Calcul intégral — Terminale Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Donner une primitive de chaque fonction :
a) \(f(x) = 3\) → \(F(x) = 3 \times ... = ...\)
b) \(f(x) = 2x\) → \(F(x) = ...\)
c) \(f(x) = x^2\) → \(F(x) = \dfrac{x^{...}}{...} = ...\)
a) \(F(x) = \mathbf{3x}\)
b) \(F(x) = \mathbf{x^2}\) (car \((x^2)' = 2x\) ✓)
c) \(F(x) = \mathbf{\dfrac{x^3}{3}}\) (car \(\left(\dfrac{x^3}{3}\right)' = x^2\) ✓)
Calculer \(\displaystyle\int_1^3 2x\,\mathrm{d}x\) en complétant :
a) Primitive de \(2x\) : \(F(x) = ...\)
b) \(\Big[...\Big]_1^3 = F(3) - F(1) = ... - ... = ...\)
a) \(F(x) = x^2\)
b) \(\Big[x^2\Big]_1^3 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = \mathbf{8}\)
On sait que \(\displaystyle\int_1^5 f(x)\,\mathrm{d}x = 12\) et \(\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 5\).
Calculer \(\displaystyle\int_3^5 f(x)\,\mathrm{d}x = \int_1^5 f - \int_1^3 f = ... - ... = ...\)
\(\displaystyle\int_3^5 f(x)\,\mathrm{d}x = 12 - 5 = \mathbf{7}\)
Calculer l'aire sous la courbe de \(f(x) = 3\) sur \([0\,;\,4]\) :
a) Primitive de \(f(x) = 3\) : \(F(x) = ...\)
b) \(\displaystyle\int_0^4 3\,\mathrm{d}x = \Big[...\Big]_0^4 = ... - ... = ...\) u.a.
a) \(F(x) = 3x\)
b) \(\Big[3x\Big]_0^4 = 3 \times 4 - 3 \times 0 = 12 - 0 = \mathbf{12}\) u.a.
(C'est l'aire d'un rectangle de base 4 et de hauteur 3.)
La valeur de \(\displaystyle\int_0^6 f(x)\,\mathrm{d}x = 24\). Calculer la valeur moyenne de \(f\) sur \([0\,;\,6]\) :
\(\overline{f} = \dfrac{1}{6 - 0} \times 24 = \dfrac{...}{...} = ...\)
\(\overline{f} = \dfrac{1}{6} \times 24 = \dfrac{24}{6} = \mathbf{4}\)
Barème : 20 points
Donner une primitive de chaque fonction :
a) \(f(x) = 5\) → \(F(x) = 5 \times ... = ...\)
b) \(f(x) = 4x\) → \(F(x) = ...\)
c) \(f(x) = x^3\) → \(F(x) = \dfrac{x^{...}}{...} = ...\)
a) \(F(x) = \mathbf{5x}\)
b) \(F(x) = \mathbf{2x^2}\) (car \((2x^2)' = 4x\) ✓)
c) \(F(x) = \mathbf{\dfrac{x^4}{4}}\) (car \(\left(\dfrac{x^4}{4}\right)' = x^3\) ✓)
Calculer \(\displaystyle\int_2^4 3x\,\mathrm{d}x\) en complétant :
a) Primitive de \(3x\) : \(F(x) = ...\)
b) \(\Big[...\Big]_2^4 = F(4) - F(2) = ... - ... = ...\)
a) \(F(x) = \dfrac{3x^2}{2}\)
b) \(\Big[\dfrac{3x^2}{2}\Big]_2^4 = \dfrac{3 \times 16}{2} - \dfrac{3 \times 4}{2} = 24 - 6 = \mathbf{18}\)
On sait que \(\displaystyle\int_0^8 f(x)\,\mathrm{d}x = 20\) et \(\displaystyle\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 9\).
Calculer \(\displaystyle\int_3^8 f(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^8 f - \int_0^3 f = ... - ... = ...\)
\(\displaystyle\int_3^8 f(x)\,\mathrm{d}x = 20 - 9 = \mathbf{11}\)
Calculer l'aire sous la courbe de \(f(x) = 5\) sur \([0\,;\,6]\) :
a) Primitive de \(f(x) = 5\) : \(F(x) = ...\)
b) \(\displaystyle\int_0^6 5\,\mathrm{d}x = \Big[...\Big]_0^6 = ... - ... = ...\) u.a.
a) \(F(x) = 5x\)
b) \(\Big[5x\Big]_0^6 = 5 \times 6 - 5 \times 0 = 30 - 0 = \mathbf{30}\) u.a.
(C'est l'aire d'un rectangle de base 6 et de hauteur 5.)
La valeur de \(\displaystyle\int_0^8 f(x)\,\mathrm{d}x = 40\). Calculer la valeur moyenne de \(f\) sur \([0\,;\,8]\) :
\(\overline{f} = \dfrac{1}{8 - 0} \times 40 = \dfrac{...}{...} = ...\)
\(\overline{f} = \dfrac{1}{8} \times 40 = \dfrac{40}{8} = \mathbf{5}\)
Barème : 20 points
Donner une primitive de chaque fonction :
a) \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\)
b) \(f(x) = e^x\)
a) \(F(x) = \mathbf{x^3 - x^2 + x}\) (car \(F'(x) = 3x^2 - 2x + 1\) ✓)
b) \(F(x) = \mathbf{e^x}\) (car \((e^x)' = e^x\) ✓)
Calculer \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,\mathrm{d}x\).
Primitive : \(F(x) = x^3 - x^2 + x\)
\(\Big[x^3 - x^2 + x\Big]_0^2 = (8 - 4 + 2) - (0 - 0 + 0) = \mathbf{6}\)
Un technicien chauffagiste modélise la puissance d'une chaudière par \(P(t) = 3t^2 - 12t + 15\) (kW) sur \([0\,;\,4]\) (heures).
Calculer l'énergie totale consommée \(E = \displaystyle\int_0^4 P(t)\,\mathrm{d}t\).
Primitive : \(F(t) = t^3 - 6t^2 + 15t\)
\(E = \Big[t^3 - 6t^2 + 15t\Big]_0^4 = (64 - 96 + 60) - 0 = \mathbf{28}\) kWh
Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = x^2\) sur \([0\,;\,3]\).
\(\overline{f} = \dfrac{1}{3-0}\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{3}\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^3 = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{27}{3} = \dfrac{1}{3} \times 9 = \mathbf{3}\)
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x\). Donner la valeur exacte puis la valeur approchée au millième.
\(\Big[e^x\Big]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1\)
Valeur exacte : \(\mathbf{e - 1}\). Valeur approchée : \(\approx \mathbf{1{,}718}\).
Barème : 20 points
Donner une primitive de chaque fonction :
a) \(f(x) = 4x^2 + 2x - 3\)
b) \(f(x) = e^x\)
a) \(F(x) = \mathbf{\dfrac{4x^3}{3} + x^2 - 3x}\) (car \(F'(x) = 4x^2 + 2x - 3\) ✓)
b) \(F(x) = \mathbf{e^x}\) (car \((e^x)' = e^x\) ✓)
Calculer \(\displaystyle\int_1^3 (2x^2 - x + 2)\,\mathrm{d}x\).
Primitive : \(F(x) = \dfrac{2x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} + 2x\)
\(\Big[\dfrac{2x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} + 2x\Big]_1^3 = \left(18 - \dfrac{9}{2} + 6\right) - \left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} + 2\right)\)
\(= \dfrac{39}{2} - \dfrac{13}{6} = \dfrac{117 - 13}{6} = \dfrac{104}{6} = \mathbf{\dfrac{52}{3} \approx 17{,}33}\)
Un installateur thermique modélise la puissance d'une pompe à chaleur par \(P(t) = 2t^2 - 8t + 10\) (kW) sur \([0\,;\,3]\) (heures).
Calculer l'énergie totale consommée \(E = \displaystyle\int_0^3 P(t)\,\mathrm{d}t\).
Primitive : \(F(t) = \dfrac{2t^3}{3} - 4t^2 + 10t\)
\(E = \Big[\dfrac{2t^3}{3} - 4t^2 + 10t\Big]_0^3 = \left(18 - 36 + 30\right) - 0 = \mathbf{12}\) kWh
Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = x^2\) sur \([0\,;\,6]\).
\(\overline{f} = \dfrac{1}{6-0}\displaystyle\int_0^6 x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{6}\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^6 = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{216}{3} = \dfrac{1}{6} \times 72 = \mathbf{12}\)
Calculer \(\displaystyle\int_0^2 e^x\,\mathrm{d}x\). Donner la valeur exacte puis la valeur approchée au millième.
\(\Big[e^x\Big]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1\)
Valeur exacte : \(\mathbf{e^2 - 1}\). Valeur approchée : \(\approx \mathbf{6{,}389}\).
Barème : 20 points
Calculer \(\displaystyle\int_0^2 (4x^2 + 3e^x)\,\mathrm{d}x\). Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième.
Par linéarité : \(4\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x + 3\int_0^2 e^x\,\mathrm{d}x\)
\(= 4\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 + 3\Big[e^x\Big]_0^2 = 4 \times \dfrac{8}{3} + 3(e^2 - 1) = \dfrac{32}{3} + 3e^2 - 3\)
Valeur exacte : \(\mathbf{\dfrac{32}{3} + 3e^2 - 3}\). Valeur approchée : \(\approx 10{,}67 + 22{,}17 - 3 \approx \mathbf{29{,}83}\).
Un menuisier agenceur réalise un profilé de bois dont la section est modélisée par \(f(x) = -0{,}5x^2 + 4x\) sur \([0\,;\,6]\) (cm).
a) Vérifier que \(f(x) \geq 0\) sur \([0\,;\,6]\).
b) Calculer la section transversale \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^6 f(x)\,\mathrm{d}x\).
c) En déduire le volume de bois pour 1 mètre linéaire.
a) \(f(x) = x(-0{,}5x + 4)\). Zéros : \(x = 0\) et \(x = 8\). Sur \([0\,;\,6] \subset [0\,;\,8]\), on a \(f(x) \geq 0\). ✓
b) Primitive : \(F(x) = -\dfrac{x^3}{6} + 2x^2\)
\(\Big[-\dfrac{x^3}{6} + 2x^2\Big]_0^6 = \left(-\dfrac{216}{6} + 72\right) - 0 = -36 + 72 = \mathbf{36}\) cm\(^2\)
c) Volume pour 1 m : \(V = 36 \times 100 = 3\,600\) cm\(^3\) \(= \mathbf{3{,}6}\) L.
La puissance d'un climatiseur (kW) varie selon :
\(P(t) = \begin{cases} t & \text{si } 0 \leq t \leq 2 \\ 2 & \text{si } 2 < t \leq 5 \end{cases}\)
Calculer l'énergie consommée sur \([0\,;\,5]\) en utilisant la relation de Chasles.
\(E = \displaystyle\int_0^2 t\,\mathrm{d}t + \int_2^5 2\,\mathrm{d}t\)
\(= \Big[\dfrac{t^2}{2}\Big]_0^2 + \Big[2t\Big]_2^5 = (2 - 0) + (10 - 4) = 2 + 6 = \mathbf{8}\) kWh
Calculer l'aire comprise entre les courbes de \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x\) sur \([0\,;\,1]\).
Sur \([0\,;\,1]\), \(x \geq x^2\) donc \(g(x) \geq f(x)\).
\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,\mathrm{d}x = \Big[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\Big]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \mathbf{\dfrac{1}{6}} \approx 0{,}167\) u.a.
La température d'un logement est modélisée par \(T(t) = -0{,}5t^2 + 3t + 18\) (°C) sur \([0\,;\,6]\) (heures). Calculer la température moyenne sur cette période.
\(\overline{T} = \dfrac{1}{6}\displaystyle\int_0^6 (-0{,}5t^2 + 3t + 18)\,\mathrm{d}t\)
Primitive : \(F(t) = -\dfrac{t^3}{6} + \dfrac{3t^2}{2} + 18t\)
\(F(6) = -\dfrac{216}{6} + \dfrac{108}{2} + 108 = -36 + 54 + 108 = 126\)
\(\overline{T} = \dfrac{126}{6} = \mathbf{21}\) °C
Barème : 20 points
Calculer \(\displaystyle\int_0^3 (2x^2 + 5e^x)\,\mathrm{d}x\). Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième.
Par linéarité : \(2\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x + 5\int_0^3 e^x\,\mathrm{d}x\)
\(= 2\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^3 + 5\Big[e^x\Big]_0^3 = 2 \times 9 + 5(e^3 - 1) = 18 + 5e^3 - 5\)
Valeur exacte : \(\mathbf{13 + 5e^3}\). Valeur approchée : \(\approx 13 + 100{,}43 \approx \mathbf{113{,}43}\).
Un installateur thermique réalise un joint isolant dont la section est modélisée par \(f(x) = -x^2 + 6x\) sur \([0\,;\,4]\) (cm).
a) Vérifier que \(f(x) \geq 0\) sur \([0\,;\,4]\).
b) Calculer la section transversale \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^4 f(x)\,\mathrm{d}x\).
c) En déduire le volume d'isolant pour 2 mètres linéaires.
a) \(f(x) = x(-x + 6)\). Zéros : \(x = 0\) et \(x = 6\). Sur \([0\,;\,4] \subset [0\,;\,6]\), on a \(f(x) \geq 0\). ✓
b) Primitive : \(F(x) = -\dfrac{x^3}{3} + 3x^2\)
\(\Big[-\dfrac{x^3}{3} + 3x^2\Big]_0^4 = \left(-\dfrac{64}{3} + 48\right) - 0 = -\dfrac{64}{3} + 48 = \dfrac{-64 + 144}{3} = \mathbf{\dfrac{80}{3} \approx 26{,}67}\) cm\(^2\)
c) Volume pour 2 m : \(V = \dfrac{80}{3} \times 200 = \dfrac{16\,000}{3} \approx 5\,333\) cm\(^3\) \(\approx \mathbf{5{,}33}\) L.
La puissance d'un radiateur électrique (kW) varie selon :
\(P(t) = \begin{cases} 2t & \text{si } 0 \leq t \leq 1 \\ 2 & \text{si } 1 < t \leq 4 \end{cases}\)
Calculer l'énergie consommée sur \([0\,;\,4]\) en utilisant la relation de Chasles.
\(E = \displaystyle\int_0^1 2t\,\mathrm{d}t + \int_1^4 2\,\mathrm{d}t\)
\(= \Big[t^2\Big]_0^1 + \Big[2t\Big]_1^4 = (1 - 0) + (8 - 2) = 1 + 6 = \mathbf{7}\) kWh
Calculer l'aire comprise entre les courbes de \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x\) sur \([0\,;\,2]\).
Sur \([0\,;\,2]\), \(2x \geq x^2\) donc \(g(x) \geq f(x)\).
\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\,\mathrm{d}x = \Big[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{12 - 8}{3} = \mathbf{\dfrac{4}{3}} \approx 1{,}333\) u.a.
La température d'un atelier est modélisée par \(T(t) = -t^2 + 4t + 16\) (°C) sur \([0\,;\,4]\) (heures). Calculer la température moyenne sur cette période.
\(\overline{T} = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_0^4 (-t^2 + 4t + 16)\,\mathrm{d}t\)
Primitive : \(F(t) = -\dfrac{t^3}{3} + 2t^2 + 16t\)
\(F(4) = -\dfrac{64}{3} + 32 + 64 = -\dfrac{64}{3} + 96 = \dfrac{-64 + 288}{3} = \dfrac{224}{3}\)
\(\overline{T} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{224}{3} = \dfrac{224}{12} = \dfrac{56}{3} \approx \mathbf{18{,}7}\) °C