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Activité 3 – Intérêts composés et durée pour doubler son épargne SITUATION PRO

Chapitre 9 – Fonction ln et exponentielle népérienne | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min

Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30

Objectifs :

Situation – placer 10 000 € pour la retraite

Yohann place 10 000 € sur un livret à 3 % d'intérêts annuels composés. Il veut savoir au bout de combien d'années son capital sera doublé. Il compare aussi avec d'autres placements.

Document — formule des intérêts composés

C(n) = C₀ × (1 + t)^n

C₀ = capital initial. t = taux annuel (en décimal, ex. 3 % → 0,03). n = nombre d'années.

Document — graphique : 3 placements sur 30 ans

Capital sur 30 ans à 1 %, 3 %, 7 % 80 k€ 60 k€ 40 k€ 20 k€ 0 Capital (€) 0 10 20 30 Années 1% = 13,5k€ 3% = 24k€ 7% = 76k€ 20 k€ (doublement)

📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (suite exponentielle) et §5 (résolution avec ln).

Problématique : Combien d'années pour que 10 000 € à 3 % deviennent 20 000 €, et comment ce temps évolue selon le taux ?

Question 1 APP

Calculer C(1), C(5), C(10) au taux 3 % à partir de 10 000 €.

  • C(1) = 10 000 × 1,03 = 10 300 €
  • C(5) = 10 000 × 1,03⁵ = 10 000 × 1,159 = 11 593 €
  • C(10) = 10 000 × 1,03¹⁰ = 10 000 × 1,344 = 13 439 €

Croissance lente au début, mais qui s'accélère (effet exponentiel).

Question 2 REA

Résoudre C(n) = 20 000 (= doubler le capital initial).

10 000 × 1,03^n = 20 000 → 1,03^n = 2.

Appliquer ln : n × ln(1,03) = ln(2).

n = ln(2) / ln(1,03) = 0,693 / 0,0296 ≈ 23,4 années.

Yohann doit attendre presque 23 ans et demi pour doubler son capital initial.

Question 3 APP

La « règle des 72 » dit : à un taux t %, le capital double en environ 72 / t années. Vérifier avec t = 3 %.

72 / 3 = 24 ans, très proche de 23,4 ans calculé exactement. ✓

Cette règle empirique vient de l'approximation : ln(2) / ln(1 + t/100) ≈ 70 / t pour t petit. Pratique pour des estimations mentales.

Exemples : à 6 % → double en 12 ans. À 9 % → double en 8 ans. À 1 % → double en 72 ans !

Question 4 REA

Comparer 3 placements sur 30 ans, à partir de 10 000 € :

  1. Livret A : 1 %
  2. Livret épargne : 3 %
  3. PEA actions : 7 %
  • 1 % : 10 000 × 1,01³⁰ = 10 000 × 1,348 = 13 478 €
  • 3 % : 10 000 × 1,03³⁰ = 10 000 × 2,427 = 24 273 €
  • 7 % : 10 000 × 1,07³⁰ = 10 000 × 7,612 = 76 123 €

Le PEA donne 6 fois plus que le Livret A sur 30 ans, malgré un taux « seulement » 7× supérieur. C'est l'effet « boule de neige ».

Mais : PEA expose au risque (les actions peuvent baisser). Livret A garanti par l'État.

Question 5 VAL

Si Yohann commence 10 ans plus tard (à 30 ans au lieu de 20), combien aura-t-il à 50 ans avec le PEA à 7 % vs 3 % ?

Avec 20 ans de placement (au lieu de 30) :

  • 3 % : 10 000 × 1,03²⁰ = 10 000 × 1,806 = 18 060 €
  • 7 % : 10 000 × 1,07²⁰ = 10 000 × 3,870 = 38 700 €

Comparaison avec scénario « début à 20 ans » :

  • 3 % : 24 273 → 18 060 (perte 6 213 €)
  • 7 % : 76 123 → 38 700 (perte 37 423 €)

Le coût d'attendre 10 ans est énorme, surtout à taux élevé. Commencer tôt fait toute la différence.

Question 6 ANA

Yohann ajoute 1 000 €/an supplémentaires au placement à 3 %. Calculer le capital à 30 ans avec un tableur (formule récurrente C_(n+1) = 1,03 × C_n + 1 000).

C₀ = 10 000. C_(n+1) = 1,03 × C_n + 1 000.

Itération sur tableur (calcul long, résultat) : C₃₀ ≈ 72 000 €.

Comparaison : sans versements supplémentaires, C₃₀ = 24 273 €. Avec versements 1 000 €/an : 72 000 €.

Les versements réguliers (« épargne automatique ») triplent presque le capital final. L'épargne régulière + intérêts composés = combinaison gagnante.

Question 7 COM

Rédiger en 5 lignes des conseils financiers à un jeune qui commence à épargner.

Conseils — Premier placement

  1. Commencer tôt : chaque année gagnée = des milliers d'euros en plus à la fin.
  2. Verser régulièrement (mensuel ou annuel) > grosse somme ponctuelle.
  3. Diversifier les supports selon le profil de risque : Livret A (sécurité), PEA (long terme), assurance-vie (mixte).
  4. Connaître la règle des 72 : double en 72/t années. À 6 %, doublement en 12 ans.
  5. Réinvestir les intérêts automatiquement (sinon perte de l'effet « boule de neige »).

🚀 Pour aller plus loin ANA

L'inflation à 2 % par an érode le pouvoir d'achat. Si Yohann place à 3 % nominal mais l'inflation est de 2 %, son taux « réel » est seulement 1 %. Recalculer son capital « en pouvoir d'achat » à 30 ans.

Taux réel : (1 + 0,03) / (1 + 0,02) − 1 = 1,0098 − 1 ≈ 0,98 % ≈ 1 %.

Capital « réel » à 30 ans : 10 000 × 1,01³⁰ = 10 000 × 1,348 = 13 478 € (en pouvoir d'achat actuel).

Bien moins que les 24 273 € nominaux affichés.

Conséquence : pour un placement > inflation, il faut viser des taux nominaux > 4 % (PEA, immobilier).

L'inflation est le « prédateur silencieux » de l'épargne. Toujours raisonner en taux réel.

À retenir