Trigonométrie — Terminale Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Compléter les valeurs remarquables :
a) \(\sin 30° = ...\)
b) \(\cos 60° = ...\)
c) \(\tan 45° = ...\)
a) \(\sin 30° = \mathbf{\dfrac{1}{2}} = 0{,}5\)
b) \(\cos 60° = \mathbf{\dfrac{1}{2}} = 0{,}5\)
c) \(\tan 45° = \mathbf{1}\)
Convertir en radians :
a) \(90° = 90 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{...}{...} = ...\)
b) \(60° = 60 \times \dfrac{\pi}{180} = ...\)
Convertir en degrés :
c) \(\dfrac{\pi}{4}\) rad \(= \dfrac{\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = ...\) °
a) \(90° = 90 \times \dfrac{\pi}{180} = \mathbf{\dfrac{\pi}{2}}\) rad
b) \(60° = 60 \times \dfrac{\pi}{180} = \mathbf{\dfrac{\pi}{3}}\) rad
c) \(\dfrac{\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = \mathbf{45}\)°
Un chevron de toit forme un angle de 35° avec l'horizontale. La projection horizontale est \(L = 4{,}80\) m.
a) Calculer la longueur du chevron \(r\) : \(\cos 35° = \dfrac{L}{r}\), donc \(r = \dfrac{4{,}80}{\cos 35°} = \dfrac{4{,}80}{...} = ...\) m
b) Calculer la hauteur du faîtage \(h\) : \(h = L \times \tan 35° = 4{,}80 \times ... = ...\) m
a) \(r = \dfrac{4{,}80}{\cos 35°} = \dfrac{4{,}80}{0{,}819} \approx \mathbf{5{,}86}\) m
b) \(h = 4{,}80 \times \tan 35° = 4{,}80 \times 0{,}700 \approx \mathbf{3{,}36}\) m
On sait que \(\cos\alpha = 0{,}6\).
a) Calculer \(\cos^2\alpha = ...\)
b) En déduire \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - ... = ...\)
c) En déduire \(\sin\alpha = ...\) (on suppose \(\alpha\) dans le premier quadrant)
a) \(\cos^2\alpha = 0{,}6^2 = \mathbf{0{,}36}\)
b) \(\sin^2\alpha = 1 - 0{,}36 = \mathbf{0{,}64}\)
c) \(\sin\alpha = \sqrt{0{,}64} = \mathbf{0{,}8}\)
Sur le cercle trigonométrique, pour un angle de 0° :
a) Quelles sont les coordonnées du point M ? \(M = (\cos 0°\,;\,\sin 0°) = (...\,;\,...)\)
b) Pour un angle de 90°, les coordonnées sont : \(M = (\cos 90°\,;\,\sin 90°) = (...\,;\,...)\)
a) \(M = (\cos 0°\,;\,\sin 0°) = \mathbf{(1\,;\,0)}\)
b) \(M = (\cos 90°\,;\,\sin 90°) = \mathbf{(0\,;\,1)}\)
Barème : 20 points
Compléter les valeurs remarquables :
a) \(\cos 30° = ...\)
b) \(\sin 60° = ...\)
c) \(\tan 45° = ...\)
a) \(\cos 30° = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \approx 0{,}866\)
b) \(\sin 60° = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \approx 0{,}866\)
c) \(\tan 45° = \mathbf{1}\)
Convertir en radians :
a) \(180° = 180 \times \dfrac{\pi}{180} = ...\)
b) \(45° = 45 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{...}{...} = ...\)
Convertir en degrés :
c) \(\dfrac{\pi}{6}\) rad \(= \dfrac{\pi}{6} \times \dfrac{180}{\pi} = ...\) °
a) \(180° = 180 \times \dfrac{\pi}{180} = \mathbf{\pi}\) rad
b) \(45° = 45 \times \dfrac{\pi}{180} = \mathbf{\dfrac{\pi}{4}}\) rad
c) \(\dfrac{\pi}{6} \times \dfrac{180}{\pi} = \mathbf{30}\)°
Une rampe d'accès forme un angle de 40° avec l'horizontale. La projection horizontale est \(L = 3{,}60\) m.
a) Calculer la longueur de la rampe \(r\) : \(\cos 40° = \dfrac{L}{r}\), donc \(r = \dfrac{3{,}60}{\cos 40°} = \dfrac{3{,}60}{...} = ...\) m
b) Calculer la hauteur \(h\) : \(h = L \times \tan 40° = 3{,}60 \times ... = ...\) m
a) \(r = \dfrac{3{,}60}{\cos 40°} = \dfrac{3{,}60}{0{,}766} \approx \mathbf{4{,}70}\) m
b) \(h = 3{,}60 \times \tan 40° = 3{,}60 \times 0{,}839 \approx \mathbf{3{,}02}\) m
On sait que \(\sin\alpha = 0{,}8\).
a) Calculer \(\sin^2\alpha = ...\)
b) En déduire \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - ... = ...\)
c) En déduire \(\cos\alpha = ...\) (on suppose \(\alpha\) dans le premier quadrant)
a) \(\sin^2\alpha = 0{,}8^2 = \mathbf{0{,}64}\)
b) \(\cos^2\alpha = 1 - 0{,}64 = \mathbf{0{,}36}\)
c) \(\cos\alpha = \sqrt{0{,}36} = \mathbf{0{,}6}\)
Sur le cercle trigonométrique :
a) Pour un angle de 180°, quelles sont les coordonnées du point M ? \(M = (\cos 180°\,;\,\sin 180°) = (...\,;\,...)\)
b) Pour un angle de 270°, les coordonnées sont : \(M = (\cos 270°\,;\,\sin 270°) = (...\,;\,...)\)
a) \(M = (\cos 180°\,;\,\sin 180°) = \mathbf{(-1\,;\,0)}\)
b) \(M = (\cos 270°\,;\,\sin 270°) = \mathbf{(0\,;\,-1)}\)
Barème : 20 points
Donner les valeurs exactes (sans calculatrice) de :
a) \(\sin 45°\)
b) \(\cos 30°\)
c) \(\sin^2 60° + \cos^2 60°\)
a) \(\sin 45° = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \approx 0{,}707\)
b) \(\cos 30° = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \approx 0{,}866\)
c) \(\sin^2 60° + \cos^2 60° = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = \mathbf{1}\) (relation fondamentale)
Un installateur thermique pose une gaine reliant un point A au sol à un point B au plafond. La distance horizontale est \(d_h = 3{,}40\) m et la dénivelée est \(d_v = 2{,}20\) m.
a) Calculer l'angle d'inclinaison \(\theta\) de la gaine.
b) Calculer la longueur \(L\) de la gaine.
a) \(\tan\theta = \dfrac{2{,}20}{3{,}40} \approx 0{,}647\), donc \(\theta = \arctan(0{,}647) \approx \mathbf{32{,}9°}\)
b) \(L = \sqrt{3{,}40^2 + 2{,}20^2} = \sqrt{11{,}56 + 4{,}84} = \sqrt{16{,}40} \approx \mathbf{4{,}05}\) m
Résoudre l'équation \(\sin(x) = 0{,}5\) sur \([0\,;\,2\pi]\).
Solution principale : \(x_0 = \arcsin(0{,}5) = \dfrac{\pi}{6}\) (soit 30°)
Deuxième solution : \(x_1 = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\) (soit 150°)
Solutions sur \([0\,;\,2\pi]\) : \(\mathbf{x = \dfrac{\pi}{6}}\) et \(\mathbf{x = \dfrac{5\pi}{6}}\)
Une ferme de toit forme un triangle avec : \(AB = 6{,}20\) m, \(\hat{A} = 52°\), \(\hat{B} = 73°\).
a) Calculer l'angle \(\hat{C}\).
b) En utilisant la loi des sinus, calculer \(BC\).
a) \(\hat{C} = 180° - 52° - 73° = \mathbf{55°}\)
b) Loi des sinus : \(\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AB}{\sin C}\)
\(BC = 6{,}20 \times \dfrac{\sin 52°}{\sin 55°} = 6{,}20 \times \dfrac{0{,}788}{0{,}819} \approx \mathbf{5{,}96}\) m
Un panneau solaire de largeur \(L = 1{,}65\) m est incliné à 42° par rapport à l'horizontale.
Calculer l'emprise horizontale \(d_h\) et la hauteur verticale \(d_v\) du panneau.
\(d_h = L\cos 42° = 1{,}65 \times 0{,}743 \approx \mathbf{1{,}23}\) m
\(d_v = L\sin 42° = 1{,}65 \times 0{,}669 \approx \mathbf{1{,}10}\) m
Barème : 20 points
Donner les valeurs exactes (sans calculatrice) de :
a) \(\cos 45°\)
b) \(\sin 30°\)
c) \(\cos^2 30° + \sin^2 30°\)
a) \(\cos 45° = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \approx 0{,}707\)
b) \(\sin 30° = \mathbf{\dfrac{1}{2}} = 0{,}5\)
c) \(\cos^2 30° + \sin^2 30° = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = \mathbf{1}\) (relation fondamentale)
Un menuisier agenceur installe une étagère inclinée reliant un point A au mur à un point B au plafond. La distance horizontale est \(d_h = 2{,}80\) m et la dénivelée est \(d_v = 1{,}50\) m.
a) Calculer l'angle d'inclinaison \(\theta\) de l'étagère.
b) Calculer la longueur \(L\) de l'étagère.
a) \(\tan\theta = \dfrac{1{,}50}{2{,}80} \approx 0{,}536\), donc \(\theta = \arctan(0{,}536) \approx \mathbf{28{,}2°}\)
b) \(L = \sqrt{2{,}80^2 + 1{,}50^2} = \sqrt{7{,}84 + 2{,}25} = \sqrt{10{,}09} \approx \mathbf{3{,}18}\) m
Résoudre l'équation \(\cos(x) = 0{,}5\) sur \([0\,;\,2\pi]\).
Solution principale : \(x_0 = \arccos(0{,}5) = \dfrac{\pi}{3}\) (soit 60°)
Deuxième solution : \(x_1 = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}\) (soit 300°)
Solutions sur \([0\,;\,2\pi]\) : \(\mathbf{x = \dfrac{\pi}{3}}\) et \(\mathbf{x = \dfrac{5\pi}{3}}\)
Un triangle de charpente a : \(AB = 5{,}40\) m, \(\hat{A} = 48°\), \(\hat{B} = 65°\).
a) Calculer l'angle \(\hat{C}\).
b) En utilisant la loi des sinus, calculer \(BC\).
a) \(\hat{C} = 180° - 48° - 65° = \mathbf{67°}\)
b) Loi des sinus : \(\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AB}{\sin C}\)
\(BC = 5{,}40 \times \dfrac{\sin 48°}{\sin 67°} = 5{,}40 \times \dfrac{0{,}743}{0{,}921} \approx \mathbf{4{,}36}\) m
Un capteur solaire de largeur \(L = 1{,}80\) m est incliné à 38° par rapport à l'horizontale.
Calculer l'emprise horizontale \(d_h\) et la hauteur verticale \(d_v\) du capteur.
\(d_h = L\cos 38° = 1{,}80 \times 0{,}788 \approx \mathbf{1{,}42}\) m
\(d_v = L\sin 38° = 1{,}80 \times 0{,}616 \approx \mathbf{1{,}11}\) m
Barème : 20 points
Calculer la valeur exacte de \(\sin(75°)\) en utilisant la formule d'addition \(\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\) avec \(a = 45°\) et \(b = 30°\).
\(\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30°\)
\(= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \mathbf{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} \approx 0{,}966\)
Deux tronçons de gaine partent d'un nœud O dans un local technique : \(OA = 3{,}20\) m, \(OB = 4{,}50\) m, et l'angle entre eux vaut 110°.
a) En utilisant la loi des cosinus, calculer la longueur de la gaine directe \(AB\).
b) Calculer l'angle \(\hat{A}\) du triangle \(OAB\) à l'aide de la loi des sinus.
a) \(AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \times OA \times OB \times \cos(110°)\)
\(= 3{,}20^2 + 4{,}50^2 - 2 \times 3{,}20 \times 4{,}50 \times (-0{,}342)\)
\(= 10{,}24 + 20{,}25 + 9{,}85 = 40{,}34\)
\(AB = \sqrt{40{,}34} \approx \mathbf{6{,}35}\) m
b) Loi des sinus : \(\dfrac{\sin\hat{A}}{OB} = \dfrac{\sin 110°}{AB}\)
\(\sin\hat{A} = \dfrac{4{,}50 \times \sin 110°}{6{,}35} = \dfrac{4{,}50 \times 0{,}940}{6{,}35} \approx 0{,}666\)
\(\hat{A} = \arcsin(0{,}666) \approx \mathbf{41{,}7°}\)
Résoudre l'équation \(\cos(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) sur \([0\,;\,2\pi]\).
On sait que \(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Le cosinus vaut \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) aux angles supplémentaires : \(\pi - \dfrac{\pi}{4}\) et \(\pi + \dfrac{\pi}{4}\).
Solutions : \(\mathbf{x = \dfrac{3\pi}{4}}\) (135°) et \(\mathbf{x = \dfrac{5\pi}{4}}\) (225°)
Un menuisier agenceur doit réaliser un chevron avec une pente de 28°. La projection horizontale mesure 5,40 m.
a) Calculer la longueur du chevron.
b) Calculer la hauteur du faîtage.
c) Si le menuisier dispose d'un chevron de 7 m de long, quel angle maximal de pente peut-il obtenir pour la même projection horizontale ?
a) \(L = \dfrac{5{,}40}{\cos 28°} = \dfrac{5{,}40}{0{,}883} \approx \mathbf{6{,}12}\) m
b) \(h = 5{,}40 \times \tan 28° = 5{,}40 \times 0{,}532 \approx \mathbf{2{,}87}\) m
c) \(\cos\alpha = \dfrac{5{,}40}{7} \approx 0{,}771\), donc \(\alpha = \arccos(0{,}771) \approx \mathbf{39{,}6°}\)
Montrer que \(\cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a)\) en partant de la formule \(\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a\) et de la relation fondamentale.
On part de \(\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a\).
La relation fondamentale donne : \(\cos^2 a = 1 - \sin^2 a\).
En remplaçant : \(\cos(2a) = (1 - \sin^2 a) - \sin^2 a = \mathbf{1 - 2\sin^2 a}\). ✓
Barème : 20 points
Calculer la valeur exacte de \(\cos(75°)\) en utilisant la formule d'addition \(\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\) avec \(a = 45°\) et \(b = 30°\).
\(\cos 75° = \cos(45° + 30°) = \cos 45°\cos 30° - \sin 45°\sin 30°\)
\(= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \mathbf{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}} \approx 0{,}259\)
Deux tubes de chauffage partent d'un nœud O dans un local technique : \(OA = 4{,}10\) m, \(OB = 3{,}60\) m, et l'angle entre eux vaut 120°.
a) En utilisant la loi des cosinus, calculer la longueur de la liaison directe \(AB\).
b) Calculer l'angle \(\hat{A}\) du triangle \(OAB\) à l'aide de la loi des sinus.
a) \(AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \times OA \times OB \times \cos(120°)\)
\(= 4{,}10^2 + 3{,}60^2 - 2 \times 4{,}10 \times 3{,}60 \times (-0{,}5)\)
\(= 16{,}81 + 12{,}96 + 14{,}76 = 44{,}53\)
\(AB = \sqrt{44{,}53} \approx \mathbf{6{,}67}\) m
b) Loi des sinus : \(\dfrac{\sin\hat{A}}{OB} = \dfrac{\sin 120°}{AB}\)
\(\sin\hat{A} = \dfrac{3{,}60 \times \sin 120°}{6{,}67} = \dfrac{3{,}60 \times 0{,}866}{6{,}67} \approx 0{,}467\)
\(\hat{A} = \arcsin(0{,}467) \approx \mathbf{27{,}8°}\)
Résoudre l'équation \(\sin(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) sur \([0\,;\,2\pi]\).
On sait que \(\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Le sinus vaut \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) dans les 3e et 4e quadrants : \(\pi + \dfrac{\pi}{4}\) et \(2\pi - \dfrac{\pi}{4}\).
Solutions : \(\mathbf{x = \dfrac{5\pi}{4}}\) (225°) et \(\mathbf{x = \dfrac{7\pi}{4}}\) (315°)
Un installateur thermique doit poser un conduit avec une pente de 32°. La projection horizontale mesure 4,80 m.
a) Calculer la longueur du conduit.
b) Calculer la hauteur du point haut.
c) Si l'installateur dispose d'un conduit de 6,50 m de long, quel angle maximal de pente peut-il obtenir pour la même projection horizontale ?
a) \(L = \dfrac{4{,}80}{\cos 32°} = \dfrac{4{,}80}{0{,}848} \approx \mathbf{5{,}66}\) m
b) \(h = 4{,}80 \times \tan 32° = 4{,}80 \times 0{,}625 \approx \mathbf{3{,}00}\) m
c) \(\cos\alpha = \dfrac{4{,}80}{6{,}50} \approx 0{,}738\), donc \(\alpha = \arccos(0{,}738) \approx \mathbf{42{,}4°}\)
Montrer que \(\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1\) en partant de la formule \(\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a\) et de la relation fondamentale.
On part de \(\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a\).
La relation fondamentale donne : \(\sin^2 a = 1 - \cos^2 a\).
En remplaçant : \(\cos(2a) = \cos^2 a - (1 - \cos^2 a) = \cos^2 a - 1 + \cos^2 a = \mathbf{2\cos^2 a - 1}\). ✓