Chapitre 7 – Trigonométrie | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Léa, charpentière, doit calculer la longueur des chevrons pour une nouvelle maison. Le toit a une pente de 35 %, la portée (largeur de la maison) est de 8 m, le faîtage est au centre du toit.
Pente p % et angle α (par rapport à l'horizontale) sont liés par :
p % = 100 × tan(α), soit tan(α) = p / 100
Repères : 100 % = 45° (toit très pentu) ; 50 % ≈ 27° ; 35 % ≈ 19° ; 10 % ≈ 5,7°.
| Type de couverture | Pente min DTU |
|---|---|
| Bac acier ondulé | 7 % |
| Tuiles plates | 35 % |
| Tuiles canal (méditerranéennes) | 30 % |
| Ardoises naturelles | 70 % |
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (sin/cos/tan dans un triangle rectangle) et §2 (conversion angle/pente).
Calculer l'angle α de la pente du toit.
tan(α) = p / 100 = 35 / 100 = 0,35.
α = arctan(0,35) ≈ 19,3°.
(Calculatrice : touche tan⁻¹ ou arctan, en mode degrés.)
Le faîtage est au centre, donc l'horizontale d'un chevron mesure 4 m (du mur au faîtage). Calculer la hauteur h du faîtage par rapport aux murs.
tan(α) = côté opposé / côté adjacent = h / 4.
h = 4 × tan(19,3°) = 4 × 0,35 = 1,40 m.
Le faîtage culmine à 1,40 m au-dessus des sablières (les murs supportant le toit).
Calculer la longueur L d'un chevron (= hypoténuse du triangle rectangle).
Méthode 1 (cosinus) : cos(α) = adjacent / hypoténuse = 4 / L.
L = 4 / cos(19,3°) = 4 / 0,944 ≈ 4,24 m.
Méthode 2 (Pythagore) : L = √(4² + 1,40²) = √(16 + 1,96) = √17,96 ≈ 4,24 m. ✓
Les deux méthodes donnent le même résultat. À choisir selon ce qui est connu.
La pente de 35 % est-elle conforme au DTU pour des tuiles plates ?
Pente DTU minimum pour tuiles plates : 35 %.
Pente choisie : 35 % → conformité tout juste respectée.
Pas de marge de sécurité. Toute imperfection de pose (chevrons légèrement inclinés, tassement) pourrait faire passer en-dessous du seuil → infiltrations.
Recommandation : passer à 40 % pour avoir une marge de sécurité, ou utiliser des tuiles canal (DTU 30 %).
Léa ajoute 30 cm de débord à chaque chevron (saillie hors mur). Quelle longueur commerciale commander ?
Longueur de chevron : 4,24 + 0,30 = 4,54 m.
Le bois se vend par formats commerciaux : 3, 4, 4,5, 5, 6 m.
Léa commande des chevrons de 5 m (au format supérieur disponible) : 4,54 m utilisés + 0,46 m de chute = ~ 9 % de pertes.
Si elle veut moins de chute, elle pourrait commander 4,5 m (4,5 < 4,54 → insuffisant !) ou choisir une scierie qui coupe sur mesure.
La maison fait 12 m de long. Avec un espacement de 60 cm entre chevrons, combien de chevrons sont nécessaires (par côté) ?
Nombre d'intervalles : 12 / 0,60 = 20 intervalles → 21 chevrons par côté (n+1 chevrons pour n intervalles).
Total pour la maison (2 côtés) : 42 chevrons.
Longueur de bois totale : 42 × 5 = 210 m de bois.
À 8 €/m, coût total : 210 × 8 = 1 680 € de chevrons (hors pannes, sablières, voliges).
Pour la maison voisine, le client veut une couverture en ardoises (DTU min 70 %). Si la portée est aussi 8 m, calculer la hauteur du faîtage et la longueur des chevrons.
Pente 70 % → tan(α) = 0,70 → α ≈ 35°.
Hauteur du faîtage : h = 4 × 0,70 = 2,80 m.
Longueur du chevron : L = 4 / cos(35°) = 4 / 0,819 ≈ 4,88 m.
Comparaison : pour la même portée, l'ardoise impose un toit plus pentu et des chevrons 15 % plus longs. La maison aura un look plus « breton ».
Rédiger en 5 lignes la fiche métré pour le devis (récap des chevrons à commander).
Métré chevrons — Maison 12 × 8 m, toit pente 35 %
| Désignation | Calcul | Quantité |
|---|---|---|
| Chevrons (4,24 m + 0,30 m débord) | arrondi 5 m | 42 unités × 5 m |
| Total bois chevrons | 42 × 5 | 210 m |
| Coût matière (8 €/m) | 1 680 € HT |
Pente 35 % conforme au DTU 40.21 tuiles plates (limite). À porter à 40 % pour marge de sécurité. Hors pannes, sablières et voliges (à devis séparé).
Pour une rampe d'accès handicapée, la norme PMR limite la pente à 5 % (idéal) ou 8 % (max). Calculer la longueur de rampe nécessaire pour franchir 50 cm de dénivelé à 5 %.
Pente 5 % → tan(α) = 0,05 → α ≈ 2,86°.
Pour gagner 0,50 m de hauteur : longueur horizontale L_h = 0,50 / 0,05 = 10 m.
À 8 % (max admissible) : L_h = 0,50 / 0,08 = 6,25 m.
Une marche de 50 cm requiert donc 10 m de rampe en respectant les normes PMR confort.
Sans rampe, une personne en fauteuil ne peut pas franchir cette marche → exclusion. C'est pourquoi les normes d'accessibilité sont si strictes.
En complément : palier de repos tous les 10 m, garde-corps obligatoire au-delà de 50 cm de hauteur.