Chapitre 10 – Nombres complexes | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Hugo, électronicien, étudie un circuit RLC série alimenté en 230 V / 50 Hz, comprenant une résistance R, une bobine L (inductance) et un condensateur C. En courant continu, on additionne les résistances. Mais en alternatif, les bobines et condensateurs introduisent des « réactances » qui compliquent le calcul. C'est là que les nombres complexes deviennent indispensables.
| Composant | Valeur | Réactance à 50 Hz |
|---|---|---|
| R (résistance) | 100 Ω | R = 100 Ω (pas de réactance) |
| L (bobine) | 0,3 H | X_L = L × ω = 0,3 × 100π ≈ 94,2 Ω |
| C (condensateur) | 30 µF | X_C = 1/(C × ω) = 1/(30×10⁻⁶ × 100π) ≈ 106 Ω |
Z = R + j × (X_L − X_C)
Avec j² = −1 (notation des électroniciens, équivalente à i des mathématiciens)
Pour notre circuit : Z = 100 + j × (94,2 − 106) = 100 − 11,8 j
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (forme algébrique a + bj) et §3 (module, argument).
Calculer le module |Z| de l'impédance.
Pour Z = a + bj, |Z| = √(a² + b²).
|Z| = √(100² + (−11,8)²) = √(10 000 + 139) = √10 139 ≈ 100,7 Ω.
Le module |Z| représente la résistance apparente du circuit en courant alternatif. C'est ce qu'on mesure avec un multimètre en mode AC.
Calculer l'argument arg(Z) de l'impédance.
arg(Z) = arctan(b/a) si a > 0.
arg(Z) = arctan(−11,8 / 100) = arctan(−0,118) ≈ −6,7°.
L'argument représente le déphasage (en radians ou degrés) entre la tension et le courant. Ici, la tension est en retard de 6,7° par rapport au courant (cas capacitif dominant car X_C > X_L).
Si la tension efficace est U = 230 V, calculer l'intensité efficace I.
Loi d'Ohm en alternatif (avec impédance) : I = U / |Z|.
I = 230 / 100,7 ≈ 2,28 A.
Avec un courant continu de 230 V à travers une résistance pure de 100 Ω : I = 2,30 A. Très proche.
L'effet du déphasage est minime ici car cos(arg Z) ≈ 1.
Calculer le facteur de puissance cos(arg Z) du circuit. Pourquoi est-il important en électrotechnique ?
cos(arg Z) = cos(−6,7°) ≈ 0,993 (presque 1).
Le facteur de puissance est le rapport entre puissance active (utile, kW) et puissance apparente (totale, kVA).
P_active = U × I × cos(φ) = 230 × 2,28 × 0,993 ≈ 521 W (chauffe résistance).
P_apparente = U × I = 525 VA. La compagnie d'électricité facture la P_apparente, donc un mauvais cos(φ) coûte cher (pénalités EDF si cos < 0,93 en industrie).
Solution : ajouter des condensateurs de compensation pour ramener cos(φ) → 1.
À quelle fréquence f₀ aurait-on X_L = X_C (résonance) ? Donner la formule de Thomson.
X_L = X_C → L × ω = 1 / (C × ω) → L × C × ω² = 1 → ω = 1 / √(LC).
f₀ = 1 / (2π × √(LC)) = 1 / (2π × √(0,3 × 30 × 10⁻⁶)) = 1 / (2π × √(9 × 10⁻⁶)) = 1 / (2π × 0,003) ≈ 53 Hz.
(Formule de Thomson, fondamentale en oscillations).
À 50 Hz, on n'est pas exactement à la résonance (53 Hz), d'où le petit déphasage.
Si on était à 53 Hz exactement : Z = R = 100 Ω, déphasage 0, courant maximum 2,30 A.
Pourquoi utilise-t-on les nombres complexes en électrotechnique ?
Les complexes simplifient massivement les calculs en alternatif :
Sans complexes : équations différentielles longues à résoudre.
Avec complexes : algèbre simple sur des nombres.
C'est l'une des plus belles applications « pratiques » d'un concept mathématique abstrait (j² = −1).
Rédiger en 5 lignes une note technique pour le client : diagnostic du circuit et recommandations.
Diagnostic — Circuit RLC série (R = 100 Ω, L = 0,3 H, C = 30 µF, 50 Hz)
L'industrie utilise massivement les filtres RLC. Pour un filtre passe-bas à f₀ = 1 kHz, calculer la valeur de L sachant qu'on impose C = 1 µF.
Formule de Thomson : f₀ = 1 / (2π √(LC)) = 1 000 Hz.
√(LC) = 1 / (2π × 1 000) ≈ 1,59 × 10⁻⁴.
LC = 2,53 × 10⁻⁸. Avec C = 10⁻⁶ : L = 2,53 × 10⁻² = 25,3 mH.
Cette inductance se trouve dans le commerce sous forme de bobines compactes.
Application : filtres de cross-over haut-parleurs hi-fi, anti-parasites alimentations, accord radio, équipements industriels (CEM).