Chapitre 9 | Terminale Bac Pro | Mathématiques
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Valeur remarquable – ln(1)
Quelle est la valeur de \(\ln(1)\) ?
Valeur remarquable – ln(e)
Quelle est la valeur de \(\ln(e)\) ?
Valeur remarquable – e⁰
Quelle est la valeur de \(e^0\) ?
Dérivée de eˣ
Si \(f(x) = e^x\), alors \(f'(x) =\) :
Dérivée de ln(x)
Si \(f(x) = \ln(x)\), alors \(f'(x) =\) :
Fonctions réciproques
Que vaut \(\ln(e^5)\) ?
Que vaut \(e^{\ln(7)}\) ?
Domaine de définition de ln
\(\ln(x)\) est défini pour :
Valeur approchée de e
La valeur approchée de e est :
Signe de eˣ
Pour tout réel x, \(e^x\) est :
Variations de eˣ
La fonction \(f(x) = e^x\) est :
Résolution simple – équation exponentielle
Si \(e^x = 1\), alors \(x =\) :
Résolution simple – équation logarithmique
Si \(\ln(x) = 0\), alors \(x =\) :
Limite de eˣ en −∞
\(\lim_{x \to -\infty} e^x =\) :
Limite de ln(x) en 0⁺
\(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) =\) :
Propriété algébrique – ln d'un produit
\(\ln(3 \times 5) =\) :
Propriété algébrique – ln d'un quotient
\(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) =\) :
Propriété algébrique – ln d'une puissance
\(\ln(a^3) =\) :
Résolution – équation exponentielle
On résout \(e^x = 5\). La solution est :
Résolution – équation logarithmique
On résout \(\ln(x) = 3\). La solution est :
Résolution – équation exponentielle plus complexe
On résout \(2e^x = 10\). Alors :
Primitive de eˣ
Une primitive de \(f(x) = e^x\) est :
Primitive de 1/x
Une primitive de \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) (pour x > 0) est :
Application – refroidissement de Newton
Un local refroidit selon \(T(t) = 20 + 60 \cdot e^{-0{,}1t}\). Quelle est la température initiale (en t = 0) ?
Application – modèle de séchage du bois
Une planche sèche selon \(H(t) = 25 \cdot e^{-0{,}08t}\). Quelle est la teneur initiale en humidité ?
Résolution dans un modèle – séchage du bois
Avec \(H(t) = 25 \cdot e^{-0{,}08t}\), pour trouver t tel que \(H(t) = 12\), on résout :
Dérivée de e2x
Si \(f(x) = e^{2x}\), alors \(f'(x) =\) :
Simplification – propriété réciproque
Simplifier \(\ln(e^3 \times e^2)\) :
Résolution – équation avec coefficient
On résout \(e^{2x} = 8\). Alors :
Asymptote – modèle de refroidissement
Dans la loi \(T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}}) \cdot e^{-kt}\), la courbe de T(t) tend vers :
Dérivée de ln(u(x)) – règle de la chaîne
Si \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\), alors \(f'(x) =\) :
Dérivée de eu(x) – règle de la chaîne
Si \(f(x) = e^{x^2 + 1}\), alors \(f'(x) =\) :
Dérivée de ln(2x + 5)
Si \(f(x) = \ln(2x + 5)\), alors \(f'(x) =\) :
Intégrale de 1/x
\(\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx =\) :
Intégrale de eˣ
\(\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx =\) :
Équation différentielle y' = ay
Les solutions de l'équation différentielle \(y' = 3y\) sont de la forme :
Équation différentielle – condition initiale
La solution de \(y' = -0{,}1y\) avec \(y(0) = 60\) est :
Dérivée de e−kt
Si \(f(t) = e^{-kt}\) (k constante positive), alors \(f'(t) =\) :
Résolution – modèle de décroissance
Un installateur thermique mesure la décroissance d'une grandeur : \(N(t) = 500 \cdot e^{-0{,}2t}\). À quel instant t est-ce que \(N(t) = 100\) ?
Dérivée de 5e2x + ln(x)
Si \(f(x) = 5e^{2x} + \ln(x)\), alors \(f'(x) =\) :
Équation logarithmique – résolution complète
Résoudre \(\ln(2x - 1) = 0\). La solution est :
Propriété algébrique – ln(1/a)
\(\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) =\) (avec a > 0) :
Problème type BTS – modèle de refroidissement
Un technicien mesure \(T(t) = 10 + 50 \cdot e^{-0{,}05t}\). Pour que \(T \leq 25\,°C\), il faut :
Dérivée de ln(3x)
Si \(f(x) = \ln(3x)\) (x > 0), alors \(f'(x) =\) :
Problème type BTS – temps de demi-vie
Une grandeur décroit selon \(N(t) = N_0 \cdot e^{-kt}\). Le temps nécessaire pour que N soit divisé par 2 (demi-vie) vaut :