Chapitre 10 – Nombres complexes | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
En 1545, le mathématicien italien Gerolamo Cardano publie l'« Ars Magna » et résout l'équation x³ = 15x + 4. Il trouve x = 4 (vérifiable directement), mais sa formule de résolution passe par des racines carrées de nombres négatifs : √(−121).
À l'époque, c'est un scandale : on ne peut pas extraire la racine carrée d'un nombre négatif (un carré est toujours positif !). Cardano note ces nombres « impossibles » mais s'en sert tout de même comme outils intermédiaires pour arriver à la bonne réponse réelle (4).
| Date | Auteur | Avancée |
|---|---|---|
| 1545 | Cardano (Italie) | Première utilisation de √(−121) comme outil de calcul |
| ~1600 | Bombelli (Italie) | Règles de calcul sur les « impossibles » |
| 1637 | Descartes (France) | Invente le terme « imaginaire » (péjoratif) |
| 1748 | Euler (Suisse) | Notation i = √(−1). Formule e^(iπ) + 1 = 0 |
| 1797 | Wessel (Norvège) | Représentation géométrique dans le plan |
| 1831 | Gauss (Allemagne) | Théorème fondamental de l'algèbre. Acceptation officielle |
i² = −1
Tout nombre complexe s'écrit z = a + ib avec a et b réels.
📚 Cette activité approfondit les notions du chapitre par leur dimension historique et applicative.
Calculer i², i³, i⁴, i⁵, i⁶. Que constate-t-on ?
Cycle de période 4 : i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, ...
Pour calculer i^n, faire la division euclidienne de n par 4 et regarder le reste.
Pourquoi appelle-t-on i un nombre « imaginaire » ? Est-il vraiment moins « réel » qu'un nombre négatif ?
« Imaginaire » est un nom historique inadapté, donné par Descartes (1637) avec une connotation péjorative.
Les nombres négatifs aussi étaient considérés « impossibles » à l'Antiquité (« comment posséder −3 pommes ? »). Aujourd'hui, les négatifs sont familiers (températures, dettes, soldes bancaires).
Les complexes ne sont pas moins « réels » que les autres :
Certains anglophones utilisent désormais le terme « lateral numbers » (nombres latéraux), car ils sont sur l'axe perpendiculaire au réel.
Calculer (3 + 2i) × (1 − i) et (1 + i)².
(3 + 2i) × (1 − i) = 3 − 3i + 2i − 2i² = 3 − i + 2 = 5 − i.
(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i.
Surprise : (1 + i)² = 2i ≠ 0. Le carré d'un complexe non réel n'est pas forcément réel.
Mais (1 + i)⁴ = (2i)² = 4i² = −4. Réel.
Résoudre dans ℂ : x² + 1 = 0. Pourquoi cette équation n'a pas de solution dans ℝ ?
Dans ℝ : x² ≥ 0 toujours, donc x² + 1 ≥ 1 > 0 → pas de solution.
Dans ℂ : x² = −1 → x = ±i.
Solutions : x = i ou x = −i. Vérification : i² + 1 = −1 + 1 = 0. ✓
L'introduction de i permet de résoudre toutes les équations polynomiales (théorème fondamental de l'algèbre, Gauss 1799).
Citer 3 technologies modernes qui n'existeraient pas sans les complexes.
Sans les complexes, la moitié de la technologie du XXᵉ et XXIᵉ siècle ne fonctionnerait pas.
Euler a découvert la formule e^(iπ) + 1 = 0. Pourquoi est-elle considérée comme « la plus belle de toutes les mathématiques » ?
e^(iπ) + 1 = 0 (1748).
Cette formule relie en une seule équation les 5 constantes les plus fondamentales des mathématiques :
Et 3 opérations fondamentales : addition, multiplication, exponentiation.
Élégance, simplicité, profondeur. Cette formule a été votée « plus belle équation » dans plusieurs sondages auprès des physiciens et mathématiciens.
Rédiger en 5 lignes une présentation pour un panneau d'exposition « De l'imaginaire à la réalité : 500 ans de complexes ».
De l'« imaginaire » à la réalité — 500 ans de nombres complexes
En 1545, l'Italien Cardano résout des équations à l'aide d'une racine de −1, qu'il qualifie d'« impossible ». Il faudra 250 ans pour que ces nombres soient acceptés (Gauss, 1831), et 50 ans pour qu'ils transforment la physique (Maxwell, équations de l'électromagnétisme).
Aujourd'hui, ce qui semblait « imaginaire » (i² = −1) fait fonctionner :
Une magnifique illustration que les mathématiques « pures » d'hier deviennent les technologies de demain.
Hamilton (1843) a généralisé les complexes (2D) aux quaternions (4D, qui utilisent i, j, k avec ij = k). À quoi servent-ils aujourd'hui ?
Les quaternions sont des « complexes 4D » : q = a + bi + cj + dk avec ij = k, jk = i, ki = j, et i² = j² = k² = −1.
Applications modernes :
Beauté de l'histoire : Hamilton a inventé les quaternions sur un pont à Dublin en 1843, gravant la formule sur le pont. 200 ans plus tard, ils animent les jeux vidéo et les fusées.