← Retour au sommaire

Chapitre 9 – Exercices par capacités

Fonctions ln et exponentielle naturelle  |  Terminale Bac Pro  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Propriétés de la fonction ln

Rappel de cours — Fonction ln

La fonction \(\ln\) est définie sur \(]0\,;+\infty[\), croissante. Valeurs clés : \(\ln(1)=0\), \(\ln(e)=1\), \(\ln(e^n)=n\).
Propriétés algébriques : \(\ln(ab)=\ln a + \ln b\) ; \(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a - \ln b\) ; \(\ln(a^n)=n\ln a\).
Lien avec exp : \(\ln(e^x)=x\) et \(e^{\ln x}=x\) (fonctions réciproques).

1 2 3 1 2 O y = x (0;1) (1;0) eˣ ln(x)
\(e^x\) (bleu) et \(\ln(x)\) (rouge) — fonctions réciproques, symétriques par rapport à \(y = x\)

Exercice 1

Sans calculatrice, donner la valeur exacte de :

  1. \(\ln(1)\)
  2. \(\ln(e)\)
  3. \(\ln(e^2)\)
  4. \(\ln(e^{-1})\)
  5. \(\ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right)\)
  1. \(\ln(1) = 0\)
  2. \(\ln(e) = 1\)
  3. \(\ln(e^2) = 2\) (propriété \(\ln(e^n) = n\))
  4. \(\ln(e^{-1}) = -1\)
  5. \(\ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right) = \ln(e^{-1}) = -1\)

Exercice 2

Indiquer le domaine de définition de chaque fonction :

  1. \(f(x) = \ln(x)\)
  2. \(g(x) = \ln(x - 2)\)
  3. \(h(x) = \ln(3x + 6)\)
  4. \(k(x) = \ln(x^2)\)
  1. \(D_f = ]0\,;\,+\infty[\) (ln défini pour les strictement positifs)
  2. \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\), donc \(D_g = ]2\,;\,+\infty[\)
  3. \(3x + 6 > 0 \Leftrightarrow x > -2\), donc \(D_h = ]-2\,;\,+\infty[\)
  4. \(x^2 > 0\) pour tout \(x \neq 0\), donc \(D_k = ]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[\) = \(\mathbb{R}^*\)

Exercice 3

Répondre aux questions suivantes sur le comportement de ln :

  1. Quelle est la limite de \(\ln(x)\) quand \(x \to +\infty\) ?
  2. Quelle est la limite de \(\ln(x)\) quand \(x \to 0^+\) ?
  3. \(\ln\) est-elle croissante ou décroissante ? Que peut-on en déduire pour résoudre \(\ln(a) > \ln(b)\) ?
  1. \(\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\)
  2. \(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\)
  3. ln est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\). Donc \(\ln(a) > \ln(b) \Leftrightarrow a > b > 0\) : on peut "dé-ln" en conservant le sens de l'inégalité.

Exercice 4

Comparer sans calculatrice les nombres suivants en utilisant la croissance de ln :

  1. \(\ln(3)\) et \(\ln(7)\)
  2. \(\ln(0{,}5)\) et \(0\)
  3. \(\ln(e^2)\) et \(2\)
  1. \(3 < 7\) et ln est croissante, donc \(\ln(3) < \ln(7)\).
  2. \(0{,}5 < 1\) et \(\ln(1) = 0\), donc \(\ln(0{,}5) < 0\).
  3. \(\ln(e^2) = 2\), donc \(\ln(e^2) = 2\). (Égalité.)

C2 — Propriétés algébriques de ln

Rappel de cours

Propriétés algébriques (avec \(a, b > 0\) et \(n \in \mathbb{R}\)) :
\(\ln(ab) = \ln a + \ln b\)  ;   \(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\)  ;   \(\ln(a^n) = n\ln a\).
En particulier : \(\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a\) et \(\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln a\).

Exercice 5

Développer et simplifier (écrire comme somme/différence de ln de termes simples) :

  1. \(\ln(6) = \ln(2 \times 3)\)
  2. \(\ln(8)\)
  3. \(\ln\!\left(\dfrac{5}{2}\right)\)
  4. \(\ln\!\left(\dfrac{e^3}{2}\right)\)
  1. \(\ln(6) = \ln(2) + \ln(3)\)
  2. \(\ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln(2)\)
  3. \(\ln\!\left(\dfrac{5}{2}\right) = \ln(5) - \ln(2)\)
  4. \(\ln\!\left(\dfrac{e^3}{2}\right) = \ln(e^3) - \ln(2) = 3 - \ln(2)\)

Exercice 6

Écrire comme un seul logarithme :

  1. \(\ln(3) + \ln(4)\)
  2. \(\ln(10) - \ln(2)\)
  3. \(2\ln(5)\)
  4. \(3\ln(2) - \ln(4)\)
  1. \(\ln(3 \times 4) = \ln(12)\)
  2. \(\ln\!\left(\dfrac{10}{2}\right) = \ln(5)\)
  3. \(\ln(5^2) = \ln(25)\)
  4. \(\ln(2^3) - \ln(4) = \ln(8) - \ln(4) = \ln\!\left(\dfrac{8}{4}\right) = \ln(2)\)

Exercice 7

Le séchage du bois réduit la teneur en eau d'un facteur qui obéit à la loi : après \(n\) jours, la teneur est multipliée par \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\). Calculer en utilisant les propriétés de ln :

  1. \(\ln\!\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right]\) en fonction de \(n\).
  2. Pour \(n = 5\), calculer cette valeur avec \(\ln(2) \approx 0{,}693\).
  3. Interpréter le signe du résultat.
  1. \(\ln\!\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right] = n\ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = n(\ln 1 - \ln 2) = -n\ln(2)\)
  2. Pour \(n=5\) : \(-5 \times 0{,}693 = -3{,}465\)
  3. La valeur est négative, ce qui confirme que le facteur \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{1}{32} < 1\) : la teneur en eau a bien diminué.

Exercice 8

Calculer, avec \(\ln(2) \approx 0{,}693\) et \(\ln(3) \approx 1{,}099\) :

  1. \(\ln(18)\)
  2. \(\ln(12)\)
  3. \(\ln\!\left(\dfrac{4}{9}\right)\)
  4. \(\ln(\sqrt{6})\)
  1. \(\ln(18) = \ln(2 \times 3^2) = \ln 2 + 2\ln 3 \approx 0{,}693 + 2{,}198 = 2{,}891\)
  2. \(\ln(12) = \ln(4 \times 3) = 2\ln 2 + \ln 3 \approx 1{,}386 + 1{,}099 = 2{,}485\)
  3. \(\ln\!\left(\dfrac{4}{9}\right) = \ln(4) - \ln(9) = 2\ln 2 - 2\ln 3 \approx 1{,}386 - 2{,}198 = -0{,}812\)
  4. \(\ln(\sqrt{6}) = \dfrac{1}{2}\ln(6) = \dfrac{1}{2}(\ln 2 + \ln 3) \approx \dfrac{1}{2}(1{,}792) = 0{,}896\)

C3 — Fonction exponentielle naturelle \(e^x\)

Rappel de cours

La fonction \(e^x\) est définie sur \(\mathbb{R}\), toujours positive et strictement croissante. Elle est sa propre dérivée : \((e^x)' = e^x\).
Valeurs clés : \(e^0 = 1\), \(e^1 = e \approx 2{,}718\). Propriétés : \(e^{a+b} = e^a \times e^b\) ; \(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\) ; \(e^{\ln x} = x\).

Exercice 9

Sans calculatrice, donner la valeur exacte de :

  1. \(e^0\)
  2. \(e^1\)
  3. \(e^{-1}\)
  4. \(e^3 \times e^{-2}\)
  5. \(\left(e^2\right)^3\)
  1. \(e^0 = 1\)
  2. \(e^1 = e \approx 2{,}718\)
  3. \(e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}368\)
  4. \(e^3 \times e^{-2} = e^{3+(-2)} = e^1 = e\)
  5. \(\left(e^2\right)^3 = e^{2 \times 3} = e^6\)

Exercice 10

Simplifier les expressions suivantes :

  1. \(\dfrac{e^5}{e^2}\)
  2. \(e^{2x} \times e^{-x}\)
  3. \(\dfrac{e^{3x+1}}{e^{x+1}}\)
  4. \(\left(\dfrac{1}{e^x}\right)^2\)
  1. \(e^{5-2} = e^3\)
  2. \(e^{2x-x} = e^x\)
  3. \(e^{(3x+1)-(x+1)} = e^{2x}\)
  4. \(e^{-2x}\)

Exercice 11

La fonction exponentielle est sa propre dérivée : \((e^x)' = e^x\). Calculer la dérivée de :

  1. \(f(x) = 3e^x\)
  2. \(g(x) = e^x + 2x\)
  3. \(h(x) = 5e^x - \ln(x)\) (sur \(]0\,;\,+\infty[\))
  1. \(f'(x) = 3e^x\)
  2. \(g'(x) = e^x + 2\)
  3. \(h'(x) = 5e^x - \dfrac{1}{x}\)

Exercice 12

Vérifier la propriété de réciprocité entre exp et ln :

  1. Calculer \(e^{\ln(5)}\).
  2. Calculer \(\ln(e^7)\).
  3. Calculer \(e^{\ln(x) + 2}\) en simplifiant.
  1. \(e^{\ln(5)} = 5\) (exp et ln sont des fonctions réciproques)
  2. \(\ln(e^7) = 7\)
  3. \(e^{\ln(x) + 2} = e^{\ln(x)} \times e^2 = x \times e^2 = xe^2\)

C4 — Équations et inéquations avec ln et exp

Rappel de cours

Résoudre \(e^x = k\) (avec \(k > 0\)) : \(x = \ln(k)\).
Résoudre \(\ln(x) = k\) : \(x = e^k\) (et vérifier que \(x > 0\)).
Pour les inéquations : exp et ln étant croissantes, on conserve le sens de l'inégalité.
\(e^x > k \Leftrightarrow x > \ln k\)  ;   \(\ln x > k \Leftrightarrow x > e^k\).

Exercice 13

Résoudre les équations suivantes :

  1. \(e^x = 5\)
  2. \(e^x = 1\)
  3. \(e^{2x} = e^3\)
  4. \(e^{x-1} = e^2\)
  1. \(e^x = 5 \Rightarrow x = \ln(5) \approx 1{,}609\)
  2. \(e^x = 1 = e^0 \Rightarrow x = 0\)
  3. \(e^{2x} = e^3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\)
  4. \(e^{x-1} = e^2 \Rightarrow x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3\)

Exercice 14

Résoudre les équations suivantes :

  1. \(\ln(x) = 3\)
  2. \(\ln(x) = 0\)
  3. \(\ln(2x - 1) = \ln(5)\)
  4. \(\ln(x) + \ln(x + 1) = \ln(6)\)
  1. \(\ln(x) = 3 \Rightarrow x = e^3 \approx 20{,}09\)
  2. \(\ln(x) = 0 \Rightarrow x = e^0 = 1\)
  3. \(\ln(2x-1) = \ln(5) \Rightarrow 2x - 1 = 5 \Rightarrow x = 3\). Vérification : \(2 \times 3 - 1 = 5 > 0\) ✓
  4. \(\ln(x) + \ln(x+1) = \ln(x(x+1)) = \ln(6)\), donc \(x(x+1) = 6\).
    \(x^2 + x - 6 = 0\), discriminant \(\Delta = 1 + 24 = 25\), \(x = \dfrac{-1 \pm 5}{2}\).
    \(x_1 = 2\) ou \(x_2 = -3\) (rejeté car \(\ln(x)\) exige \(x > 0\) et \(x + 1 > 0\)). Donc \(x = 2\).

Exercice 15

Résoudre les inéquations :

  1. \(e^x > 4\)
  2. \(e^{2x} \leq e^5\)
  3. \(\ln(x) \geq 2\)
  4. \(\ln(x) < \ln(3)\)
  1. \(e^x > 4\). La fonction exp est croissante, donc on applique ln des deux côtés : \(x > \ln(4) \approx 1{,}386\). Solution : \(]\ln 4\,;\,+\infty[\).
  2. \(e^{2x} \leq e^5 \Rightarrow 2x \leq 5 \Rightarrow x \leq \dfrac{5}{2}\). Solution : \(]-\infty\,;\,\dfrac{5}{2}]\).
  3. \(\ln(x) \geq 2\). ln est croissante, donc \(x \geq e^2\). Solution : \([e^2\,;\,+\infty[\).
  4. \(\ln(x) < \ln(3)\). ln croissante, donc \(0 < x < 3\) (on garde la condition \(x > 0\)). Solution : \(]0\,;\,3[\).

Exercice 16

Un menuisier agenceur calcule la résistance d'un panneau. Il obtient l'équation \(2e^x - 3 = 5\).

  1. Isoler \(e^x\).
  2. Résoudre en donnant la solution exacte puis une valeur approchée.
  1. \(2e^x = 8\), donc \(e^x = 4\).
  2. \(x = \ln(4) = 2\ln(2) \approx 1{,}386\)

C5 — Modélisation : croissance et décroissance

Rappel de cours

Modèle exponentiel : \(N(t) = N_0 \times e^{kt}\).
Si \(k > 0\) : croissance (doublement, prolifération) ; si \(k < 0\) : décroissance (refroidissement, demi-vie).
Pour trouver le moment où \(N(t) = c\) : appliquer \(\ln\) et isoler \(t = \dfrac{\ln(c/N_0)}{k}\).

Exercice 17

Le taux d'humidité (en %) d'une planche de bois en cours de séchage est modélisé par :

\(H(t) = 25 \times e^{-0{,}1t}\) où \(t\) est le temps en jours.

  1. Calculer l'humidité initiale \(H(0)\).
  2. Calculer \(H(10)\) (arrondir à une décimale).
  3. Au bout de combien de jours l'humidité passe-t-elle en dessous de 10 % ?
  1. \(H(0) = 25 \times e^0 = 25\%\)
  2. \(H(10) = 25 \times e^{-1} \approx 25 \times 0{,}368 \approx 9{,}2\%\)
  3. On résout \(H(t) < 10\) : \(25e^{-0{,}1t} < 10 \Rightarrow e^{-0{,}1t} < 0{,}4\).
    \(-0{,}1t < \ln(0{,}4) \approx -0{,}916\) (en divisant par −0,1, le sens s'inverse) :
    \(t > \dfrac{0{,}916}{0{,}1} = 9{,}16\) jours. L'humidité est en dessous de 10% après environ 10 jours.

Exercice 18

Un technicien chauffagiste mesure la décroissance de la température d'une chaudière arrêtée. Le modèle est :

\(T(t) = 20 + 60 \times e^{-0{,}05t}\) (en °C, \(t\) en minutes).

  1. Quelle est la température initiale de la chaudière (à \(t = 0\)) ?
  2. Vers quelle valeur tend la température à très long terme ? Expliquer.
  3. Au bout de combien de minutes la chaudière atteint-elle 35°C ?
  1. \(T(0) = 20 + 60 \times 1 = 80°C\)
  2. Quand \(t \to +\infty\), \(e^{-0{,}05t} \to 0\), donc \(T(t) \to 20°C\). La chaudière tend vers la température ambiante (20°C).
  3. \(T(t) = 35 \Rightarrow 60e^{-0{,}05t} = 15 \Rightarrow e^{-0{,}05t} = 0{,}25\).
    \(-0{,}05t = \ln(0{,}25) = \ln\!\left(\dfrac{1}{4}\right) = -\ln(4) \approx -1{,}386\).
    \(t = \dfrac{1{,}386}{0{,}05} \approx 27{,}7\) min. La chaudière atteint 35°C en environ 28 minutes.

Exercice 19

Le carbone 14 est un isotope radioactif utilisé en datation. Sa quantité obéit à la loi :

\(Q(t) = Q_0 \times e^{-\lambda t}\) où \(\lambda = \dfrac{\ln 2}{5730}\) (années) et \(Q_0\) est la quantité initiale.

  1. Vérifier que \(Q(5730) = \dfrac{Q_0}{2}\) (5730 ans est la demi-vie du carbone 14).
  2. Exprimer \(t\) en fonction de \(Q\), \(Q_0\) et \(\lambda\).
  3. Un échantillon ne contient plus que 30% de carbone 14 initial. Calculer l'âge de l'échantillon.
  1. \(Q(5730) = Q_0 \times e^{-\frac{\ln 2}{5730} \times 5730} = Q_0 \times e^{-\ln 2} = Q_0 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{Q_0}{2}\) ✓
  2. \(\dfrac{Q}{Q_0} = e^{-\lambda t} \Rightarrow -\lambda t = \ln\!\left(\dfrac{Q}{Q_0}\right) \Rightarrow t = -\dfrac{1}{\lambda}\ln\!\left(\dfrac{Q}{Q_0}\right) = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{Q_0}{Q}\right)}{\lambda}\)
  3. \(\dfrac{Q}{Q_0} = 0{,}30\), donc \(t = -\dfrac{\ln(0{,}30)}{\lambda} = -\dfrac{\ln(0{,}30) \times 5730}{\ln 2}\).
    \(\ln(0{,}30) \approx -1{,}204\) ; \(t = \dfrac{1{,}204 \times 5730}{0{,}693} \approx \dfrac{6\,898}{0{,}693} \approx 9\,954\) ans.
    L'échantillon a environ 9 950 ans.

Exercice 20

Un fabricant de cuisines observe que ses ventes croissent selon le modèle :

\(V(t) = V_0 \times e^{0{,}08t}\) où \(t\) est le temps en années et \(V_0 = 200\,000\) € (chiffre d'affaires initial).

  1. Calculer le chiffre d'affaires prévu après 5 ans.
  2. Au bout de combien d'années le chiffre d'affaires doublera-t-il ? (Temps de doublement : résoudre \(V(t) = 2V_0\).)
  1. \(V(5) = 200\,000 \times e^{0{,}08 \times 5} = 200\,000 \times e^{0{,}4} \approx 200\,000 \times 1{,}492 \approx 298\,400\,€\)
  2. \(V_0 e^{0{,}08t} = 2V_0 \Rightarrow e^{0{,}08t} = 2 \Rightarrow 0{,}08t = \ln(2) \approx 0{,}693 \Rightarrow t = \dfrac{0{,}693}{0{,}08} \approx 8{,}66\) ans.
    Le chiffre d'affaires double en environ 8 ans et 8 mois.

C6 — Passage \(\ln(x)=a \Leftrightarrow x=e^a\)

Rappel

\(\ln(x)=a \Leftrightarrow x=e^a\) et \(e^x=b \Leftrightarrow x=\ln(b)\). \(\ln(e^x)=x\) et \(e^{\ln x}=x\).

Exercice 16

Résoudre : a) \(\ln(x)=3\) b) \(e^x=7\) c) \(\ln(2x)=1\) d) \(e^{2x-1}=5\)

a) \(x=e^3\approx 20{,}09\) b) \(x=\ln 7\approx 1{,}95\) c) \(2x=e\) → \(x=e/2\approx 1{,}36\) d) \(2x-1=\ln 5\) → \(x=(\ln 5+1)/2\approx 1{,}30\)

Exercice 17

Séchage modélisé par \(E(t)=100(1-e^{-0{,}5t})\) %. Quand atteint-on 80 % ?

\(1-e^{-0{,}5t}=0{,}8\) → \(e^{-0{,}5t}=0{,}2\) → \(-0{,}5t=\ln(0{,}2)\approx -1{,}609\) → \(t\approx 3{,}22\) h soit 3h13.