(z_2) = 7\)
  3. \(z_3 = 4 - i = 4 + (-1)i\) : \(\text{Re}(z_3) = 4\) ; \(\text{Im}(z_3) = -1\)
  4. \(z_4 = -6i = 0 + (-6)i\) : \(\text{Re}(z_4) = 0\) ; \(\text{Im}(z_4) = -6\) (imaginaire pur)
  5. \(z_5 = 9 = 9 + 0 \cdot i\) : \(\text{Re}(z_5) = 9\) ; \(\text{Im}(z_5) = 0\) (réel)

Exercice 2

Écrire chacun des nombres suivants sous la forme \(z = a + ib\) où \(a\) et \(b\) sont des réels. Préciser \(a\) et \(b\).

  1. \(z_1 = 5 - 3i + 2i\)
  2. \(z_2 = \sqrt{2} + 0 \cdot i\)
  3. \(z_3 = i^2\)
  4. \(z_4 = 3i^2 - 4i\)
  1. \(z_1 = 5 + (-3+2)i = 5 - i\) → \(a = 5\), \(b = -1\)
  2. \(z_2 = \sqrt{2} + 0i\) → \(a = \sqrt{2}\), \(b = 0\) (nombre réel)
  3. \(z_3 = i^2 = -1 = -1 + 0i\) → \(a = -1\), \(b = 0\)
  4. \(z_4 = 3 \times (-1) - 4i = -3 - 4i\) → \(a = -3\), \(b = -4\)

Exercice 3

Un technicien en installation thermique modélise une impédance par \(Z = 8 + 6i\) (en ohms).

  1. Quelle est la résistance (partie réelle) de ce circuit ?
  2. Quelle est la réactance (partie imaginaire) de ce circuit ?
  3. Ce nombre complexe est-il un réel pur ? Un imaginaire pur ? Justifier.
  1. La résistance est \(\text{Re}(Z) = 8\) Ω.
  2. La réactance est \(\text{Im}(Z) = 6\) Ω.
  3. Non : \(\text{Im}(Z) = 6 \neq 0\) donc ce n'est pas un réel pur. \(\text{Re}(Z) = 8 \neq 0\) donc ce n'est pas un imaginaire pur. C'est un nombre complexe « général ».

Exercice 4

Deux nombres complexes \(z_1 = a + 3i\) et \(z_2 = 5 + bi\) sont égaux. Déterminer \(a\) et \(b\).

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.
\(\begin{cases} a = 5 \\ 3 = b \end{cases}\)
Donc \(a = 5\) et \(b = 3\).

C2 — Effectuer des opérations sur les nombres complexes (addition, soustraction, multiplication)

Rappel de cours

Addition : \((a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)\).
Multiplication : on développe comme un produit algébrique en utilisant \(i^2 = -1\).
\((a+ib)(c+id) = ac + iad + ibc + i^2 bd = (ac-bd) + i(ad+bc)\).

Exercice 5

Calculer les sommes et différences suivantes et écrire le résultat sous la forme \(a + ib\) :

  1. \(z_1 + z_2\) avec \(z_1 = 4 + 3i\) et \(z_2 = 1 - 5i\)
  2. \(z_3 - z_4\) avec \(z_3 = -2 + 7i\) et \(z_4 = 3 + 2i\)
  3. \(z_5 + z_6\) avec \(z_5 = 6 - 4i\) et \(z_6 = -6 + 4i\)
  1. \(z_1 + z_2 = (4+1) + (3-5)i = 5 - 2i\)
  2. \(z_3 - z_4 = (-2-3) + (7-2)i = -5 + 5i\)
  3. \(z_5 + z_6 = (6-6) + (-4+4)i = 0\) (les deux complexes sont opposés)

Exercice 6

Calculer les produits suivants et écrire le résultat sous la forme \(a + ib\) :

  1. \((2 + i)(3 + 4i)\)
  2. \((1 - 2i)(1 + 2i)\)
  3. \((3 + i)^2\)
  1. \((2+i)(3+4i) = 6 + 8i + 3i + 4i^2 = 6 + 11i + 4(-1) = 2 + 11i\)
  2. \((1-2i)(1+2i) = 1 + 2i - 2i - 4i^2 = 1 - 4(-1) = 5\) (produit de deux conjugués → réel)
  3. \((3+i)^2 = 9 + 6i + i^2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i\)

Exercice 7

En électricité, deux impédances en série s'ajoutent : \(Z_{total} = Z_1 + Z_2\).
Un installateur thermique mesure \(Z_1 = 50 + 30i\) Ω et \(Z_2 = 20 - 10i\) Ω.
Calculer \(Z_{total}\) sous forme algébrique.

\(Z_{total} = Z_1 + Z_2 = (50 + 20) + (30 - 10)i = 70 + 20i\) Ω.
La résistance totale est 70 Ω et la réactance totale est 20 Ω.

Exercice 8

Développer et simplifier les expressions suivantes :

  1. \(i \times (3 + 2i)\)
  2. \((2 - 3i)(4 + i)\)
  3. \((-1 + 2i)(3 - i)\)
  1. \(i(3+2i) = 3i + 2i^2 = 3i + 2(-1) = -2 + 3i\)
  2. \((2-3i)(4+i) = 8 + 2i - 12i - 3i^2 = 8 - 10i + 3 = 11 - 10i\)
  3. \((-1+2i)(3-i) = -3 + i + 6i - 2i^2 = -3 + 7i + 2 = -1 + 7i\)

C3 — Calculer le conjugué \(\bar{z}\) et le module \(|z|\) d'un nombre complexe

Rappel de cours

Pour \(z = a + ib\) : conjugué \(\bar{z} = a - ib\) ; module \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
Propriété fondamentale : \(z \times \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2\) (résultat toujours réel positif).
Propriété du module : \(|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|\).

Exercice 9

Donner le conjugué \(\bar{z}\) de chacun des nombres complexes suivants :

  1. \(z_1 = 4 + 3i\)
  2. \(z_2 = -2 - 5i\)
  3. \(z_3 = 7\)
  4. \(z_4 = -i\)
Le conjugué de \(z = a + ib\) est \(\bar{z} = a - ib\).
  1. \(\bar{z_1} = 4 - 3i\)
  2. \(\bar{z_2} = -2 + 5i\)
  3. \(\bar{z_3} = 7\) (un réel est égal à son conjugué)
  4. \(\bar{z_4} = i\)

Exercice 10

Calculer le module \(|z|\) de chacun des nombres complexes suivants :

  1. \(z_1 = 3 + 4i\)
  2. \(z_2 = 5 - 12i\)
  3. \(z_3 = -6i\)
  4. \(z_4 = 2 + 2i\)
Le module de \(z = a + ib\) est \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
  1. \(|z_1| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
  2. \(|z_2| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
  3. \(|z_3| = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6\)
  4. \(|z_4| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

Exercice 11

En courant alternatif, l'impédance d'un circuit est \(Z = 6 + 8i\) Ω.

  1. Calculer \(\bar{Z}\) le conjugué de \(Z\).
  2. Calculer \(|Z|\) le module de \(Z\) (c'est le module de l'impédance, en Ω).
  3. Vérifier que \(Z \times \bar{Z} = |Z|^2\).
  1. \(\bar{Z} = 6 - 8i\)
  2. \(|Z| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) Ω
  3. \(Z \times \bar{Z} = (6+8i)(6-8i) = 36 - 48i + 48i - 64i^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = |Z|^2\) ✔

Exercice 12

Déterminer le module de \(z = (3 + 4i)(1 + i)\) sans calculer directement le produit.
Rappel : \(|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|\)

\(|3+4i| = \sqrt{9+16} = 5\)
\(|1+i| = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}\)
Donc \(|z| = |3+4i| \times |1+i| = 5\sqrt{2}\).
Vérification : \((3+4i)(1+i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = -1 + 7i\), et \(|-1+7i| = \sqrt{1+49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) ✔

C4 — Calculer le quotient de deux nombres complexes

Rappel de cours

Pour diviser par un complexe, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \times \bar{z_2}}{z_2 \times \bar{z_2}} = \dfrac{z_1 \times \bar{z_2}}{|z_2|^2}\).
Le dénominateur devient réel, ce qui permet de séparer parties réelle et imaginaire.

Exercice 13

Calculer le quotient \(\dfrac{z_1}{z_2}\) sous la forme \(a + ib\) en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :

  1. \(\dfrac{1}{2 + i}\)
  2. \(\dfrac{3}{1 - i}\)
  1. On multiplie par \(\dfrac{2-i}{2-i}\) :
    \(\dfrac{1}{2+i} = \dfrac{1 \times (2-i)}{(2+i)(2-i)} = \dfrac{2-i}{4+1} = \dfrac{2-i}{5} = \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}i\)
  2. On multiplie par \(\dfrac{1+i}{1+i}\) :
    \(\dfrac{3}{1-i} = \dfrac{3(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{3+3i}{2} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}i\)

Exercice 14

Calculer sous la forme \(a + ib\) :

  1. \(\dfrac{3 + 4i}{1 + i}\)
  2. \(\dfrac{2 - i}{3 + 2i}\)
  1. \(\dfrac{3+4i}{1+i} = \dfrac{(3+4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{3 - 3i + 4i - 4i^2}{1+1} = \dfrac{3 + i + 4}{2} = \dfrac{7+i}{2} = \dfrac{7}{2} + \dfrac{1}{2}i\)
  2. \(\dfrac{2-i}{3+2i} = \dfrac{(2-i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)} = \dfrac{6 - 4i - 3i + 2i^2}{9+4} = \dfrac{6 - 7i - 2}{13} = \dfrac{4-7i}{13} = \dfrac{4}{13} - \dfrac{7}{13}i\)

Exercice 15

Un technicien chauffagiste calcule la tension complexe \(U = Z \times I\) où \(Z = 2 + 4i\) Ω est l'impédance et \(I = 3 + i\) A l'intensité complexe.
On souhaite retrouver \(Z\) à partir de \(U\) et \(I\) en calculant \(Z = \dfrac{U}{I}\).

  1. Calculer d'abord \(U = Z \times I\).
  2. Vérifier en calculant \(\dfrac{U}{I}\) que l'on retrouve bien \(Z = 2 + 4i\).
  1. \(U = (2+4i)(3+i) = 6 + 2i + 12i + 4i^2 = 6 + 14i - 4 = 2 + 14i\) V
  2. \(\dfrac{U}{I} = \dfrac{2+14i}{3+i} = \dfrac{(2+14i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \dfrac{6 - 2i + 42i - 14i^2}{9+1} = \dfrac{6 + 40i + 14}{10} = \dfrac{20 + 40i}{10} = 2 + 4i\) ✔

Exercice 16

Calculer et simplifier :

  1. \(\dfrac{5 + 5i}{1 - i}\)
  2. \(\dfrac{(2+i)^2}{1+i}\)
  1. \(\dfrac{5+5i}{1-i} = \dfrac{5(1+i)}{1-i} \times \dfrac{1+i}{1+i} = \dfrac{5(1+i)^2}{2}\)
    \((1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i\)
    Donc \(\dfrac{5 \times 2i}{2} = 5i\)
  2. \((2+i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 3 + 4i\)
    \(\dfrac{3+4i}{1+i} = \dfrac{(3+4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{3 - 3i + 4i - 4i^2}{2} = \dfrac{3 + i + 4}{2} = \dfrac{7+i}{2} = \dfrac{7}{2} + \dfrac{1}{2}i\)

C5 — Résoudre une équation du second degré à discriminant négatif

Rappel de cours

Pour \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\) : pas de solution réelle, mais deux solutions complexes conjuguées.
On pose \(\sqrt{\Delta} = i\sqrt{|\Delta|}\), puis \(x_1 = \dfrac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\) et \(x_2 = \dfrac{-b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a} = \overline{x_1}\).

Exercice 17

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(x^2 + 4 = 0\).

\(x^2 + 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 = -4\)
On cherche \(x\) tel que \(x^2 = -4\). Comme \((2i)^2 = 4i^2 = -4\) et \((-2i)^2 = -4\) :
Les solutions sont \(x_1 = 2i\) et \(x_2 = -2i\).
Ces solutions sont bien complexes conjuguées.

Exercice 18

Calculer le discriminant et résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(x^2 - 2x + 5 = 0\).

\(\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16 < 0\)
Le discriminant est négatif, donc pas de solution réelle. On pose :
\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{-16} = 4i\)
\(x_1 = \dfrac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i\) et \(x_2 = \dfrac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i\)
Les solutions sont \(x_1 = 1 + 2i\) et \(x_2 = 1 - 2i\) (conjuguées l'une de l'autre).

Exercice 19

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes :

  1. \(x^2 + 2x + 2 = 0\)
  2. \(x^2 - 4x + 13 = 0\)
  1. \(\Delta = 4 - 8 = -4\)
    \(\sqrt{\Delta} = 2i\)
    \(x_1 = \dfrac{-2 + 2i}{2} = -1 + i\) et \(x_2 = -1 - i\)
  2. \(\Delta = 16 - 52 = -36\)
    \(\sqrt{\Delta} = 6i\)
    \(x_1 = \dfrac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i\) et \(x_2 = 2 - 3i\)

Exercice 20

Dans un modèle mathématique de circuit électrique, l'équation caractéristique est :
\[2x^2 - 4x + 10 = 0\]

  1. Calculer le discriminant \(\Delta\).
  2. Les solutions sont-elles réelles ou complexes ? Justifier.
  3. Résoudre l'équation dans \(\mathbb{C}\).
  1. \(\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 10 = 16 - 80 = -64\)
  2. \(\Delta = -64 < 0\) donc les solutions sont complexes (pas de solution réelle).
  3. \(\sqrt{\Delta} = \sqrt{-64} = 8i\)
    \(x_1 = \dfrac{4 + 8i}{2 \times 2} = \dfrac{4 + 8i}{4} = 1 + 2i\)
    \(x_2 = \dfrac{4 - 8i}{4} = 1 - 2i\)

Exercice 21

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(3x^2 + 6x + 6 = 0\), puis vérifier que les solutions trouvées vérifient bien l'équation.

On peut simplifier par 3 : \(x^2 + 2x + 2 = 0\)
\(\Delta = 4 - 8 = -4\)
\(\sqrt{\Delta} = 2i\)
\(x_1 = \dfrac{-2 + 2i}{2} = -1 + i\) et \(x_2 = -1 - i\)

Vérification pour \(x_1 = -1 + i\) :
\(x_1^2 = (-1+i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i\)
\(3(-2i) + 6(-1+i) + 6 = -6i - 6 + 6i + 6 = 0\) ✔

C6 — Argument et forme trigonométrique

À retenir

Tout nombre complexe non nul \(z = a + ib\) peut s'écrire sous forme trigonométrique : \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) où :
— \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) est le module
— \(\theta = \arg(z)\) est l'argument (angle en radians, \(\theta \in ]-\pi\,;\,\pi]\))
On retrouve \(a = r\cos\theta\) et \(b = r\sin\theta\).

Exercice 16

Déterminer le module et l'argument des nombres complexes suivants, puis écrire leur forme trigonométrique :

  1. \(z_1 = 1 + i\)
  2. \(z_2 = -2\)
  3. \(z_3 = 3i\)
  4. \(z_4 = \sqrt{3} + i\)
Re Im 1+i -2 3i √3+i
  1. \(|z_1| = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}\). \(\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\) → \(\theta = \frac{\pi}{4}\).
    \(z_1 = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)\)
  2. \(|z_2| = 2\). \(z_2\) est réel négatif → \(\theta = \pi\).
    \(z_2 = 2(\cos\pi + i\sin\pi)\)
  3. \(|z_3| = 3\). \(z_3\) est imaginaire pur positif → \(\theta = \frac{\pi}{2}\).
    \(z_3 = 3\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)\)
  4. \(|z_4| = \sqrt{3+1} = 2\). \(\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin\theta = \frac{1}{2}\) → \(\theta = \frac{\pi}{6}\).
    \(z_4 = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)

Exercice 17

Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique :

  1. \(z = 4\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)\)
  2. \(z = 3\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)\)
  1. \(a = 4\cos\frac{\pi}{3} = 4 \times \frac{1}{2} = 2\), \(b = 4\sin\frac{\pi}{3} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\).
    \(z = 2 + 2\sqrt{3}\,i\)
  2. \(a = 3\cos\frac{3\pi}{4} = 3 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2}\), \(b = 3\sin\frac{3\pi}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\).
    \(z = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}\,i\)

Exercice 18

Soit \(z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\) et \(z_2 = 3\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)\).

  1. Calculer \(|z_1 \times z_2|\) et \(\arg(z_1 \times z_2)\).
  2. En déduire la forme trigonométrique de \(z_1 \times z_2\).
  1. \(|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2| = 2 \times 3 = 6\).
    \(\arg(z_1 \times z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi + 3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}\).
  2. \(z_1 \times z_2 = 6\left(\cos\frac{5\pi}{12} + i\sin\frac{5\pi}{12}\right)\).