Chapitre 9 – Fonction ln et exponentielle népérienne | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Anaïs, restauratrice, sert un café à 85 °C dans une salle à 20 °C. Elle veut savoir combien de temps avant que le café atteigne la température idéale de dégustation (60 °C).
T(t) = 20 + 65 × e−0,03 t
T en °C, t en minutes | 20 °C = température ambiante | 65 °C = écart initial (85 − 20)
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (fonction exponentielle) et §5 (résolution d'équation avec ln).
Calculer T(0), T(10), T(30) (température au moment du service, après 10 min, après 30 min).
Le café perd ~ 17 °C en 10 min, ~ 22 °C en 20 min de plus.
Résoudre T(t) = 60 °C en utilisant ln.
20 + 65 × e^(−0,03 t) = 60
65 × e^(−0,03 t) = 40 → e^(−0,03 t) = 40 / 65 = 0,615
−0,03 t = ln(0,615) ≈ −0,486
t = 0,486 / 0,03 ≈ 16 minutes.
Anaïs doit servir le café environ 16 min avant que le client commence à déguster — ou laisser le client patienter 16 min.
Pourquoi la température n'atteint-elle jamais 20 °C selon le modèle ?
T(t) = 20 + 65 × e^(−0,03 t). Quand t → ∞, e^(−0,03 t) → 0 mais reste strictement > 0.
Donc T(t) → 20 °C par valeur supérieure, mais sans jamais l'atteindre. C'est une asymptote horizontale.
En pratique : après 2-3 heures, T est à moins de 1 °C de la salle, indistinguable thermiquement. Le modèle reste très utile.
À quelle température sera le café après 1 heure (60 min) ?
T(60) = 20 + 65 × e^(−0,03 × 60) = 20 + 65 × e^(−1,8) = 20 + 65 × 0,165 = 20 + 10,7 ≈ 30,7 °C.
Le café est nettement froid après 1 h. À jeter ou à réchauffer.
Si la salle est à 5 °C (terrasse hivernale), comment évolue le modèle ? Recalculer le temps pour atteindre 60 °C.
Nouveau modèle : T(t) = 5 + 80 × e^(−0,03 t) (départ 85°C, asymptote 5°C, écart 80°C).
Pour T = 60 : 5 + 80 × e^(−0,03 t) = 60 → e^(−0,03 t) = 55/80 = 0,6875.
−0,03 t = ln(0,6875) ≈ −0,375 → t ≈ 12,5 min.
En terrasse froide, le café atteint 60°C plus vite (12,5 min) qu'en salle (16 min). Plus l'écart de température est grand, plus le refroidissement est rapide.
Application criminologique : la loi de Newton est utilisée pour estimer l'heure de la mort à partir de la température corporelle. Si on trouve un corps à 32 °C dans une pièce à 20 °C (corps initial 37 °C, k = 0,015 par minute), depuis combien de temps la personne est-elle décédée ?
Modèle : T(t) = 20 + 17 × e^(−0,015 t) (écart initial 17°C).
32 = 20 + 17 × e^(−0,015 t) → e^(−0,015 t) = 12/17 = 0,706.
−0,015 t = ln(0,706) ≈ −0,348 → t ≈ 23 min.
Hmm, 23 min seulement ? Le coefficient k réel est plus petit (~ 0,01-0,008/min) → temps réel ~ 35-45 min.
En criminologie, c'est la « règle de Henssge » qui ajuste la loi de Newton avec des facteurs : poids, vêtements, ventilation. Précision ~ ± 30 min sur les premières heures, beaucoup moins après.
Rédiger en 5 lignes une note pour le serveur d'un restaurant : timing recommandé pour servir un café chaud.
📋 Mémo serveur — Service du café (zone confort)
Conseil : servir au moment où le client a la cuillère à la main → laisser 5–10 min de refroidissement avant la première gorgée.
La loi de Newton du refroidissement décrit un grand nombre de phénomènes physiques. Citer 3 autres applications.
L'exponentielle décroissante est universelle dès qu'il y a une « relaxation vers un équilibre ». C'est l'un des modèles les plus utilisés en physique.