Chapitre 9 – Fonction ln et exponentielle népérienne | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Une nouvelle maladie infectieuse apparaît. Au jour 0, 1 personne est infectée. Chaque malade contamine en moyenne R₀ = 2,5 personnes en une semaine, puis guérit (ou meurt). Que va-t-il se passer ?
N(s) = N₀ × R₀^s
N(s) = nombre d'infectés à la semaine s. R₀ = taux de reproduction.
📚 Cette activité approfondit les notions du cours §3 (suite exponentielle) et §6 (modélisation épidémiologique).
Calculer N(5), N(10), N(15) avec R₀ = 2,5 et N₀ = 1.
En 15 semaines, on passe de 1 à près de 1 million d'infectés. C'est la puissance terrifiante de la croissance exponentielle.
Toute la population française (~67 M) serait infectée en 20 semaines à ce rythme.
Avec mesures sanitaires (gestes barrières, masques, distance), R passe à 0,9. Calculer N(5), N(10) à partir de N₀ = 1 000 (épidémie en cours).
L'épidémie recule. À long terme, N → 0. Les gestes barrières sont efficaces.
Le pic est atteint au moment où R passe sous 1 (= moment où le nombre d'infectés cesse de croître).
Quelle est la valeur seuil de R qui sépare explosion et extinction de l'épidémie ?
Seuil = R = 1.
L'objectif des autorités sanitaires est R < 1 pour faire reculer l'épidémie.
L'« immunité collective » est atteinte quand R passe sous 1 grâce à l'immunisation (vaccin ou guérison). Calculer le seuil pour R₀ = 2,5.
Si une fraction p de la population est immunisée, R effectif = R₀ × (1 − p).
Pour R = 1 : R₀ × (1 − p) = 1 → 1 − p = 1/R₀ → p = 1 − 1/R₀.
Pour R₀ = 2,5 : p = 1 − 1/2,5 = 0,6 → 60 % de la population doit être immunisée.
Pour R₀ = 5 (rougeole) : p = 80 %. Pour R₀ = 12 (variole) : p = 92 %.
Plus une maladie est contagieuse, plus le seuil d'immunité collective est élevé.
Pour la rougeole (R₀ ≈ 15), combien faut-il vacciner pour bloquer l'épidémie ?
p = 1 − 1/15 ≈ 0,933 → 93,3 % de couverture vaccinale.
C'est très élevé ! Difficile à atteindre dans une population entière.
Conséquence : la rougeole est l'une des maladies les plus difficiles à éradiquer. Toute baisse de la couverture vaccinale (mouvements anti-vaccins) entraîne des épidémies (cas en France 2018-2020).
L'OMS demande une couverture > 95 % pour éviter les épidémies de rougeole.
Pourquoi est-il difficile pour le grand public de comprendre la croissance exponentielle ?
Notre cerveau est câblé pour la pensée linéaire (« si 1 fait X, 10 font 10X »). L'exponentielle dépasse notre intuition.
Exemples emblématiques :
Conséquence santé publique : les mesures doivent être prises tôt, avant que les chiffres ne semblent dramatiques. Trop tard = catastrophe.
Rédiger en 5 lignes une note de communication pour expliquer l'urgence des mesures sanitaires en début d'épidémie.
Pourquoi agir maintenant ? La maths de la propagation
Quand un virus a un R₀ = 2,5, chaque semaine multiplie les cas par 2,5. En 5 semaines : 100 cas. En 10 semaines : 10 000. En 15 semaines : 1 million.
Si on attend que les cas « explosent visiblement », il est déjà trop tard : les hôpitaux saturent, les morts grimpent. Les mesures doivent être prises quand les chiffres semblent encore petits.
L'objectif : ramener R sous 1 (gestes barrières + tests + isolement) → l'épidémie recule au lieu d'exploser. C'est la maths qui guide la politique sanitaire, pas l'intuition.
Le modèle SIR (Susceptibles, Infectés, Rétablis) est plus réaliste. Il intègre l'épuisement des « personnes à infecter ». Quelle est la différence avec notre modèle simple ?
Modèle simple N(s) = R₀^s : croissance illimitée → irréaliste à long terme (impossible d'avoir plus de cas que la population totale).
Modèle SIR :
SIR donne une courbe en cloche pour I(t) : montée exponentielle, pic, descente exponentielle. Plus de S à infecter → l'épidémie s'éteint.
C'est le modèle utilisé par les épidémiologistes pendant le COVID-19 pour prédire les pics et planifier les hôpitaux.
Variantes plus complexes : SEIR (avec exposés non-infectieux), SIRD (avec décès), SIR avec âge, etc.