Fonctions ln et exponentielle — Terminale Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Compléter :
a) \(\text{e}^0 = ...\)
b) \(\ln(1) = ...\)
c) \(\ln(\text{e}) = ...\)
a) \(\text{e}^0 = \mathbf{1}\)
b) \(\ln(1) = \mathbf{0}\)
c) \(\ln(\text{e}) = \mathbf{1}\)
Simplifier :
a) \(\ln(\text{e}^5) = ...\)
b) \(\text{e}^{\ln(7)} = ...\)
c) \(\ln(\text{e}^3 \times \text{e}^2) = \ln(\text{e}^{...}) = ...\)
a) \(\ln(\text{e}^5) = \mathbf{5}\)
b) \(\text{e}^{\ln(7)} = \mathbf{7}\)
c) \(\ln(\text{e}^3 \times \text{e}^2) = \ln(\text{e}^5) = \mathbf{5}\)
Résoudre les équations suivantes :
a) \(\text{e}^x = 5\) → \(x = \ln(...) = ...\) (valeur à la calculatrice)
b) \(\ln(x) = 3\) → \(x = \text{e}^{...} = ...\) (valeur à la calculatrice)
a) \(x = \ln(5) \approx \mathbf{1{,}609}\)
b) \(x = \text{e}^3 \approx \mathbf{20{,}09}\)
Calculer à la calculatrice (arrondir au centième) :
a) \(\text{e}^2 = ...\)
b) \(\text{e}^{-1} = ...\)
c) Vérifier que \(\text{e}^2 \times \text{e}^{-1} = \text{e}^{2+(-1)} = \text{e}^{...} = ...\)
a) \(\text{e}^2 \approx \mathbf{7{,}39}\)
b) \(\text{e}^{-1} \approx \mathbf{0{,}37}\)
c) \(\text{e}^2 \times \text{e}^{-1} = \text{e}^1 = \text{e} \approx \mathbf{2{,}72}\). Vérification : \(7{,}39 \times 0{,}37 \approx 2{,}73\) ✓
Une pièce métallique sort d'un four à 80°C. La température ambiante est 20°C. Le modèle est \(T(t) = 20 + 60 \times \text{e}^{-0{,}1t}\).
Calculer la température après 10 min :
\(T(10) = 20 + 60 \times \text{e}^{-0{,}1 \times 10} = 20 + 60 \times \text{e}^{...} = 20 + 60 \times ... = ...\) °C
\(T(10) = 20 + 60 \times \text{e}^{-1} = 20 + 60 \times 0{,}368 = 20 + 22{,}07 \approx \mathbf{42{,}1}\) °C
Barème : 20 points
Compléter :
a) \(\ln(\text{e}^2) = ...\)
b) \(\text{e}^{\ln(1)} = ...\)
c) \(\text{e}^0 + \ln(1) = ...\)
a) \(\ln(\text{e}^2) = \mathbf{2}\)
b) \(\text{e}^{\ln(1)} = \text{e}^0 = \mathbf{1}\)
c) \(\text{e}^0 + \ln(1) = 1 + 0 = \mathbf{1}\)
Simplifier :
a) \(\ln(\text{e}^8) = ...\)
b) \(\text{e}^{\ln(4)} = ...\)
c) \(\ln(\text{e}^2 \times \text{e}^5) = \ln(\text{e}^{...}) = ...\)
a) \(\ln(\text{e}^8) = \mathbf{8}\)
b) \(\text{e}^{\ln(4)} = \mathbf{4}\)
c) \(\ln(\text{e}^2 \times \text{e}^5) = \ln(\text{e}^7) = \mathbf{7}\)
Résoudre les équations suivantes :
a) \(\text{e}^x = 10\) → \(x = \ln(...) = ...\) (valeur à la calculatrice)
b) \(\ln(x) = 2\) → \(x = \text{e}^{...} = ...\) (valeur à la calculatrice)
a) \(x = \ln(10) \approx \mathbf{2{,}303}\)
b) \(x = \text{e}^2 \approx \mathbf{7{,}39}\)
Calculer à la calculatrice (arrondir au centième) :
a) \(\text{e}^3 = ...\)
b) \(\text{e}^{-2} = ...\)
c) Vérifier que \(\text{e}^3 \times \text{e}^{-2} = \text{e}^{3+(-2)} = \text{e}^{...} = ...\)
a) \(\text{e}^3 \approx \mathbf{20{,}09}\)
b) \(\text{e}^{-2} \approx \mathbf{0{,}14}\)
c) \(\text{e}^3 \times \text{e}^{-2} = \text{e}^1 = \text{e} \approx \mathbf{2{,}72}\). Vérification : \(20{,}09 \times 0{,}14 \approx 2{,}73\) ✓
Un tuyau en cuivre sort d'une soudure à 100°C. La température ambiante est 25°C. Le modèle est \(T(t) = 25 + 75 \times \text{e}^{-0{,}2t}\).
Calculer la température après 5 min :
\(T(5) = 25 + 75 \times \text{e}^{-0{,}2 \times 5} = 25 + 75 \times \text{e}^{...} = 25 + 75 \times ... = ...\) °C
\(T(5) = 25 + 75 \times \text{e}^{-1} = 25 + 75 \times 0{,}368 = 25 + 27{,}59 \approx \mathbf{52{,}6}\) °C
Barème : 20 points
Simplifier sans calculatrice :
a) \(\ln(\text{e}^4)\)
b) \(\text{e}^{\ln(3)}\)
c) \(\ln\!\left(\dfrac{\text{e}^5}{\text{e}^2}\right)\)
a) \(\ln(\text{e}^4) = \mathbf{4}\)
b) \(\text{e}^{\ln(3)} = \mathbf{3}\)
c) \(\ln\!\left(\dfrac{\text{e}^5}{\text{e}^2}\right) = \ln(\text{e}^{5-2}) = \ln(\text{e}^3) = \mathbf{3}\)
Résoudre les équations :
a) \(2\text{e}^{3x} - 8 = 0\)
b) \(\ln(2x - 1) = 0\)
a) \(2\text{e}^{3x} = 8 \Rightarrow \text{e}^{3x} = 4 \Rightarrow 3x = \ln(4) \Rightarrow x = \dfrac{\ln(4)}{3} \approx \mathbf{0{,}462}\)
b) \(\ln(2x-1) = 0 \Rightarrow 2x - 1 = \text{e}^0 = 1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow \mathbf{x = 1}\)
Vérification : \(2 \times 1 - 1 = 1 > 0\) ✓
Calculer la dérivée de chaque fonction :
a) \(f(x) = \text{e}^{3x}\)
b) \(g(x) = \ln(2x + 5)\)
a) \(f'(x) = 3\text{e}^{3x}\) (dérivée de \(\text{e}^{ax}\) est \(a\text{e}^{ax}\))
b) \(g'(x) = \dfrac{2}{2x+5}\) (dérivée de \(\ln(u)\) est \(\dfrac{u'}{u}\))
Une planche de bois sèche naturellement selon le modèle \(H(t) = 25\,\text{e}^{-0{,}08t}\) (humidité en %, \(t\) en heures). La norme pour la menuiserie exige \(H < 12\,\%\).
Au bout de combien d'heures le bois sera-t-il conforme ?
On résout \(25\,\text{e}^{-0{,}08t} = 12\) :
\(\text{e}^{-0{,}08t} = \dfrac{12}{25} = 0{,}48\)
\(-0{,}08t = \ln(0{,}48) \approx -0{,}734\)
\(t = \dfrac{0{,}734}{0{,}08} \approx \mathbf{9{,}2}\) heures
Il faut attendre environ 9 heures pour que le bois soit conforme.
En utilisant les propriétés du logarithme, simplifier \(\ln(6)\) en fonction de \(\ln(2)\) et \(\ln(3)\).
\(\ln(6) = \ln(2 \times 3) = \mathbf{\ln(2) + \ln(3)}\)
Vérification : \(\ln(2) + \ln(3) \approx 0{,}693 + 1{,}099 = 1{,}792 \approx \ln(6)\) ✓
Barème : 20 points
Simplifier sans calculatrice :
a) \(\ln(\text{e}^7)\)
b) \(\text{e}^{\ln(5)}\)
c) \(\ln\!\left(\dfrac{\text{e}^6}{\text{e}^4}\right)\)
a) \(\ln(\text{e}^7) = \mathbf{7}\)
b) \(\text{e}^{\ln(5)} = \mathbf{5}\)
c) \(\ln\!\left(\dfrac{\text{e}^6}{\text{e}^4}\right) = \ln(\text{e}^{6-4}) = \ln(\text{e}^2) = \mathbf{2}\)
Résoudre les équations :
a) \(3\text{e}^{2x} - 12 = 0\)
b) \(\ln(3x + 2) = 0\)
a) \(3\text{e}^{2x} = 12 \Rightarrow \text{e}^{2x} = 4 \Rightarrow 2x = \ln(4) \Rightarrow x = \dfrac{\ln(4)}{2} \approx \mathbf{0{,}693}\)
b) \(\ln(3x+2) = 0 \Rightarrow 3x + 2 = \text{e}^0 = 1 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow \mathbf{x = -\dfrac{1}{3} \approx -0{,}333}\)
Vérification : \(3 \times (-\tfrac{1}{3}) + 2 = 1 > 0\) ✓
Calculer la dérivée de chaque fonction :
a) \(f(x) = \text{e}^{5x}\)
b) \(g(x) = \ln(4x + 1)\)
a) \(f'(x) = 5\text{e}^{5x}\) (dérivée de \(\text{e}^{ax}\) est \(a\text{e}^{ax}\))
b) \(g'(x) = \dfrac{4}{4x+1}\) (dérivée de \(\ln(u)\) est \(\dfrac{u'}{u}\))
Un panneau de bois sèche selon le modèle \(H(t) = 30\,\text{e}^{-0{,}05t}\) (humidité en %, \(t\) en heures). La norme pour l'ébénisterie exige \(H < 10\,\%\).
Au bout de combien d'heures le bois sera-t-il conforme ?
On résout \(30\,\text{e}^{-0{,}05t} = 10\) :
\(\text{e}^{-0{,}05t} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}\)
\(-0{,}05t = \ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right) \approx -1{,}099\)
\(t = \dfrac{1{,}099}{0{,}05} \approx \mathbf{22{,}0}\) heures
Il faut attendre environ 22 heures pour que le bois soit conforme.
En utilisant les propriétés du logarithme, simplifier \(\ln(12)\) en fonction de \(\ln(2)\) et \(\ln(3)\).
\(\ln(12) = \ln(4 \times 3) = \ln(2^2 \times 3) = \mathbf{2\ln(2) + \ln(3)}\)
Vérification : \(2 \times 0{,}693 + 1{,}099 = 1{,}386 + 1{,}099 = 2{,}485 \approx \ln(12)\) ✓
Barème : 20 points
Simplifier les expressions suivantes sans calculatrice :
a) \(\ln(8)\) en fonction de \(\ln(2)\)
b) \(\ln\!\left(\dfrac{1}{\text{e}^3}\right)\)
c) \(\ln(\text{e} \times \text{e}^4) - \ln(\text{e}^2)\)
a) \(\ln(8) = \ln(2^3) = \mathbf{3\ln(2)}\)
b) \(\ln\!\left(\dfrac{1}{\text{e}^3}\right) = \ln(\text{e}^{-3}) = \mathbf{-3}\)
c) \(\ln(\text{e} \times \text{e}^4) - \ln(\text{e}^2) = \ln(\text{e}^5) - \ln(\text{e}^2) = 5 - 2 = \mathbf{3}\)
Un local technique est à 60°C. L'extérieur est à 10°C. La constante de refroidissement est \(k = 0{,}05\) min\(^{-1}\). Le modèle est \(T(t) = 10 + 50\,\text{e}^{-0{,}05t}\).
a) Calculer \(T(20)\).
b) Au bout de combien de minutes la température passe-t-elle sous 25°C ?
a) \(T(20) = 10 + 50\,\text{e}^{-0{,}05 \times 20} = 10 + 50\,\text{e}^{-1} = 10 + 50 \times 0{,}368 \approx \mathbf{28{,}4}\) °C
b) On résout \(10 + 50\,\text{e}^{-0{,}05t} = 25\) :
\(50\,\text{e}^{-0{,}05t} = 15 \Rightarrow \text{e}^{-0{,}05t} = 0{,}3\)
\(-0{,}05t = \ln(0{,}3) \approx -1{,}204\)
\(t = \dfrac{1{,}204}{0{,}05} \approx \mathbf{24{,}1}\) min
Calculer la dérivée de chaque fonction :
a) \(f(x) = \text{e}^{4x-1}\)
b) \(g(x) = \ln(x^2 + 3)\)
c) \(h(x) = 3\text{e}^{-2x} + \ln(5x)\)
a) \(f'(x) = \mathbf{4\,\text{e}^{4x-1}}\)
b) \(g'(x) = \mathbf{\dfrac{2x}{x^2+3}}\)
c) Pour \(3\text{e}^{-2x}\) : dérivée \(= -6\text{e}^{-2x}\). Pour \(\ln(5x)\) : dérivée \(= \dfrac{5}{5x} = \dfrac{1}{x}\).
Donc \(h'(x) = \mathbf{-6\,\text{e}^{-2x} + \dfrac{1}{x}}\)
On considère la fonction \(f(x) = \text{e}^{-x}(x + 1)\) définie sur \(\mathbb{R}\).
a) Montrer que \(f'(x) = -x\,\text{e}^{-x}\).
b) En déduire le signe de \(f'(x)\) et les variations de \(f\).
a) \(f(x) = \text{e}^{-x}(x+1)\). Par la règle du produit :
\(f'(x) = -\text{e}^{-x}(x+1) + \text{e}^{-x} \times 1 = \text{e}^{-x}\bigl(-(x+1)+1\bigr) = \text{e}^{-x}(-x) = \mathbf{-x\,\text{e}^{-x}}\) ✓
b) Comme \(\text{e}^{-x} > 0\) toujours, le signe de \(f'(x)\) est celui de \(-x\) :
\(f'(x) > 0\) si \(x < 0\) (croissante) ; \(f'(x) < 0\) si \(x > 0\) (décroissante). Maximum en \(x = 0\) : \(f(0) = 1\).
Résoudre l'équation \(\ln(x+3) = 1 + \ln(2)\).
\(\ln(x+3) = 1 + \ln(2) = \ln(\text{e}) + \ln(2) = \ln(2\text{e})\)
Donc \(x + 3 = 2\text{e}\), soit \(x = 2\text{e} - 3 \approx 2 \times 2{,}718 - 3 \approx \mathbf{2{,}44}\)
Vérification : \(x + 3 = 2\text{e} > 0\) ✓
Barème : 20 points
Simplifier les expressions suivantes sans calculatrice :
a) \(\ln(27)\) en fonction de \(\ln(3)\)
b) \(\ln\!\left(\dfrac{1}{\text{e}^5}\right)\)
c) \(\ln(\text{e}^2 \times \text{e}^3) - \ln(\text{e}^4)\)
a) \(\ln(27) = \ln(3^3) = \mathbf{3\ln(3)}\)
b) \(\ln\!\left(\dfrac{1}{\text{e}^5}\right) = \ln(\text{e}^{-5}) = \mathbf{-5}\)
c) \(\ln(\text{e}^2 \times \text{e}^3) - \ln(\text{e}^4) = \ln(\text{e}^5) - \ln(\text{e}^4) = 5 - 4 = \mathbf{1}\)
Un atelier chauffé est à 50°C. L'extérieur est à 15°C. La constante de refroidissement est \(k = 0{,}04\) min\(^{-1}\). Le modèle est \(T(t) = 15 + 35\,\text{e}^{-0{,}04t}\).
a) Calculer \(T(25)\).
b) Au bout de combien de minutes la température passe-t-elle sous 30°C ?
a) \(T(25) = 15 + 35\,\text{e}^{-0{,}04 \times 25} = 15 + 35\,\text{e}^{-1} = 15 + 35 \times 0{,}368 \approx \mathbf{27{,}9}\) °C
b) On résout \(15 + 35\,\text{e}^{-0{,}04t} = 30\) :
\(35\,\text{e}^{-0{,}04t} = 15 \Rightarrow \text{e}^{-0{,}04t} = \dfrac{15}{35} = \dfrac{3}{7} \approx 0{,}429\)
\(-0{,}04t = \ln(0{,}429) \approx -0{,}847\)
\(t = \dfrac{0{,}847}{0{,}04} \approx \mathbf{21{,}2}\) min
Calculer la dérivée de chaque fonction :
a) \(f(x) = \text{e}^{3x+2}\)
b) \(g(x) = \ln(x^2 + 1)\)
c) \(h(x) = 2\text{e}^{-3x} + \ln(4x)\)
a) \(f'(x) = \mathbf{3\,\text{e}^{3x+2}}\)
b) \(g'(x) = \mathbf{\dfrac{2x}{x^2+1}}\)
c) Pour \(2\text{e}^{-3x}\) : dérivée \(= -6\text{e}^{-3x}\). Pour \(\ln(4x)\) : dérivée \(= \dfrac{4}{4x} = \dfrac{1}{x}\).
Donc \(h'(x) = \mathbf{-6\,\text{e}^{-3x} + \dfrac{1}{x}}\)
On considère la fonction \(f(x) = \text{e}^{-x}(x + 2)\) définie sur \(\mathbb{R}\).
a) Montrer que \(f'(x) = (1-x)\,\text{e}^{-x}\).
b) En déduire le signe de \(f'(x)\) et les variations de \(f\).
a) \(f(x) = \text{e}^{-x}(x+2)\). Par la règle du produit :
\(f'(x) = -\text{e}^{-x}(x+2) + \text{e}^{-x} \times 1 = \text{e}^{-x}\bigl(-(x+2)+1\bigr) = \text{e}^{-x}(1-x-2+1) = \mathbf{(1-x)\,\text{e}^{-x}}\) ✓
b) Comme \(\text{e}^{-x} > 0\) toujours, le signe de \(f'(x)\) est celui de \((1-x)\) :
\(f'(x) > 0\) si \(x < 1\) (croissante) ; \(f'(x) < 0\) si \(x > 1\) (décroissante). Maximum en \(x = 1\) : \(f(1) = 3\text{e}^{-1} \approx 1{,}10\).
Résoudre l'équation \(\ln(x+1) = 2 + \ln(3)\).
\(\ln(x+1) = 2 + \ln(3) = \ln(\text{e}^2) + \ln(3) = \ln(3\text{e}^2)\)
Donc \(x + 1 = 3\text{e}^2\), soit \(x = 3\text{e}^2 - 1 \approx 3 \times 7{,}389 - 1 \approx \mathbf{21{,}17}\)
Vérification : \(x + 1 = 3\text{e}^2 > 0\) ✓