Chapitre 8 – Calcul intégral | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Un atelier de souffleurs de verre produit des coupes à champagne en forme de cône. Hauteur intérieure h = 12 cm, rayon supérieur R = 4 cm. On veut calculer le volume exact pour proposer une « coupe pleine = 20 cL » sur le carton de vente.
On place le cône avec sa pointe à l'origine, axe Y vertical. Le rayon r à la hauteur y est :
r(y) = (R/h) × y = y/3 (car R/h = 4/12 = 1/3)
Volume par intégration : V = ∫₀^h π × r(y)² dy
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §4 (volume d'un solide de révolution) et §5 (intégration de polynômes).
Pourquoi peut-on calculer le volume d'un cône en sommant des disques infinitésimaux ?
Le cône est un solide de révolution : il s'obtient en faisant tourner une droite (génératrice du cône) autour de l'axe Y.
À chaque hauteur y, la coupe horizontale du cône est un disque de rayon r(y).
Aire d'un disque : π × r(y)².
Volume infinitésimal d'une « tranche » : π × r(y)² × dy (cylindre infiniment fin).
Volume total = somme de toutes ces tranches = intégrale ∫₀^h π × r(y)² dy.
Calculer V = ∫₀^12 π × (y/3)² dy.
V = ∫₀^12 π × (y² / 9) dy = (π/9) × ∫₀^12 y² dy.
Primitive de y² est y³/3. Donc ∫₀^12 y² dy = [y³/3]₀^12 = 12³/3 − 0 = 1 728/3 = 576.
V = (π/9) × 576 = 64 × π ≈ 201 cm³.
Conversion : 201 cm³ = 20,1 cL.
Une coupe de champagne pleine = environ 200 mL (= la moitié d'un verre standard).
Vérifier avec la formule classique du cône : V = (1/3) × π × R² × h.
V = (1/3) × π × 4² × 12 = (1/3) × π × 16 × 12 = 64 × π ≈ 201 cm³. ✓
L'intégration donne le même résultat que la formule classique. C'est rassurant !
Intérêt du calcul intégral : permet de calculer le volume de n'importe quelle forme de révolution, pas seulement les cônes ou cylindres. Application : verres complexes, bouteilles, vases.
En réalité, une coupe est rarement remplie à ras bord. Calculer le volume si on remplit jusqu'à 8 cm de hauteur.
V = ∫₀^8 π × (y/3)² dy = (π/9) × ∫₀^8 y² dy = (π/9) × [y³/3]₀^8 = (π/9) × 512/3 = 512π/27.
V ≈ 59,6 cm³ ≈ 6 cL.
Comparaison : la coupe ne contient que 6 cL au lieu de 20 cL → 30 % de la capacité totale.
Pour une bouteille de champagne (75 cL), combien de coupes pleines (20 cL) peut-on servir ? Et de coupes « 6 cL » ?
Bouteille = 75 cL.
Pour un service classique en réception : 6 cL × 12 personnes = bouteille épuisée. Donc 1 bouteille pour 10-12 invités.
Pour un mariage avec 100 invités : prévoir au moins 10 bouteilles (avec marge : 12-15 bouteilles).
Calculer le volume d'une flûte de champagne (forme cylindrique élancée) : hauteur h = 20 cm, rayon r = 2,5 cm. Comparer à la coupe.
Volume du cylindre : V = π × r² × h = π × 2,5² × 20 = π × 6,25 × 20 = 125 × π ≈ 393 cm³ = 39 cL.
Comparaison : flûte 39 cL vs coupe 20 cL → flûte 2× plus grande.
C'est pourquoi on sert une flûte à moitié (≈ 19 cL) et une coupe complète (≈ 20 cL) → quantité comparable, mais expérience visuelle différente.
Le client (restaurateur) demande au fabricant : « 1 bouteille = combien de mes coupes pleines ? » Pourquoi est-ce une donnée commerciale critique ?
1 bouteille (75 cL) / 1 coupe (20 cL) = 3,75 coupes/bouteille.
Donnée critique pour :
En restauration de luxe, ce calcul peut représenter des marges significatives.
Rédiger en 5 lignes une fiche commerciale pour le carton de vente des coupes (volume affiché).
Coupe à champagne « Tradition » — Caractéristiques
Verre soufflé bouche, lavable lave-vaisselle. Fabriqué en France.
Une carafe en forme d'olive (ellipsoïde tronqué) modélisée par r(y) = 5 × √(1 − (y − 10)² / 100) entre y = 0 et y = 20. Calculer son volume par intégration.
V = ∫₀^20 π × r(y)² dy = ∫₀^20 π × 25 × (1 − (y−10)² / 100) dy.
= 25π × [y − (y−10)³ / 300]₀^20
= 25π × [(20 − 1000/300) − (0 − (−1000)/300)]
= 25π × [(20 − 3,33) − (0 + 3,33)]
= 25π × 13,33 ≈ 1 047 cm³ = 1,05 L.
Volume comparable à une bouteille de vin standard (75 cL). Carafe adaptée à servir une bouteille en aérant le vin.
Sans calcul intégral, ce volume serait très difficile à obtenir (forme complexe, pas de formule directe).