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Activité 3 – Rotations et homothéties par les complexes : design de logo ÉTUDE DE CAS

Chapitre 10 – Nombres complexes | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min

Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30

Objectifs :

Situation – design d'un logo

Léna, infographiste, doit transformer le logo d'un client : rotation de 90° autour de l'origine + agrandissement ×2. Le logo est un triangle de sommets A(2 ; 1), B(5 ; 1), C(3 ; 4).

Document — astuce mathématique

Chaque point M(x ; y) est représenté par un complexe z = x + iy.

Multiplier z par un complexe w transforme M géométriquement :

  • w = e^(iθ) = cos θ + i sin θ : rotation d'angle θ autour de O
  • w = k (réel positif) : homothétie de rapport k
  • w = k × e^(iθ) : composition rotation + homothétie

Document — schéma de la transformation

Transformation : ×2 + rotation 90° Re Im A B C A'(−2;4) Multiplication par w = 2i A(2+i) → A' = 2i × (2+i) = 4i + 2i² = −2 + 4i → A'(−2 ; 4)

📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §4 (forme exponentielle) et §5 (transformations).

Problématique : Comment Léna calcule-t-elle les nouvelles coordonnées du logo en une seule opération mathématique ?

Question 1 APP

Trouver le complexe w qui réalise « rotation 90° + agrandissement ×2 ».

Forme exponentielle : w = k × e^(iθ) avec k = 2 (homothétie) et θ = π/2 (rotation 90° en radians).

w = 2 × e^(iπ/2) = 2 × (cos 90° + i sin 90°) = 2 × (0 + i) = 2i.

Donc multiplier un point z par 2i réalise rotation 90° + agrandissement 2.

Question 2 REA

Représenter A, B, C par leurs complexes et calculer les images A', B', C' par multiplication par 2i.

z_A = 2 + i, z_B = 5 + i, z_C = 3 + 4i.

  • z_A' = 2i × (2 + i) = 4i + 2i² = 4i − 2 = −2 + 4i → A'(−2 ; 4)
  • z_B' = 2i × (5 + i) = 10i + 2i² = −2 + 10i → B'(−2 ; 10)
  • z_C' = 2i × (3 + 4i) = 6i + 8i² = −8 + 6i → C'(−8 ; 6)

Note : i² = −1 → on retombe toujours dans des coordonnées réelles.

Question 3 VAL

Vérifier que les distances ont été doublées (le triangle est bien agrandi ×2).

Dans le triangle original :

  • AB = √((5−2)² + (1−1)²) = 3
  • AC = √((3−2)² + (4−1)²) = √10 ≈ 3,16

Dans le triangle transformé :

  • A'B' = √((−2−(−2))² + (10−4)²) = 6
  • A'C' = √((−8−(−2))² + (6−4)²) = √(36 + 4) = √40 = 2√10 ≈ 6,32

Les distances ont bien été multipliées par 2. ✓ L'agrandissement est confirmé.

Question 4 ANA

Si Léna voulait juste une rotation de 60° sans agrandissement, quel complexe w utiliser ? Calculer w sous forme algébrique.

w = e^(iπ/3) = cos(60°) + i sin(60°) = 1/2 + i × (√3/2) = 0,5 + 0,866 i.

Pour appliquer cette rotation à un point, multiplier son complexe z par w.

Exemple : z = 1 + 0i → z' = (0,5 + 0,866i) × 1 = 0,5 + 0,866i. Le point (1, 0) devient (0,5 ; 0,866). C'est bien une rotation de 60°.

Question 5 VAL

Pourquoi cette méthode est-elle puissante en infographie ?

Avantages des complexes pour les transformations 2D :

  • Une seule opération = multiplication. Très rapide pour le processeur.
  • Compositions multiples : il suffit de multiplier les facteurs (rotations successives → produit).
  • Exemple : 2 rotations successives de 30° = multiplication par e^(iπ/6) × e^(iπ/6) = e^(iπ/3) = rotation de 60°.

Plus rapide que des matrices 2×2. C'est pourquoi les jeux vidéo et la 3D utilisent les quaternions (extension des complexes pour la 3D), inventés par Hamilton en 1843.

Question 6 ANA

Si on multiplie 2 rotations successives de 45° (par w = e^(iπ/4)) deux fois, quelle est la rotation totale ?

w² = (e^(iπ/4))² = e^(iπ/2) = i (rotation 90°).

2 rotations de 45° = 1 rotation de 90°. Logique.

w⁴ = e^(iπ) = −1 (rotation 180°).

w⁸ = e^(2iπ) = 1 (retour au point de départ).

Cette propriété (multiplication = somme des angles) est l'une des plus belles des complexes.

Question 7 COM

Rédiger en 5 lignes les avantages d'utiliser les complexes en infographie pour Léna.

Avantages des complexes en infographie 2D

  1. Simple : 1 multiplication = rotation + homothétie en une opération.
  2. Rapide : processeur effectue des millions de multiplications/seconde.
  3. Compositions : faire 2 transformations = multiplier 2 complexes.
  4. Inversion : annuler une transformation = diviser par le complexe (rotation -θ + division par le ratio).
  5. Précision : pas d'arrondis cumulés comme avec les matrices.

En 3D : utiliser les quaternions (extension des complexes), pour les jeux vidéo, animations, robots.

🚀 Pour aller plus loin ANA

La beauté des fractales (Mandelbrot, Julia) est issue de l'itération sur les complexes z_(n+1) = z_n² + c. Pourquoi est-ce surprenant ?

L'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des c pour lesquels la suite z_(n+1) = z_n² + c (avec z_0 = 0) reste bornée.

Découvert par Benoît Mandelbrot en 1980 à l'aide d'ordinateurs primitifs.

Surprises :

  • Auto-similarité infinie : zoomer révèle d'autres petits Mandelbrots.
  • Frontière infinitivement complexe : longueur infinie, mais aire finie.
  • Beauté esthétique : motifs hypnotiques colorés.

Une formule mathématique en 1 ligne génère des structures d'une complexité infinie. C'est l'un des exemples les plus marquants de l'idée que « la nature parle mathématique » (Galilée, 1623).

À retenir