Chapitre 6 | Terminale Bac Pro | Mathématiques
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Rappels – Caractéristiques d'un vecteur
Un vecteur est caractérisé par :
Vecteur opposé
Le vecteur opposé de \(\overrightarrow{AB}\) est :
Coordonnées d'un vecteur
On donne \(A(1\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,7)\). Les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) sont :
Coordonnées – Sens du calcul
Pour calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), on fait :
Norme d'un vecteur – Calcul simple
On donne \(\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\). Sa norme \(\|\vec{u}\|\) vaut :
Norme – Signe
La norme d'un vecteur est toujours :
Somme de vecteurs
\(\vec{u} = \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\{-3}\end{pmatrix}\). Alors \(\vec{u}+\vec{v} =\) :
Multiplication par un scalaire
Si \(\vec{u} = \begin{pmatrix}2\\{-1}\end{pmatrix}\), alors \(3\,\vec{u} =\) :
Relation de Chasles
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} =\) :
Colinéarité – Définition
Deux vecteurs sont colinéaires lorsque :
Colinéarité – Calcul du déterminant
\(\vec{u} = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\). Le déterminant \(\det(\vec{u},\vec{v})\) vaut :
Milieu d'un segment
Le milieu \(I\) de \([AB]\) avec \(A(2\,;\,4)\) et \(B(6\,;\,8)\) a pour coordonnées :
Distance entre deux points
\(A(0\,;\,0)\) et \(B(6\,;\,8)\). La distance \(AB\) vaut :
Vecteur nul
Le vecteur \(\overrightarrow{AA}\) est :
Contexte professionnel – Distance
Un menuisier repère deux angles d'un panneau : \(P(1\,;\,2)\) et \(Q(4\,;\,6)\). La longueur de la diagonale \(PQ\) (en m) est :
Coordonnées d'un vecteur – Coordonnées négatives
On donne \(A(5\,;\,3)\) et \(B(2\,;\,{-1})\). Alors \(\overrightarrow{AB} =\) :
Norme – Coordonnées négatives
\(\vec{u} = \begin{pmatrix}{-3}\\4\end{pmatrix}\). Alors \(\|\vec{u}\| =\) :
Colinéarité – Déterminant
\(\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\). Alors \(\det(\vec{u},\vec{v}) =\) :
Colinéarité – Conséquence
Si \(\det(\vec{u},\vec{v}) = 0\), alors les droites de vecteurs directeurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont :
Équation cartésienne – Vecteur directeur
La droite \(3x - 2y + 5 = 0\) a pour vecteur directeur :
Équation cartésienne – Vecteur normal
La droite \(3x - 2y + 5 = 0\) a pour vecteur normal :
Distance point-droite
La distance du point \(M(1\,;\,2)\) à la droite \(3x + 4y - 5 = 0\) vaut :
Parallélisme de droites
Les droites \(2x + 3y - 1 = 0\) et \(4x + 6y + 7 = 0\) sont :
Perpendicularité de droites
Les droites \(2x + 3y = 0\) et \(3x - 2y + 1 = 0\) sont :
Alignement de trois points
Trois points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement si :
Contexte professionnel – Parallélisme
Un menuisier agenceur vérifie que deux murs sont parallèles. Les vecteurs directeurs sont \(\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\{-2}\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}{-6}\\4\end{pmatrix}\). On calcule \(\det(\vec{u},\vec{v}) =\) :
Un plombier chauffagiste trace une canalisation rectiligne entre \(P_1(0\,;\,0)\) et \(P_2(6\,;\,8)\) (en dm). La longueur de cette canalisation est :
Vecteurs dans l'espace – Coordonnées
Dans l'espace, \(S(1\,;\,0\,;\,2)\) et \(T(5\,;\,3\,;\,6)\). Alors \(\overrightarrow{ST} =\) :
Norme dans l'espace
La norme de \(\vec{w} = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\) vaut :
Milieu dans l'espace
Le milieu de \([AB]\) avec \(A(2\,;\,4\,;\,0)\) et \(B(6\,;\,2\,;\,8)\) est :
Coordonnées – Vecteur égaux
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\{-2}\end{pmatrix}\) et \(A(1\,;\,5)\). Les coordonnées de \(B\) sont :
Équation cartésienne – Détermination
La droite passant par \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,5)\) a pour équation cartésienne :
Distance point-droite – Calcul
Distance de \(M(3\,;\,1)\) à la droite \(4x - 3y + 2 = 0\) :
Colinéarité – Alignement
Les points \(A(1\,;\,1)\), \(B(3\,;\,5)\), \(C(4\,;\,7)\) sont-ils alignés ?
Combinaison linéaire
\(\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \begin{pmatrix}{-2}\\1\end{pmatrix}\). Le vecteur \(2\vec{u} - 3\vec{v}\) vaut :
Équation cartésienne – Vérification
Le point \(C(2\,;\,3)\) appartient-il à la droite \(x - y + 1 = 0\) ?
Contexte professionnel – Équation de droite
Un technicien d'agencement trace une paroi rectiligne passant par \(P_1(0\,;\,2)\) et \(P_2(4\,;\,0)\). L'équation de cette droite est :
Distance point-droite – Contexte professionnel
Une canalisation suit la droite \(x + 2y - 4 = 0\). Un robinet est en \(R(2\,;\,5)\). La distance du robinet à la canalisation est :
Parallélisme et perpendicularité
Les droites \(D_1 : 2x + y - 3 = 0\) et \(D_2 : x - 2y + 1 = 0\) sont :
Norme 3D – Contexte professionnel
Un installateur thermique trace un tuyau entre \(S(1\,;\,0\,;\,2)\) et \(T(5\,;\,3\,;\,6)\) (en dm). La longueur du tuyau est :
Vecteur normal – Construction
Le vecteur directeur d'une droite est \(\vec{d} = \begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\). Un vecteur normal à cette droite est :
Milieu – Contexte professionnel
Un ébéniste place un luminaire au milieu de la diagonale d'un meuble rectangulaire. Coins opposés : \(A(1\,;\,1)\) et \(C(5\,;\,4)\). Coordonnées du luminaire :
Relation de Chasles – Trois vecteurs
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} =\) :
Problème ouvert – Point d'intersection
Un point \(M\) appartient à la droite \(x - y + 1 = 0\) et vérifie \(x = 3\). Ses coordonnées sont :
Problème de synthèse – Contexte professionnel
Un artisan menuisier vérifie l'équerrage d'un panneau. Les côtés ont pour vecteurs directeurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\). Le produit \(aa' + bb'\) (test de perpendicularité) vaut :