Ch08 – Calcul intégral – QCM

Question 1

Notation – Intégrale définie

La notation \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) représente :

la dérivée de \(f\) entre \(a\) et \(b\) l'aire algébrique sous la courbe de \(f\) entre \(x=a\) et \(x=b\) la valeur de \(f\) en \(x=a\) la somme \(f(a) + f(b)\)

Question 2

Primitives – Constante

Une primitive de \(f(x) = 5\) est :

\(F(x) = 0\) \(F(x) = 5x^2\) \(F(x) = 5x\) \(F(x) = \dfrac{5}{x}\)

Question 3

Primitives – Puissance

Une primitive de \(f(x) = x^2\) est :

\(F(x) = \dfrac{x^3}{3}\) \(F(x) = 2x\) \(F(x) = x^3\) \(F(x) = \dfrac{x^2}{2}\)

Question 4

Primitives – Fonction affine

Une primitive de \(f(x) = 2x + 3\) est :

\(F(x) = 2\) \(F(x) = 2x\) \(F(x) = x^2\) \(F(x) = x^2 + 3x\)

Question 5

Primitives – Exponentielle

Une primitive de \(f(x) = e^x\) est :

\(F(x) = x\,e^x\) \(F(x) = e^x\) \(F(x) = e^{x+1}\) \(F(x) = \dfrac{e^x}{x}\)

Question 6

Théorème fondamental – Calcul

Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x =\) :

\(F(a) + F(b)\) \(F(a) - F(b)\) \(F(b) - F(a)\) \(F(b) \times F(a)\)

Question 7

Calcul d'intégrale – Simple

Calculer \(\displaystyle\int_0^2 3\,\mathrm{d}x\) :

6 3 0 9

Question 8

Calcul d'intégrale – Monôme

Calculer \(\displaystyle\int_1^3 2x\,\mathrm{d}x\) :

4 6 3 8

Question 9

Interprétation géométrique

Si \(f(x) \geq 0\) sur \([a,b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) représente :

le périmètre de la surface sous la courbe l'aire de la surface comprise entre la courbe et l'axe des abscisses la longueur de l'arc de courbe le volume de révolution

Question 10

Bornes identiques

\(\displaystyle\int_3^3 f(x)\,\mathrm{d}x =\) :

\(f(3)\) 3 0 1

Question 11

Primitives – Vérification

Pour vérifier que \(F\) est une primitive de \(f\), on calcule :

\(F'(x)\) et on vérifie que \(F'(x) = f(x)\) \(F(0)\) et on vérifie que \(F(0) = f(0)\) \(F(1) - F(0)\) la dérivée de \(f\) et on compare à \(F\)

Question 12

Calcul d'intégrale – Puissance

Calculer \(\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x\) :

3 6 27 9

Question 13

Primitives – Constante + monôme

Une primitive de \(f(x) = 4\) est \(F(x) = 4x\). Alors \(F(2) - F(0) =\) :

4 8 0 2

Question 14

Inversion des bornes

\(\displaystyle\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x =\) :

\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) 0 \(-\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) \(2\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)

Question 15

Application – Énergie et puissance

En physique, si \(P(t)\) est une puissance (en kW) et \(t\) est en heures, l'énergie consommée entre \(t=0\) et \(t=T\) est :

\(E = \displaystyle\int_0^T P(t)\,\mathrm{d}t\) \(E = P(T) - P(0)\) \(E = P(T) \times T\) \(E = P'(T)\)

Question 1

Primitive – Polynôme

Une primitive de \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\) est :

\(F(x) = 6x - 4\) \(F(x) = x^3 - 4x^2 + x\) \(F(x) = x^3 - 2x^2 + x\) \(F(x) = 3x^3 - 4x^2 + x\)

Question 2

Calcul d'intégrale – Polynôme

Calculer \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,\mathrm{d}x\) :

4 6 8 2

Question 3

Calcul d'intégrale – Exponentielle

Calculer \(\displaystyle\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x\) :

\(e - 1\) \(e\) \(e + 1\) 1

Question 4

Primitive – Exponentielle composée

Une primitive de \(f(x) = e^{2x}\) est :

\(F(x) = 2e^{2x}\) \(F(x) = e^{2x+1}\) \(F(x) = e^{2x}\) \(F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x}\)

Question 5

Relation de Chasles

On sait que \(\displaystyle\int_1^5 f(x)\,\mathrm{d}x = 12\) et \(\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 5\). Alors \(\displaystyle\int_3^5 f(x)\,\mathrm{d}x =\) :

17 7 5 60

Question 6

Linéarité de l'intégrale

\(\displaystyle\int_0^2 (4x + 3)\,\mathrm{d}x =\) :

8 11 14 7

Question 7

Aire sous courbe – Positive

\(f(x) = x + 1 \geq 0\) sur \([0,\,3]\). L'aire sous la courbe vaut :

\(7{,}5\) u.a. \(4\) u.a. \(6\) u.a. \(9\) u.a.

Question 8

Valeur moyenne – Définition

La valeur moyenne d'une fonction \(f\) sur \([a,b]\) est :

\(\overline{f} = \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) \(\overline{f} = \dfrac{f(a) + f(b)}{2}\) \(\overline{f} = (b-a)\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) \(\overline{f} = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)

Question 9

Valeur moyenne – Calcul

La valeur moyenne de \(f(x) = x^2\) sur \([0,\,3]\) est :

9 3 1 27

Question 10

Application – Énergie thermique

Un installateur thermique modélise la puissance d'une chaudière par \(P(t) = 2t + 5\) (kW) sur \([0,\,4]\). L'énergie consommée (kWh) vaut :

13 28 36 9

Question 11

Calcul d'intégrale – Affine sur [1, 4]

Calculer \(\displaystyle\int_1^4 (2x - 3)\,\mathrm{d}x\) :

6 9 3 12

Question 12

Interprétation – Aire algébrique

Si \(f(x) \leq 0\) sur \([a,b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) est :

positif, car c'est une aire toujours nul la valeur absolue de l'aire négatif ou nul

Question 13

Calcul d'intégrale – Puissance sur [1, 2]

Calculer \(\displaystyle\int_1^2 x^3\,\mathrm{d}x\) :

4 \(\dfrac{15}{4}\) 8 \(\dfrac{1}{4}\)

Question 14

Application – Section d'un profilé bois

Un menuisier agenceur modélise la section d'un profilé par \(f(x) = x(4-x)\) sur \([0,\,4]\). La section (cm²) vaut :

8 16 \(\dfrac{32}{3} \approx 10{,}67\) 12

Question 15

Valeur moyenne – Température

La température d'un fluide suit \(T(t) = 2t + 20\) (°C) sur \([0,\,5]\). La température moyenne est :

25 °C 20 °C 30 °C 125 °C

Question 1

Linéarité – Décomposition

Calculer \(\displaystyle\int_0^2 (4x^2 + 3)\,\mathrm{d}x\) :

14 \(\dfrac{38}{3} \approx 12{,}67\) \(\dfrac{50}{3} \approx 16{,}67\) 10

Question 2

Aire entre deux courbes – Méthode

Pour calculer l'aire entre \(f(x)\) et \(g(x)\) avec \(f(x) \geq g(x)\) sur \([a,b]\), on calcule :

\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \times \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\) \(\displaystyle\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,\mathrm{d}x\) \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x - \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\) puis valeur absolue \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\)

Question 3

Aire entre deux courbes – Calcul

Aire entre \(f(x) = x\) et \(g(x) = x^2\) sur \([0,\,1]\) (où \(x \geq x^2\)) :

\(\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{1}{6}\)

Question 4

Chasles – Application avancée

On sait que \(\displaystyle\int_0^4 f(x)\,\mathrm{d}x = 10\) et \(\displaystyle\int_2^4 f(x)\,\mathrm{d}x = 3\). Alors \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x =\) :

7 13 30 10

Question 5

Énergie – Chaudière (modèle polynomial)

La puissance d'une chaudière suit \(P(t) = 3t^2 - 12t + 15\) (kW) sur \([0,\,4]\). L'énergie consommée vaut :

20 kWh 24 kWh 28 kWh 36 kWh

Question 6

Valeur moyenne – Polynôme

La valeur moyenne de \(f(x) = x^2 + 2\) sur \([0,\,3]\) est :

3 5 11 9

Question 7

Primitive – Exponentielle composée

Calculer \(\displaystyle\int_0^2 e^{3x}\,\mathrm{d}x\) :

\(\dfrac{e^6 - 1}{3}\) \(e^6 - 1\) \(3(e^6 - 1)\) \(\dfrac{e^6 - e^0}{6}\)

Question 8

Aire – Signe changeant

Pour calculer l'aire géométrique (toujours positive) quand \(f\) change de signe sur \([a,b]\), on :

calcule directement \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) prend la valeur absolue de \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) multiplie \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) par \(-1\) découpe selon les zéros de \(f\) et somme les valeurs absolues des intégrales

Question 9

Puissance moyenne – Interprétation

La puissance moyenne \(\overline{P}\) d'une chaudière sur \([0,\,4]\) vaut 7 kW et l'énergie consommée est :

7 kWh 1,75 kWh 28 kWh 4 kWh

Question 10

Chasles – Décomposition avancée

La relation de Chasles \(\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\) est vraie :

uniquement si \(a \leq c \leq b\) pour tout réel \(c\), même hors de \([a,b]\) uniquement si \(f(c) = 0\) uniquement si \(c = \dfrac{a+b}{2}\)

Question 11

Aire entre deux courbes – Profil bois

Un menuisier calcule l'aire entre \(f(x) = -0{,}5x^2 + 4x\) et \(g(x) = x\) sur \([0,\,6]\). Sachant que \(f(x) \geq g(x)\) sur cet intervalle, cette aire vaut :

18 cm² 36 cm² 24 cm² 12 cm²

Question 12

Intégrale et primitive – Lien formel

Si \(G(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t\), alors \(G'(x) =\) :

\(\displaystyle\int_0^x f'(t)\,\mathrm{d}t\) \(f(0)\) \(G(x) - G(0)\) \(f(x)\)

Question 13

Calcul d'intégrale – Combinaison

Calculer \(\displaystyle\int_1^3 \left(\dfrac{1}{x} + 2\right)\mathrm{d}x\) :

\(2 + \ln 3\) \(4 + \ln 2\) \(4 + \ln 3\) \(\ln 3\)

Question 14

Application BTS – Déplacement

La vitesse d'un engin de chantier suit \(v(t) = -t^2 + 6t\) (m/s) sur \([0,\,6]\). La distance parcourue (m) est :

54 36 18 72

Question 15

Type BTS – Valeur moyenne et énergie

La consommation instantanée d'un appareil suit \(P(t) = 4 - t\) (kW) sur \([0,\,4]\). La consommation moyenne sur cette période est :

2 kW 4 kW 8 kW 1 kW