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Activité 4 – Modéliser une tension sinusoïdale (220 V secteur) SITUATION PRO

Chapitre 7 – Trigonométrie | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min

Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30

Objectifs :

Situation – mesure d'une tension secteur

Charlotte, technicienne en électrotechnique, branche un oscilloscope sur une prise du secteur français (« 230 V »). Elle observe sur l'écran une courbe sinusoïdale et veut faire le lien avec les valeurs nominales.

Document — observations à l'oscilloscope

Document — modèle mathématique

u(t) = U_max × sin(2π × f × t)

avec f = 1 / T (fréquence en Hz)

Document — courbe de la tension

u(t) = 325 × sin(100π × t) — secteur 230 V / 50 Hz +325 +230 0 −230 −325 u (V) 0 5 10 15 20 t (ms) U_eff = +230 V U_eff = −230 V U_max T = 20 ms

📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §5 (sinus comme fonction périodique) et §6 (application en électrotechnique).

Problématique : Pourquoi le secteur est-il étiqueté « 230 V » alors que l'oscilloscope montre une amplitude de 325 V ?

Question 1 REA

Calculer la fréquence f du courant.

f = 1 / T = 1 / 0,020 = 50 Hz ✓ (norme française et européenne).

(50 cycles complets par seconde → 100 alternances/s, soit toutes les 10 ms le courant change de sens.)

Question 2 REA

Calculer u(t) pour t = 5 ms (quart de période). Que représente cette valeur ?

u(5 ms) = 325 × sin(2π × 50 × 0,005) = 325 × sin(π/2) = 325 × 1 = 325 V.

À T/4 = 5 ms, l'argument du sinus vaut π/2 (90°), donc u atteint son maximum (la « crête » de la sinusoïde).

De même, u(15 ms) = 325 × sin(3π/2) = −325 V (crête négative).

u(0) = u(10 ms) = u(20 ms) = 0 V (passage par zéro).

Question 3 REA

Calculer la valeur efficace U_eff = U_max / √2.

U_eff = 325 / √2 = 325 / 1,414 ≈ 230 V.

C'est exactement la valeur nominale du secteur français ! La cohérence est parfaite.

Question 4 VAL

Pourquoi étiquette-t-on les prises avec la valeur efficace (230 V) et non la valeur crête (325 V) ?

La valeur efficace est équivalente à un courant continu pour la dissipation de chaleur :

  • Une résistance R sous 230 V efficace (alternatif) chauffe comme sous 230 V continu.
  • Puissance dissipée : P = U_eff² / R.

C'est donc la valeur physiquement utile pour le dimensionnement des appareils. La valeur crête (325 V) est nécessaire pour les composants devant supporter le pic de tension (isolation, semi-conducteurs).

Convention universelle : on note la valeur efficace pour les utilisateurs ; la valeur crête pour les ingénieurs.

Question 5 ANA

Aux États-Unis, le secteur est en 120 V / 60 Hz. Calculer la valeur crête, la période, et comparer à la France.

U_max = 120 × √2 = 170 V (vs 325 V en France).

T = 1/f = 1/60 ≈ 16,7 ms (vs 20 ms en France).

Comparaison :

  • USA : U_eff = 120 V → moins dangereux mais nécessite des fils plus gros pour la même puissance.
  • France : U_eff = 230 V → plus efficace (P = U × I, à U doublé, I divisé par 2 pour même P → cuivre divisé par 2 environ).

Pour cette raison, le 230 V s'est imposé en Europe pour les usages domestiques.

Question 6 VAL

Pourquoi les radiateurs ne se soucient pas de la sinusoïdalité — alors que les LED le font ?

Charges résistives (radiateur, chauffe-eau, ampoule incandescente) : seule la puissance moyenne dissipée compte. P = U_eff × I_eff. La forme exacte de la tension est indifférente.

Charges électroniques (LED, ordinateurs, alim à découpage) : utilisent la forme sinusoïdale spécifiquement. Une onde « pseudo-sinus » (petits onduleurs bon marché) peut :

  • Faire vibrer les transformateurs (bruit, échauffement)
  • Endommager les correcteurs de facteur de puissance (PFC)
  • Réduire la durée de vie des composants

D'où l'importance des onduleurs « sinusoïde pure » pour le matériel informatique sensible.

Question 7 ANA

Calculer la puissance dissipée par un radiateur de résistance R = 50 Ω sous 230 V efficaces. Comparer avec une alimentation continue 230 V.

P = U_eff² / R = 230² / 50 = 52 900 / 50 = 1 058 W ≈ 1 kW.

Avec un courant continu de 230 V : P = 230² / 50 = 1 058 W (identique).

C'est le sens même de la valeur efficace : équivalence en chauffage.

Sur un mois (8 h/jour utilisation) : énergie = 1,058 × 8 × 30 = 254 kWh. À 0,18 €/kWh : 45,72 €/mois. Pour 1 radiateur seulement.

Question 8 COM

Rédiger en 5 lignes une fiche d'aide pour un nouvel apprenti : valeurs efficaces vs crêtes du secteur.

Fiche — Le secteur 230 V / 50 Hz

  • Tension efficace : 230 V (= valeur affichée sur les prises). Sert pour calculer la puissance des appareils.
  • Tension crête : 325 V = 230 × √2. C'est le maximum atteint par la sinusoïde 100 fois par seconde.
  • Fréquence : 50 Hz → période 20 ms. 100 changements de sens du courant par seconde.
  • Sécurité : attention, les composants doivent supporter la valeur crête ! (325 V ne se voit pas avec un multimètre standard qui n'affiche que U_eff.)
  • Hors d'Europe : 120 V / 60 Hz aux USA, 100 V / 50-60 Hz au Japon. Adapter les appareils pour les voyages.

🚀 Pour aller plus loin ANA

Pour le triphasé industriel (400 V efficaces entre phases), calculer la tension crête. Pourquoi le triphasé est-il plus efficace que le monophasé ?

U_max triphasé entre phases : 400 × √2 ≈ 566 V crête.

Le triphasé utilise 3 sinusoïdes décalées de 120° l'une par rapport à l'autre (au lieu d'une seule en monophasé).

Avantages :

  • Puissance disponible 3× plus grande dans le même câble.
  • Moteurs auto-démarrants (champ magnétique tournant naturellement).
  • Moins de pertes dans les longs trajets (effet Joule réduit grâce à des courants plus faibles).

Inconvénients : 4 fils (3 phases + neutre) au lieu de 2, équipements plus chers, dangereux (566 V crête).

C'est pourquoi le triphasé est utilisé pour : industrie, gros électroménager (cuisinière), recharge de voitures électriques rapides, transport haute tension.

À retenir