Chapitre 8 – Calcul intégral | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Avant Newton et Leibniz (XVIIᵉ siècle), on calculait des aires en additionnant des polygones inscrits dans la courbe (méthode d'Archimède, IIIᵉ siècle av. J.-C.). Très laborieux : pour calculer l'aire sous une parabole, Archimède a écrit des dizaines de pages de démonstration.
En 1665-1670, indépendamment, Isaac Newton (Angleterre, 1642-1727) et Gottfried Leibniz (Allemagne, 1646-1716) découvrent le « théorème fondamental de l'analyse » :
L'intégration est l'opération inverse de la dérivation.
Si F est une primitive de f, alors :
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)
D'un coup, on n'a plus besoin de découper la courbe en polygones : il suffit de connaître une primitive.
Newton et Leibniz ont chacun découvert le calcul intégral indépendamment, à quelques années d'intervalle. Une querelle célèbre s'est déclenchée pour savoir qui était le premier. La Royal Society britannique a même formé un comité (en 1712) pour trancher en faveur de Newton — mais le comité était dirigé par... Newton lui-même !
Aujourd'hui, on attribue le mérite aux deux. C'est la notation de Leibniz (∫, dx) qui s'est imposée pour sa simplicité, et non celle de Newton (notation par fluxions, points sur les variables).
| Méthode | Approche | Difficulté |
|---|---|---|
| Archimède (250 av. J.-C.) | Découpage en triangles infinis, démonstration géométrique | Plusieurs pages, cas spécifique |
| Newton/Leibniz (1670) | Primitive F(x) = x³/3 → ∫₀^1 x² dx = F(1) − F(0) = 1/3 | 3 lignes, méthode universelle |
📚 Cette activité approfondit les notions du cours §2 (théorème fondamental) avec une dimension historique et culturelle.
Définir avec tes mots ce qu'est une « primitive » d'une fonction.
Une primitive F d'une fonction f est une fonction dont la dérivée donne f : F'(x) = f(x).
Exemples :
Une fonction a une infinité de primitives qui diffèrent par une constante : F(x) + C est aussi primitive (la dérivée de C est 0).
Calculer ∫₁^3 x dx en utilisant le théorème fondamental.
Primitive de x : F(x) = x²/2.
∫₁^3 x dx = F(3) − F(1) = 9/2 − 1/2 = 8/2 = 4.
Vérification géométrique : aire sous y = x entre x = 1 et x = 3 = aire d'un trapèze (bases 1 et 3, hauteur 2) = (1 + 3)/2 × 2 = 4. ✓
Calculer ∫₀^2 (3x² + 2) dx.
Primitive de 3x² : x³. Primitive de 2 : 2x.
F(x) = x³ + 2x.
∫₀^2 (3x² + 2) dx = F(2) − F(0) = (8 + 4) − (0 + 0) = 12.
Calculer ∫₀^π sin(x) dx (aire sous une demi-onde sinusoïdale).
Primitive de sin(x) : F(x) = −cos(x).
∫₀^π sin(x) dx = −cos(π) − (−cos(0)) = −(−1) − (−1) = 1 + 1 = 2.
L'aire sous une demi-onde sinusoïdale d'amplitude 1 vaut exactement 2. Joli résultat exact, sans calcul approché.
Pourquoi le théorème de Newton-Leibniz est-il si puissant comparé à la méthode d'Archimède ?
Méthode d'Archimède : pour chaque courbe, démonstration géométrique spécifique, pages de calculs, demande des intuitions astucieuses.
Méthode de Newton-Leibniz :
C'est la différence entre artisanat (Archimède, génial mais long) et industrie (Newton, méthodique et reproductible).
Pourquoi cette découverte est-elle considérée comme l'une des plus grandes de l'histoire des mathématiques ?
Le calcul intégral (et différentiel) permet de :
Sans le calcul intégral, pas d'ingénierie moderne. C'est l'outil le plus puissant des maths appliquées.
Citer 3 applications concrètes du calcul intégral dans la vie professionnelle.
Aucun ingénieur ne peut travailler sans intégration. Métiers où on l'utilise tous les jours : ingénieur calcul, mécanicien des fluides, automaticien, électronicien, climatologue, bio-statisticien.
Rédiger en 5 lignes une présentation pour un panneau d'exposition « Newton, Leibniz et la révolution du calcul intégral ».
NEWTON & LEIBNIZ — La révolution du calcul intégral (XVIIᵉ siècle)
En 1670, Isaac Newton et Gottfried Leibniz découvrent indépendamment l'un des plus grands résultats des mathématiques :
« L'intégration est l'opération inverse de la dérivation »
D'un coup, le calcul d'aires (jusque-là réservé aux génies comme Archimède) devient accessible à n'importe quel étudiant. Cela ouvre la voie à la physique moderne (lois de Newton, mécanique céleste, électromagnétisme), à l'ingénierie (chaudronnerie, aéronautique), et aujourd'hui à l'IA et la simulation numérique.
Notation utilisée : ∫ (Leibniz). Une querelle de paternité a duré 50 ans, mais l'humanité y a gagné un outil universel.
L'intégrale ∫₀^∞ e^(−x²) dx (fonction de Gauss, célèbre en statistique) vaut √π / 2. Ce calcul est impossible sans techniques avancées. Pourquoi est-il si important ?
La fonction f(x) = e^(−x²) ne possède pas de primitive « élémentaire » exprimable avec les fonctions usuelles (sin, cos, exp, log...). C'est un cas où Newton-Leibniz ne s'applique pas directement.
Mais on sait calculer son intégrale par d'autres méthodes (passage en 2D, coordonnées polaires) : ∫₀^∞ e^(−x²) dx = √π / 2.
Importance :
Belle leçon : même quand le théorème fondamental ne s'applique pas, les mathématiques savent calculer (par méthodes plus avancées : analyse complexe, séries, transformées).