Chapitre 8 – Calcul intégral | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Imène, géomètre, doit mesurer l'aire d'une parcelle agricole bordée d'un côté par une rivière sinueuse. La parcelle est délimitée :
Imène mesure la « profondeur » de la parcelle (distance de la route au bord de la rivière) tous les 5 m, sur 30 m de long :
| Distance x (m) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Profondeur y (m) | 20 | 22 | 25 | 21 | 18 | 15 | 10 |
Pour estimer l'aire de la parcelle, on découpe en trapèzes successifs :
Aire ≈ Σ (y_i + y_(i+1)) / 2 × Δx
Plus Δx est petit, plus l'approximation est précise (convergence vers l'intégrale exacte).
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (intégrale comme aire) et §3 (méthode des trapèzes).
Pourquoi la formule classique « base × hauteur » ne s'applique-t-elle pas ici ?
La parcelle n'est pas un rectangle car la rivière est sinueuse. La hauteur y varie tout le long.
Il faut donc intégrer la fonction y(x) sur l'intervalle [0 ; 30] m :
A = ∫₀³⁰ y(x) dx
Mais on ne connaît y(x) qu'en 7 points discrets (relevés terrain). On va donc approximer l'intégrale.
Donner la formule de l'aire d'un trapèze de bases b₁, b₂ et hauteur h.
Aire d'un trapèze = (b₁ + b₂) / 2 × h.
Dans notre cas : b₁ et b₂ sont les profondeurs y_i et y_(i+1), et h est l'écart Δx = 5 m.
D'où l'aire d'un trapèze = (y_i + y_(i+1)) / 2 × Δx.
Calculer l'aire de la parcelle par la méthode des trapèzes (6 trapèzes).
Δx = 5 m. 6 trapèzes :
Aire totale ≈ 105 + 117,5 + 115 + 97,5 + 82,5 + 62,5 = 580 m².
Imène veut une précision meilleure. Comment faire ?
Réduire le pas Δx :
Plus Δx est petit, plus la ligne brisée des « tops de trapèzes » se rapproche de la vraie courbe sinueuse.
La méthode des trapèzes converge vers la vraie intégrale quand Δx → 0.
Pour cette parcelle, un pas de 1 m donne une précision de l'ordre de 1 %, suffisante pour le cadastre.
Estimer l'erreur de la méthode actuelle (Δx = 5 m) sachant que pour une fonction lisse, l'erreur est de l'ordre de 1 % par unité de Δx (ordre de grandeur).
Avec Δx = 5 m sur une parcelle de 30 m : erreur estimée ~ 5 % sur l'aire.
Aire réelle probablement entre 580 ± 30 m² → fourchette [550 ; 610 m²].
Pour une transaction immobilière, c'est une marge importante (+/- 5 %).
Pour le cadastre français, on demande une précision < 0,5 %. Imène devra refaire les mesures plus fines avec Δx = 0,5 ou 1 m.
Si la rivière était modélisée par y(x) = 25 − 0,5 x (droite décroissante), calculer l'aire exacte par formule. Comparer à la méthode des trapèzes.
Aire d'un trapèze (formule directe) : (y(0) + y(30)) / 2 × 30 = (25 + 10) / 2 × 30 = 17,5 × 30 = 525 m².
(Calcul exact = intégrale de fonction affine = formule trapèze appliquée à la totalité.)
Méthode des trapèzes (Δx = 5) sur cette même fonction donnerait exactement 525 m² (la méthode est exacte pour les fonctions linéaires).
L'erreur n'apparaît que pour des fonctions courbes (cas réel de la rivière sinueuse).
Une autre méthode est la « méthode de Simpson » qui utilise des paraboles au lieu de trapèzes. Pourquoi est-elle plus précise ?
La méthode des trapèzes utilise des segments de droite entre les points relevés.
La méthode de Simpson utilise des arcs de parabole (3 points → 1 parabole).
Avantage : les paraboles épousent mieux les courbes lisses → erreur d'ordre supérieur (Δx⁴ au lieu de Δx² pour les trapèzes).
Pour la même précision, Simpson nécessite 5 à 10 fois moins de points relevés. Très utilisée en analyse numérique professionnelle (logiciels topo, CAO).
Mais Simpson est plus complexe à appliquer manuellement → on apprend la méthode des trapèzes en lycée car plus simple.
Rédiger en 5 lignes une note pour le client (propriétaire) sur l'aire mesurée et la précision.
Note d'expertise — Mesure de la parcelle bordée par la rivière
Méthode appliquée : relevés tous les 5 m, méthode des trapèzes. 6 sections successives mesurées.
Aire estimée : 580 m² (incertitude ~ ± 5 %, soit fourchette 550-610 m²).
Pour un usage cadastral, une précision < 1 % est requise → relevés fins tous les 1 m. Coût supplémentaire : 200 € pour ce niveau de précision.
L'aire totale du terrain (avec autres mesures) sera fournie au plus tard sous 5 jours après les nouvelles mesures.
Pour la fonction y(x) = √(625 − x²) (1/4 de cercle de rayon 25), calculer l'aire par méthode des trapèzes (Δx = 5) sur [0 ; 25]. Comparer à l'aire exacte du quart de disque.
Aire exacte du quart de disque : π × 25² / 4 = 490,87 m².
Méthode des trapèzes :
Total : ≈ 474,5 m².
Écart avec valeur exacte : 490,87 − 474,5 = 16 m² (3,3 %) en sous-estimation.
La méthode des trapèzes sous-estime les courbes concaves (l'arc passe au-dessus de la corde).