Chapitre 7 – Trigonométrie | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Olivier, géomètre, doit mesurer la largeur d'un fleuve impossible à traverser (courant fort, pas de pont à proximité). Il utilise la triangulation, technique millénaire qui permet de mesurer des distances sans s'y rendre.
Dans tout triangle ABC :
BC / sin(Â) = AC / sin(B̂) = AB / sin(Ĉ)
(Le côté opposé à un angle est proportionnel au sinus de cet angle.)
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (loi des sinus) et §4 (résolution d'un triangle).
Calculer l'angle Ĉ du triangle ABC.
Somme des angles d'un triangle : Â + B̂ + Ĉ = 180°.
Ĉ = 180 − 80 − 60 = 40°.
Appliquer la loi des sinus pour calculer AC (distance du piquet A à l'arbre C).
AB / sin(Ĉ) = AC / sin(B̂)
50 / sin(40°) = AC / sin(60°)
AC = 50 × sin(60°) / sin(40°)
AC = 50 × 0,866 / 0,643 ≈ 67,4 m.
Calculer aussi BC en appliquant la loi des sinus.
BC = AB × sin(Â) / sin(Ĉ) = 50 × sin(80°) / sin(40°) = 50 × 0,985 / 0,643 ≈ 76,6 m.
Cohérent : BC > AC car l'angle > B̂ (côté opposé plus grand).
La largeur du fleuve est la distance perpendiculaire de la rive proche à l'arbre C. Calculer h = AC × sin(Â).
h = AC × sin(80°) = 67,4 × 0,985 ≈ 66,4 m.
Le fleuve fait environ 66 m de large à cet endroit. Olivier a mesuré sans avoir à traverser.
Vérification avec BC : h = BC × sin(B̂) = 76,6 × sin(60°) = 76,6 × 0,866 ≈ 66,3 m. ✓ Concordance.
Pourquoi la triangulation est-elle utile ? Citer 3 autres situations professionnelles où elle s'applique.
La triangulation permet de mesurer une distance sans s'y rendre physiquement, à partir d'angles et d'une seule longueur de référence. Outil indispensable du géomètre depuis l'Antiquité.
Applications :
Si Olivier avait pris les angles 70° en A et 75° en B (et la même base 50 m), quelle largeur trouverait-il ?
Ĉ = 180 − 70 − 75 = 35°.
AC = 50 × sin(75°) / sin(35°) = 50 × 0,966 / 0,574 ≈ 84,2 m.
h = AC × sin(70°) = 84,2 × 0,940 ≈ 79,1 m.
Le fleuve serait plus large à cet endroit. Logique : avec des angles plus aigus, l'arbre est plus loin.
Quelle erreur de mesure obtient-on si chaque angle a une précision de ± 1° (instruments d'arpentage standards) ?
Calculs avec les valeurs extrêmes (Â = 79°, B̂ = 59°) :
Ĉ = 180 − 79 − 59 = 42°. AC = 50 × sin(59°) / sin(42°) = 50 × 0,857 / 0,669 ≈ 64,1 m.
h = AC × sin(79°) = 64,1 × 0,982 ≈ 62,9 m.
Avec  = 81°, B̂ = 61° : h ≈ 69,8 m.
Marge : 62,9 à 69,8 m, soit ±5 % d'incertitude pour ±1° par angle.
Conclusion : la précision angulaire est cruciale. Pour une grande précision (cadastre), il faut un théodolite à 0,01° (5 m d'erreur sur 1 km).
Rédiger un mode opératoire en 5 lignes pour la mesure d'une distance inaccessible.
Méthode — Triangulation pour distance inaccessible
1. Choisir 2 points A et B sur la rive accessible, séparés d'une distance connue (le plus long possible pour la précision).
2. Repérer le point C visé (arbre, pylône, sommet) sur l'autre rive.
3. Mesurer les angles BÂC et ABC avec un théodolite ou une boussole de précision.
4. Calculer Ĉ = 180° − Â − B̂. Puis appliquer la loi des sinus pour AC.
5. La largeur perpendiculaire est h = AC × sin(Â). Vérifier en croisant avec BC × sin(B̂).
Le GPS triangule à partir de 4 satellites pour calculer votre position 3D. Pourquoi 4 et pas 3 ?
Pour positionner un point sur Terre, il faut 3 dimensions (latitude, longitude, altitude) → 3 inconnues.
Mais le GPS mesure des temps de vol de signaux, qui dépendent aussi de l'horloge interne du récepteur (forcément moins précise que les horloges atomiques des satellites). 4 inconnues au total.
Donc on a besoin de 4 satellites pour résoudre les 4 inconnues : c'est un système de 4 équations à 4 inconnues.
Avec moins de 4 satellites visibles : pas de fix GPS (on perd la précision verticale ou horaire).
Le GPS classique nécessite 4-12 satellites visibles selon la position. Précision : 5-10 m en civil, 1 cm en militaire.