← Retour au sommaire

Chapitre 7 – Exercices par capacités

Trigonométrie  |  Terminale Bac Pro  |  Mathématiques

Note : La trigonométrie et les vecteurs de Fresnel relèvent du groupement A. Les filières ICCER, ERA et TMA sont en groupement B (vecteurs dans l'espace → voir ch06). Les capacités C6 et C7 sont proposées en complément pour la poursuite d'études.
Capacités et connaissances du programme :

C1 — Calculer sin, cos, tan dans un triangle rectangle

Rappel de cours — Triangle rectangle

Dans un triangle rectangle en C, pour l'angle \(\hat{A}\) :
\(\sin(\hat{A}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\) ; \(\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) ; \(\tan(\hat{A}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\)
Relation fondamentale : \(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\) pour tout angle \(\theta\).
Sur le cercle de rayon 1, le point M associé à l'angle \(\theta\) a pour coordonnées \(M(\cos\theta\,;\,\sin\theta)\).

x y O M(cos θ, sin θ) cos θ sin θ θ 0 (1,0) π/6 (30°) π/4 (45°) π/3 (60°) π/2 (0,1) π (−1,0)

Exercice 1

Dans un triangle rectangle en C, on a AC = 6 cm et BC = 8 cm.

  1. Calculer AB (hypoténuse).
  2. Calculer \(\sin(\hat{A})\), \(\cos(\hat{A})\) et \(\tan(\hat{A})\).
  3. En déduire la mesure de l'angle \(\hat{A}\) en degrés (arrondir au degré).
  1. Par Pythagore : \(AB^2 = AC^2 + BC^2 = 36 + 64 = 100\), donc \(AB = 10\) cm.
  2. Le côté opposé à \(\hat{A}\) est BC = 8 cm ; l'hypoténuse est AB = 10 cm ; le côté adjacent est AC = 6 cm.
    \(\sin(\hat{A}) = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8\)
    \(\cos(\hat{A}) = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\)
    \(\tan(\hat{A}) = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{8}{6} \approx 1{,}333\)
  3. \(\hat{A} = \arcsin(0{,}8) \approx 53°\) (ou \(\arctan(1{,}333) \approx 53°\)).

Exercice 2

Dans un triangle rectangle en B, on connaît l'angle \(\hat{A} = 38°\) et l'hypoténuse AC = 12 cm.

  1. Calculer le côté BC (opposé à \(\hat{A}\)).
  2. Calculer le côté AB (adjacent à \(\hat{A}\)).
  3. Vérifier par Pythagore.
  1. \(\sin(38°) = \dfrac{BC}{AC}\) donc \(BC = 12 \times \sin(38°) \approx 12 \times 0{,}6157 \approx 7{,}39\) cm.
  2. \(\cos(38°) = \dfrac{AB}{AC}\) donc \(AB = 12 \times \cos(38°) \approx 12 \times 0{,}7880 \approx 9{,}46\) cm.
  3. \(BC^2 + AB^2 \approx 54{,}60 + 89{,}49 \approx 144 = AC^2\). ✓

Exercice 3

Un technicien installe un câble qui relie deux points A et B. La distance horizontale entre A et B est de 9 m, et B est 4 m plus haut que A.

  1. Schématiser la situation sous la forme d'un triangle rectangle.
  2. Calculer \(\tan(\alpha)\) où \(\alpha\) est l'angle d'inclinaison du câble par rapport à l'horizontale.
  3. En déduire la valeur de \(\alpha\) en degrés.
  1. Triangle rectangle : côté horizontal = 9 m, côté vertical = 4 m, angle \(\alpha\) à la base.
  2. \(\tan(\alpha) = \dfrac{4}{9} \approx 0{,}444\)
  3. \(\alpha = \arctan(0{,}444) \approx 24°\)

Exercice 4

Dans un triangle rectangle en C, \(\sin(\hat{B}) = 0{,}65\).

  1. Calculer \(\cos(\hat{B})\) à l'aide de la relation fondamentale \(\cos^2 + \sin^2 = 1\).
  2. Calculer \(\tan(\hat{B})\).
  3. Calculer la mesure de \(\hat{B}\) en degrés, puis la mesure de \(\hat{A}\).
  1. \(\cos^2(\hat{B}) = 1 - \sin^2(\hat{B}) = 1 - 0{,}4225 = 0{,}5775\), donc \(\cos(\hat{B}) \approx 0{,}760\).
  2. \(\tan(\hat{B}) = \dfrac{\sin(\hat{B})}{\cos(\hat{B})} = \dfrac{0{,}65}{0{,}760} \approx 0{,}855\)
  3. \(\hat{B} = \arcsin(0{,}65) \approx 41°\). Dans un triangle rectangle, \(\hat{A} + \hat{B} = 90°\), donc \(\hat{A} \approx 49°\).

C2 — Valeurs remarquables

Rappel de cours

Valeurs à connaître sans calculatrice :

Angle\(\sin\)\(\cos\)\(\tan\)
0° (0)010
30° (π/6)\(\tfrac{1}{2}\)\(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\)
45° (π/4)\(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)1
60° (π/3)\(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\tfrac{1}{2}\)\(\sqrt{3}\)
90° (π/2)10indéfini

Exercice 5

Compléter le tableau des valeurs remarquables sans calculatrice :

Angle\(\sin\)\(\cos\)\(\tan\)
0°???
30°???
45°???
60°???
90°???
Angle\(\sin\)\(\cos\)\(\tan\)
0°010
30°\(\dfrac{1}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\)
45°\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)1
60°\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\sqrt{3} \approx 1{,}732\)
90°10indéfini

Exercice 6

Sans calculatrice, calculer les expressions suivantes en utilisant les valeurs remarquables :

  1. \(2\sin(30°) + \cos(60°)\)
  2. \(\sin^2(45°) + \cos^2(45°)\)
  3. \(\tan(45°) \times \cos(60°)\)
  4. \(\dfrac{\sin(60°)}{\cos(30°)}\)
  1. \(2 \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\)
  2. \(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\) (relation fondamentale vérifiée)
  3. \(1 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\)
  4. \(\dfrac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}/2} = 1\)

Exercice 7

Un charpentier pose un chevron formant un angle de 30° avec l'horizontale. La longueur du chevron est 4 m.

  1. Quelle est la hauteur verticale gagnée (sans calculatrice) ?
  2. Quelle est la projection horizontale du chevron ?
  1. Hauteur = \(4 \times \sin(30°) = 4 \times \dfrac{1}{2} = 2\) m.
  2. Projection horizontale = \(4 \times \cos(30°) = 4 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\) m.

Exercice 8

Laquelle de ces affirmations est vraie ? Justifier sans calculatrice.

  1. \(\sin(60°) = 2\sin(30°)\)
  2. \(\cos(60°) = \cos^2(30°) - \sin^2(30°)\)
  3. \(\tan(90°) = 1\)
  1. \(2\sin(30°) = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1\) mais \(\sin(60°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\). Faux.
  2. \(\cos^2(30°) - \sin^2(30°) = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} = \cos(60°)\). Vrai (formule de duplication).
  3. \(\tan(90°)\) est indéfini (division par \(\cos(90°) = 0\)). Faux.

C3 — Convertir des angles entre degrés et radians

Rappel de cours

Règle de conversion : \(180° = \pi\) rad.
Degrés → radians : multiplier par \(\dfrac{\pi}{180}\).   Radians → degrés : multiplier par \(\dfrac{180}{\pi}\).
Exemples : \(90° = \dfrac{\pi}{2}\) ; \(60° = \dfrac{\pi}{3}\) ; \(45° = \dfrac{\pi}{4}\) ; \(30° = \dfrac{\pi}{6}\).

Exercice 9

Convertir les angles suivants en radians (laisser les réponses sous forme fractionnaire en multiple de \(\pi\)) :

  1. 180°
  2. 90°
  3. 45°
  4. 60°
  5. 30°

Rappel : \(180° = \pi\) rad, donc \(1° = \dfrac{\pi}{180}\) rad.

  1. \(180° = \pi\) rad
  2. \(90° = \dfrac{\pi}{2}\) rad
  3. \(45° = \dfrac{\pi}{4}\) rad
  4. \(60° = \dfrac{\pi}{3}\) rad
  5. \(30° = \dfrac{\pi}{6}\) rad

Exercice 10

Convertir les angles suivants en degrés :

  1. \(\dfrac{3\pi}{4}\) rad
  2. \(\dfrac{5\pi}{6}\) rad
  3. \(\dfrac{2\pi}{3}\) rad
  4. 2 rad (arrondir au degré)

Rappel : \(1\) rad \(= \dfrac{180°}{\pi} \approx 57{,}3°\).

  1. \(\dfrac{3\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = \dfrac{3 \times 180}{4} = 135°\)
  2. \(\dfrac{5\pi}{6} \times \dfrac{180}{\pi} = \dfrac{5 \times 180}{6} = 150°\)
  3. \(\dfrac{2\pi}{3} \times \dfrac{180}{\pi} = \dfrac{2 \times 180}{3} = 120°\)
  4. \(2 \times \dfrac{180}{\pi} \approx 2 \times 57{,}3 \approx 115°\)

Exercice 11

Un installateur thermique règle l'orientation d'un panneau solaire. L'angle d'inclinaison optimal est de \(\dfrac{\pi}{5}\) rad.

  1. Convertir cet angle en degrés.
  2. Un second panneau est incliné à 40°. Convertir cet angle en radians (fraction de \(\pi\)).
  3. Lequel des deux panneaux est le plus incliné ?
  1. \(\dfrac{\pi}{5} \times \dfrac{180}{\pi} = \dfrac{180}{5} = 36°\)
  2. \(40° \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{40\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{9}\) rad
  3. 36° < 40°, donc le second panneau (40°) est plus incliné.

Exercice 12

Placer sur un cercle trigonométrique les angles suivants, exprimés en radians, et indiquer leur valeur en degrés :

\(0\) ; \(\dfrac{\pi}{6}\) ; \(\dfrac{\pi}{4}\) ; \(\dfrac{\pi}{3}\) ; \(\dfrac{\pi}{2}\) ; \(\pi\) ; \(\dfrac{3\pi}{2}\) ; \(2\pi\)

RadiansDegrésPosition sur le cercle
\(0\)0°Point (1, 0) — axe des x positifs
\(\dfrac{\pi}{6}\)30°Premier quadrant
\(\dfrac{\pi}{4}\)45°Premier quadrant
\(\dfrac{\pi}{3}\)60°Premier quadrant
\(\dfrac{\pi}{2}\)90°Point (0, 1) — sommet
\(\pi\)180°Point (−1, 0) — gauche
\(\dfrac{3\pi}{2}\)270°Point (0, −1) — bas
\(2\pi\)360°Retour au point (1, 0)

C4 — Cercle trigonométrique et propriétés de symétrie

Rappel de cours — Cercle trigonométrique

Sur le cercle de rayon 1 centré en O, le point M associé à l'angle \(\theta\) a pour coordonnées \(M(\cos\theta\,;\,\sin\theta)\).
Propriétés de symétrie : \(\sin(-\theta)=-\sin\theta\) (sin est impaire) ; \(\cos(-\theta)=\cos\theta\) (cos est paire) ; \(\sin(\pi-\theta)=\sin\theta\) ; \(\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\).

x y O M(cos θ, sin θ) cos θ sin θ θ 0 (1,0) π/6 π/4 π/3 π/2 (0,1) π (−1,0) 3π/2 (0,−1)

Exercice 13

Le point M du cercle trigonométrique a pour coordonnées \((\cos\theta ; \sin\theta)\). Utiliser les propriétés de symétrie pour compléter :

  1. \(\sin(-\theta) = \) ?
  2. \(\cos(-\theta) = \) ?
  3. \(\sin(\pi - \theta) = \) ?
  4. \(\cos(\pi - \theta) = \) ?
  5. \(\sin(\pi + \theta) = \) ?
  1. \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\) — symétrie par rapport à l'axe des x (sin est impaire).
  2. \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\) — symétrie par rapport à l'axe des x (cos est paire).
  3. \(\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)\) — symétrie par rapport à l'axe des y.
  4. \(\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta)\) — symétrie par rapport à l'axe des y.
  5. \(\sin(\pi + \theta) = -\sin(\theta)\) — symétrie par rapport à l'origine.

Exercice 14

Utiliser les propriétés du cercle trigonométrique pour calculer sans calculatrice :

  1. \(\sin(-30°)\)
  2. \(\cos(-60°)\)
  3. \(\sin(150°)\)
  4. \(\cos(120°)\)
  5. \(\sin(210°)\)
  1. \(\sin(-30°) = -\sin(30°) = -\dfrac{1}{2}\)
  2. \(\cos(-60°) = \cos(60°) = \dfrac{1}{2}\)
  3. \(\sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = \dfrac{1}{2}\)
  4. \(\cos(120°) = \cos(180° - 60°) = -\cos(60°) = -\dfrac{1}{2}\)
  5. \(\sin(210°) = \sin(180° + 30°) = -\sin(30°) = -\dfrac{1}{2}\)

Exercice 15

Donner les coordonnées du point M du cercle trigonométrique correspondant aux angles suivants, en utilisant les valeurs remarquables :

  1. 135°
  2. 240°
  3. 300°
  4. \(-\dfrac{\pi}{4}\)
  1. 135° = 180° − 45°, donc \(M = (\cos(135°)\,;\,\sin(135°)) = \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
  2. 240° = 180° + 60°, donc \(M = (-\cos(60°)\,;\,-\sin(60°)) = \left(-\dfrac{1}{2}\,;\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
  3. 300° = 360° − 60°, donc \(M = (\cos(-60°)\,;\,\sin(-60°)) = \left(\dfrac{1}{2}\,;\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
  4. \(-\dfrac{\pi}{4}\) = −45°, donc \(M = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

Exercice 16

Soit un angle \(\theta\) tel que \(\cos\theta = 0{,}6\) et \(\theta \in [0° ; 90°]\).

  1. Calculer \(\sin\theta\) (relation \(\cos^2 + \sin^2 = 1\)).
  2. Donner la valeur de \(\sin(-\theta)\), \(\cos(-\theta)\), \(\cos(\pi - \theta)\).
  1. \(\sin^2\theta = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\). Comme \(\theta \in [0°; 90°]\), \(\sin\theta \geq 0\), donc \(\sin\theta = 0{,}8\).
  2. \(\sin(-\theta) = -0{,}8\) ; \(\cos(-\theta) = 0{,}6\) ; \(\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta = -0{,}6\).

C5 — Résoudre des problèmes professionnels

Rappel de cours

Dans un triangle rectangle (hypoténuse \(h\), angle \(\alpha\)) :
côté opposé \(= h \times \sin\alpha\)  ;   côté adjacent \(= h \times \cos\alpha\)  ;   \(\tan\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\).
Pour trouver un angle : \(\alpha = \arcsin(\ldots)\), \(\arccos(\ldots)\) ou \(\arctan(\ldots)\) à la calculatrice.

Exercice 17

Un menuisier agenceur installe une cloison inclinée dans un comble. La cloison forme un angle de 62° avec le sol. La largeur au sol disponible est de 2,40 m.

  1. Calculer la hauteur de la cloison.
  2. Calculer la longueur réelle de la cloison (hypoténuse).
  1. Dans le triangle rectangle : \(\tan(62°) = \dfrac{h}{2{,}40}\), donc \(h = 2{,}40 \times \tan(62°) \approx 2{,}40 \times 1{,}8807 \approx 4{,}51\) m.
  2. \(\cos(62°) = \dfrac{2{,}40}{L}\), donc \(L = \dfrac{2{,}40}{\cos(62°)} \approx \dfrac{2{,}40}{0{,}4695} \approx 5{,}11\) m.

Exercice 18

Un installateur thermique pose une canalisation inclinée pour évacuer les condensats. La canalisation doit descendre de 18 cm sur une longueur horizontale de 3,2 m.

  1. Calculer l'angle d'inclinaison \(\alpha\) de la canalisation par rapport à l'horizontale.
  2. La norme impose un angle minimum de 3°. Cette installation est-elle conforme ?
  1. \(\tan(\alpha) = \dfrac{0{,}18}{3{,}2} = 0{,}05625\), donc \(\alpha = \arctan(0{,}05625) \approx 3{,}2°\).
  2. 3,2° > 3°, donc l'installation est conforme à la norme.

Exercice 19

Un artisan menuisier veut mesurer la hauteur d'un mur sans y accéder. Depuis un point A situé à 8 m du pied du mur, il mesure un angle d'élévation de 47° vers le sommet du mur.

  1. Calculer la hauteur \(h\) du mur.
  2. Depuis un second point B situé à 5 m du pied du mur, quel serait l'angle d'élévation ?
  1. \(\tan(47°) = \dfrac{h}{8}\), donc \(h = 8 \times \tan(47°) \approx 8 \times 1{,}0724 \approx 8{,}58\) m.
  2. \(\tan(\beta) = \dfrac{8{,}58}{5} = 1{,}716\), donc \(\beta = \arctan(1{,}716) \approx 60°\).

Exercice 20

Un technicien chauffagiste installe un panneau solaire thermique sur un toit en pente. Le toit forme un angle de 35° avec l'horizontale. Pour optimiser le rendement, le panneau doit être incliné à 45° sur l'horizontale.

  1. Quel angle doit faire le panneau avec la surface du toit ?
  2. La fixation du panneau a une hauteur de 12 cm (mesurée perpendiculairement au toit). Calculer la hauteur réelle (verticale) de la fixation.
  1. L'angle entre le panneau et le toit = angle du panneau sur l'horizontal − angle du toit = 45° − 35° = 10°.
  2. La hauteur verticale = \(12 \times \cos(35°) \approx 12 \times 0{,}8192 \approx 9{,}83\) cm.
    (La fixation est perpendiculaire au toit qui est incliné à 35° ; sa composante verticale est \(h_{fixation} \times \cos(35°)\)).

C6 — Résoudre des équations trigonométriques

À retenir

Sur \(]-\pi;\pi]\) : \(\cos x=a\) → \(x=\pm\arccos(a)\). \(\sin x=b\) → \(x=\arcsin(b)\) ou \(x=\pi-\arcsin(b)\).

Exercice 16

Résoudre sur \(]-\pi;\pi]\) : a) \(\cos x=1/2\) b) \(\sin x=\sqrt{2}/2\) c) \(\cos x=-1\) d) \(\sin x=2\)

a) \(x=\pi/3\) ou \(x=-\pi/3\). b) \(x=\pi/4\) ou \(x=3\pi/4\). c) \(x=\pi\). d) Impossible (\(|\sin x|\leq 1\)).

Exercice 17

\(u(t)=325\sin(100\pi t+\pi/6)\). Résoudre \(u(t)=325\) sur \([0;0{,}02]\).

\(\sin(100\pi t+\pi/6)=1\) → \(100\pi t+\pi/6=\pi/2\) → \(t=\frac{1}{300}\approx 0{,}0033\) s. Tension crête à 3,3 ms.

C7 — Vecteurs de Fresnel

À retenir

\(s(t)=A\sin(\omega t+\varphi)\) → vecteur de Fresnel de norme \(A\), angle \(\varphi\). Pour additionner deux tensions de même fréquence : additionner leurs vecteurs de Fresnel.

Exercice 18

\(u_1=4\sin(\omega t)\) et \(u_2=3\sin(\omega t+\pi/2)\). Construire les vecteurs de Fresnel, puis calculer l'amplitude et la phase de \(u=u_1+u_2\).

u₁u₂u
\(\vec{U_1}=(4;0)\), \(\vec{U_2}=(0;3)\). Somme : \((4;3)\). Amplitude : \(\sqrt{16+9}=\mathbf{5}\) V. Phase : \(\arctan(3/4)\approx 0{,}644\) rad ≈ 36,9°. Résultat : \(u=5\sin(\omega t+0{,}644)\).