Calcul intégral | Terminale Bac Pro | Mathématiques
Si \(f(x) = x^n\) (avec \(n \neq -1\)), une primitive est \(F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\).
Autres cas : si \(f(x)=e^x\) alors \(F(x)=e^x\) ; si \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) alors \(F(x)=\ln|x|\) ; si \(f(x)=\cos x\) alors \(F(x)=\sin x\).
L'intégrale définie : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a)\).
Donner une primitive \(F\) de chacune des fonctions suivantes :
On utilise la règle : si \(f(x) = x^n\) alors \(F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) (pour \(n \neq -1\)).
Calculer une primitive de chaque fonction :
Déterminer une primitive de chaque fonction en utilisant la linéarité :
Trouver la primitive \(F\) vérifiant la condition initiale donnée :
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a\,;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a)\).
Relation de Chasles : \(\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\) pour tout \(c \in [a\,;b]\).
Calculer les intégrales suivantes :
On utilise \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)\).
Calculer :
Calculer \(\displaystyle\int_1^3 (2x^2 - 3x + 1)\,\mathrm{d}x\) et vérifier le résultat.
Une primitive de \(2x^2 - 3x + 1\) est \(F(x) = \dfrac{2x^3}{3} - \dfrac{3x^2}{2} + x\).
\(F(3) = \dfrac{2 \times 27}{3} - \dfrac{3 \times 9}{2} + 3 = 18 - 13{,}5 + 3 = 7{,}5\)
\(F(1) = \dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{4}{6} - \dfrac{9}{6} + \dfrac{6}{6} = \dfrac{1}{6}\)
\(\displaystyle\int_1^3 (2x^2 - 3x + 1)\,\mathrm{d}x = 7{,}5 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{45}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{44}{6} = \dfrac{22}{3} \approx 7{,}33\)
Vérifier la relation de Chasles : si \(c\) est un point intermédiaire dans \([a, b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\).
Calculer séparément \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x\) et \(\displaystyle\int_1^3 x^2\,\mathrm{d}x\), puis leur somme. Vérifier avec \(\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x\).
\(\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}\)
\(\displaystyle\int_1^3 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^3 = \dfrac{27}{3} - \dfrac{1}{3} = 9 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{26}{3}\)
Somme : \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{26}{3} = \dfrac{27}{3} = 9\)
Vérification : \(\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{27}{3} - 0 = 9\) ✓
Si \(f(x) \geq 0\) sur \([a\,;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) représente l'aire de la surface comprise entre la courbe et l'axe des x.
Si \(f(x) \leq 0\), l'intégrale est négative : l'aire géométrique vaut \(\left|\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\right|\).
La courbe de la fonction \(f(x) = x + 1\) est tracée sur \([0\,;\,3]\).
Soit \(f(x) = x^2 - 4\) définie sur \([-2\,;\,4]\).
On donne le graphique d'une fonction \(f\) positive sur \([0\,;\,4]\). Les valeurs lues sont :
En utilisant la méthode des trapèzes avec 4 intervalles, estimer \(\displaystyle\int_0^4 f(x)\,\mathrm{d}x\).
Méthode des trapèzes : \(\displaystyle\int_0^4 f \approx \dfrac{h}{2}\left[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)\right]\) avec \(h = 1\).
\(\approx \dfrac{1}{2}(0 + 2\times3 + 2\times4 + 2\times3 + 0) = \dfrac{1}{2}(0 + 6 + 8 + 6 + 0) = \dfrac{20}{2} = 10\) u.a.
Expliquer pourquoi \(\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin(x)\,\mathrm{d}x = 0\) sans calculer, puis vérifier par le calcul.
Explication géométrique : sur \([0\,;\,\pi]\), \(\sin(x) \geq 0\) (aire positive) ; sur \([\pi\,;\,2\pi]\), \(\sin(x) \leq 0\) (aire négative). Par symétrie, ces deux aires sont opposées en valeur ; leur somme algébrique est nulle.
Vérification : \([-\cos(x)]_0^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos(0) = -1 + 1 = 0\) ✓
Si \(g(x) \geq f(x)\) sur \([a\,;b]\), l'aire entre les courbes vaut :
\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,\mathrm{d}x\).
Méthode : 1° trouver les points d'intersection (\(g=f\)) pour déterminer \(a\) et \(b\) ; 2° vérifier laquelle est au-dessus ; 3° calculer l'intégrale de la différence.
Calculer l'aire de la surface délimitée par les courbes de \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x\) sur \([0\,;\,1]\).
Trouver les points d'intersection de \(f(x) = x^2 - 1\) et \(g(x) = 2x + 2\), puis calculer l'aire comprise entre les deux courbes.
Points d'intersection : \(x^2 - 1 = 2x + 2 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0\), donc \(x = -1\) et \(x = 3\).
Sur \([-1\,;\,3]\) : \(g(x) - f(x) = 2x + 2 - x^2 + 1 = -x^2 + 2x + 3\).
On vérifie que \(-x^2 + 2x + 3 \geq 0\) sur \([-1\,;\,3]\) (les racines sont −1 et 3, et le coefficient de \(x^2\) est négatif).
\(\displaystyle\int_{-1}^3 (-x^2 + 2x + 3)\,\mathrm{d}x = \left[-\dfrac{x^3}{3} + x^2 + 3x\right]_{-1}^3\)
\(= \left(-9 + 9 + 9\right) - \left(\dfrac{1}{3} + 1 - 3\right) = 9 - \left(\dfrac{1}{3} - 2\right) = 9 + 2 - \dfrac{1}{3} = 11 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{32}{3} \approx 10{,}67\) u.a.
Calculer l'aire de la surface délimitée par \(f(x) = \cos(x)\) et l'axe des x sur \([0\,;\,\pi]\).
Un installateur thermique modélise le profil de deux surfaces de vitrage. La première est décrite par \(f(x) = \sqrt{x}\) et la seconde par \(g(x) = x^2\) sur \([0\,;\,1]\) (en mètres).
Calculer l'aire de la surface comprise entre les deux profils.
Sur \([0\,;\,1]\) : \(f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}\) et \(g(x) = x^2\). On vérifie que \(\sqrt{x} \geq x^2\) sur \([0\,;\,1]\) (en \(x=0{,}5\) : \(0{,}707 > 0{,}25\)). ✓
\(\displaystyle\int_0^1 (\sqrt{x} - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^{3/2}}{3/2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \left[\dfrac{2}{3}x^{3/2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1\)
\(= \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\) m²
En physique et en technique, l'intégrale d'un débit ou d'une puissance donne une quantité totale :
énergie = \(\displaystyle\int P(t)\,\mathrm{d}t\) ; distance = \(\displaystyle\int v(t)\,\mathrm{d}t\) ; volume = \(\displaystyle\int D(t)\,\mathrm{d}t\).
L'unité du résultat est le produit de l'unité de \(f\) par l'unité de \(t\).
La puissance instantanée (en kW) fournie par un panneau solaire est modélisée sur la journée par :
\(P(t) = 4\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)\) pour \(t \in [0\,;\,12]\) (heures depuis le lever du soleil).
La vitesse (en m/s) d'un véhicule lors d'un freinage est modélisée par \(v(t) = 20 - 5t\) pour \(t \in [0\,;\,4]\) (en secondes).
La consommation de gaz d'une chaudière (en m³/h) est donnée par \(C(t) = 0{,}5 + 0{,}3e^{-0{,}2t}\) pour \(t \in [0\,;\,8]\) (heures).
Calculer la consommation totale de gaz sur ces 8 heures.
\(\displaystyle\int_0^8 C(t)\,\mathrm{d}t = \int_0^8 (0{,}5 + 0{,}3e^{-0{,}2t})\,\mathrm{d}t\)
Primitive de \(0{,}3e^{-0{,}2t}\) : on a \(\dfrac{0{,}3}{-0{,}2}e^{-0{,}2t} = -1{,}5\,e^{-0{,}2t}\).
\(= [0{,}5t - 1{,}5e^{-0{,}2t}]_0^8 = (4 - 1{,}5e^{-1{,}6}) - (0 - 1{,}5e^0)\)
\(= 4 - 1{,}5 \times 0{,}2019 + 1{,}5 = 5{,}5 - 0{,}303 \approx 5{,}20\) m³
La chaudière consomme environ 5,2 m³ de gaz sur 8 heures.
La valeur moyenne d'une fonction \(f\) sur \([a\,;\,b]\) est définie par \(\overline{f} = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\).
La température (en °C) dans un entrepôt de bois est modélisée par \(T(t) = 15 + 5\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)\) pour \(t \in [0\,;\,24]\) (heures).
Calculer la température moyenne sur une journée entière.
\(\overline{T} = \dfrac{1}{24}\displaystyle\int_0^{24}\left(15 + 5\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)\right)\mathrm{d}t\)
Primitive : \(15t + 5 \times \dfrac{12}{\pi}\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) = 15t + \dfrac{60}{\pi}\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)\)
\(\displaystyle\int_0^{24} = \left[15t + \dfrac{60}{\pi}\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)\right]_0^{24} = (360 + \dfrac{60}{\pi}\sin(2\pi)) - (0 + 0) = 360\) (car \(\sin(2\pi) = 0\))
\(\overline{T} = \dfrac{360}{24} = 15°C\)
La température moyenne dans l'entrepôt est de 15°C, ce qui correspond à la composante constante du modèle.
Primitive de \(f+g\) = primitive de \(f\) + primitive de \(g\). Primitive de \(kf\) = \(k \times\) primitive de \(f\).
\(\int_a^b [\alpha f + \beta g] = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g\).
Primitives de : a) \(3x^2+2x-5\) b) \(4\cos x - 2\sin x\) c) \(5e^x + 3/x\)
Calculer \(\int_0^2(3x^2-4x+1)dx\).