Vecteurs — Terminale Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
On donne \(A(1\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,7)\).
a) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : \(\begin{pmatrix}5 - ... \\ 7 - ...\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}... \\ ...\end{pmatrix}\)
b) En déduire les coordonnées de \(\overrightarrow{BA}\).
a) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}5 - 1 \\ 7 - 3\end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix}4 \\ 4\end{pmatrix}}\)
b) \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = \mathbf{\begin{pmatrix}-4 \\ -4\end{pmatrix}}\)
Avec \(A(1\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,7)\) (question 1) :
a) Calculer la norme : \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{...^2 + ...^2} = \sqrt{... + ...} = \sqrt{...}\)
b) Arrondir au dixième.
a) \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}\)
b) \(\sqrt{32} \approx \mathbf{5{,}7}\)
On donne \(C(2\,;\,1)\) et \(D(8\,;\,5)\).
Calculer le milieu \(I\) de \([CD]\) :
\(I = \left(\dfrac{2 + ...}{2}\,;\,\dfrac{1 + ...}{2}\right) = \left(\dfrac{...}{2}\,;\,\dfrac{...}{2}\right) = (...\,;\,...)\)
\(I = \left(\dfrac{2 + 8}{2}\,;\,\dfrac{1 + 5}{2}\right) = \left(\dfrac{10}{2}\,;\,\dfrac{6}{2}\right) = \mathbf{(5\,;\,3)}\)
On donne \(\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\).
a) Calculer le déterminant : \(\det = 3 \times ... - 6 \times ... = ... - ... = ...\)
b) Les vecteurs sont-ils colinéaires ? Justifier.
a) \(\det(\vec{u},\vec{v}) = 3 \times 4 - 6 \times 2 = 12 - 12 = \mathbf{0}\)
b) Le déterminant est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires (les droites sont parallèles).
On donne \(\vec{u} = \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}\).
a) Calculer \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix}2 + ... \\ -1 + ...\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}... \\ ...\end{pmatrix}\)
b) Calculer \(2\vec{u} = \begin{pmatrix}2 \times ... \\ 2 \times ...\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}... \\ ...\end{pmatrix}\)
a) \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix}2 + (-3) \\ -1 + 5\end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix}}\)
b) \(2\vec{u} = \begin{pmatrix}2 \times 2 \\ 2 \times (-1)\end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix}4 \\ -2\end{pmatrix}}\)
Barème : 20 points
On donne \(A(2\,;\,5)\) et \(B(6\,;\,1)\).
a) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : \(\begin{pmatrix}6 - ... \\ 1 - ...\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}... \\ ...\end{pmatrix}\)
b) En déduire les coordonnées de \(\overrightarrow{BA}\).
a) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}6 - 2 \\ 1 - 5\end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix}}\)
b) \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = \mathbf{\begin{pmatrix}-4 \\ 4\end{pmatrix}}\)
Avec \(A(2\,;\,5)\) et \(B(6\,;\,1)\) (question 1) :
a) Calculer la norme : \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{...^2 + ...^2} = \sqrt{... + ...} = \sqrt{...}\)
b) Arrondir au dixième.
a) \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}\)
b) \(\sqrt{32} \approx \mathbf{5{,}7}\)
On donne \(C(3\,;\,2)\) et \(D(9\,;\,8)\).
Calculer le milieu \(I\) de \([CD]\) :
\(I = \left(\dfrac{3 + ...}{2}\,;\,\dfrac{2 + ...}{2}\right) = \left(\dfrac{...}{2}\,;\,\dfrac{...}{2}\right) = (...\,;\,...)\)
\(I = \left(\dfrac{3 + 9}{2}\,;\,\dfrac{2 + 8}{2}\right) = \left(\dfrac{12}{2}\,;\,\dfrac{10}{2}\right) = \mathbf{(6\,;\,5)}\)
On donne \(\vec{u} = \begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}6\\-3\end{pmatrix}\).
a) Calculer le déterminant : \(\det = 4 \times ... - (-2) \times ... = ... - ... = ...\)
b) Les vecteurs sont-ils colinéaires ? Justifier.
a) \(\det(\vec{u},\vec{v}) = 4 \times (-3) - (-2) \times 6 = -12 - (-12) = -12 + 12 = \mathbf{0}\)
b) Le déterminant est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires (les droites sont parallèles).
On donne \(\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}-1\\-6\end{pmatrix}\).
a) Calculer \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix}3 + ... \\ 4 + ...\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}... \\ ...\end{pmatrix}\)
b) Calculer \(3\vec{u} = \begin{pmatrix}3 \times ... \\ 3 \times ...\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}... \\ ...\end{pmatrix}\)
a) \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix}3 + (-1) \\ 4 + (-6)\end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix}2 \\ -2\end{pmatrix}}\)
b) \(3\vec{u} = \begin{pmatrix}3 \times 3 \\ 3 \times 4\end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix}9 \\ 12\end{pmatrix}}\)
Barème : 20 points
Un menuisier agenceur travaille sur un plan d'aménagement. Les positions des meubles sont repérées dans un repère orthonormé (en mètres) : \(A(1\,;\,2)\) (bureau), \(B(5\,;\,5)\) (armoire).
a) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
b) Calculer la distance \(AB\) (arrondir au centième).
a) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}5-1\\5-2\end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}\)
b) \(AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = \mathbf{5{,}00}\) m
On place un luminaire au milieu \(I\) du segment \([AC]\) avec \(A(1\,;\,2)\) et \(C(7\,;\,6)\).
a) Calculer les coordonnées du point \(I\).
b) Calculer la distance \(AI\).
a) \(I = \left(\dfrac{1+7}{2}\,;\,\dfrac{2+6}{2}\right) = \mathbf{(4\,;\,4)}\)
b) \(AI = \sqrt{(4-1)^2+(4-2)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \approx \mathbf{3{,}61}\) m
Deux parois d'un local sont représentées par les vecteurs directeurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}-6\\4\end{pmatrix}\).
a) Calculer le déterminant de \((\vec{u},\vec{v})\).
b) Les deux parois sont-elles parallèles ? Justifier.
a) \(\det(\vec{u},\vec{v}) = 3 \times 4 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = \mathbf{0}\)
b) Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires. Les deux parois sont parallèles. (On remarque que \(\vec{v} = -2\vec{u}\).)
Une canalisation suit la droite passant par \(P_1(0\,;\,2)\) et \(P_2(4\,;\,0)\).
a) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{P_1P_2}\).
b) Déterminer l'équation cartésienne de cette droite.
a) \(\overrightarrow{P_1P_2} = \begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}\)
b) Vecteur normal : \(\vec{n} = \begin{pmatrix}-2\\-4\end{pmatrix}\), soit (en divisant par \(-2\)) \(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\).
Équation : \(1(x - 0) + 2(y - 2) = 0 \Rightarrow \mathbf{x + 2y - 4 = 0}\)
Vérification : \(P_1\) : \(0 + 4 - 4 = 0\) ✓ ; \(P_2\) : \(4 + 0 - 4 = 0\) ✓
Vérifier par le calcul que les points \(A(1\,;\,1)\), \(B(3\,;\,5)\) et \(C(4\,;\,7)\) sont alignés.
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}\)
\(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = 2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0\)
Le déterminant est nul, donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires : les points A, B, C sont alignés.
Barème : 20 points
Un installateur thermique repère sur un plan les positions de deux radiateurs : \(A(2\,;\,1)\) (salon) et \(B(8\,;\,4)\) (chambre).
a) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
b) Calculer la distance \(AB\) (arrondir au centième).
a) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}8-2\\4-1\end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}}\)
b) \(AB = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} \approx \mathbf{6{,}71}\) m
On installe un thermostat au milieu \(I\) du segment \([AC]\) avec \(A(2\,;\,1)\) et \(C(10\,;\,7)\).
a) Calculer les coordonnées du point \(I\).
b) Calculer la distance \(AI\).
a) \(I = \left(\dfrac{2+10}{2}\,;\,\dfrac{1+7}{2}\right) = \mathbf{(6\,;\,4)}\)
b) \(AI = \sqrt{(6-2)^2+(4-1)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = \mathbf{5{,}00}\) m
Deux murs d'un local sont représentés par les vecteurs directeurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}-10\\6\end{pmatrix}\).
a) Calculer le déterminant de \((\vec{u},\vec{v})\).
b) Les deux murs sont-ils parallèles ? Justifier.
a) \(\det(\vec{u},\vec{v}) = 5 \times 6 - (-3) \times (-10) = 30 - 30 = \mathbf{0}\)
b) Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires. Les deux murs sont parallèles. (On remarque que \(\vec{v} = -2\vec{u}\).)
Un tuyau de chauffage suit la droite passant par \(P_1(1\,;\,3)\) et \(P_2(5\,;\,1)\).
a) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{P_1P_2}\).
b) Déterminer l'équation cartésienne de cette droite.
a) \(\overrightarrow{P_1P_2} = \begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}\)
b) Vecteur normal : \(\vec{n} = \begin{pmatrix}-2\\-4\end{pmatrix}\), soit (en divisant par \(-2\)) \(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\).
Équation : \(1(x - 1) + 2(y - 3) = 0 \Rightarrow x - 1 + 2y - 6 = 0 \Rightarrow \mathbf{x + 2y - 7 = 0}\)
Vérification : \(P_1\) : \(1 + 6 - 7 = 0\) ✓ ; \(P_2\) : \(5 + 2 - 7 = 0\) ✓
Vérifier par le calcul que les points \(A(2\,;\,3)\), \(B(5\,;\,9)\) et \(C(4\,;\,7)\) sont alignés.
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\)
\(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = 3 \times 4 - 6 \times 2 = 12 - 12 = 0\)
Le déterminant est nul, donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires : les points A, B, C sont alignés.
Barème : 20 points
Un aménageur d'intérieur place des meubles aux positions suivantes (en mètres) : \(A(1\,;\,1)\), \(B(5\,;\,1)\), \(C(5\,;\,4)\), \(D(1\,;\,4)\).
a) Montrer que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
b) En déduire la nature du quadrilatère \(ABCD\).
c) Calculer la longueur de la diagonale \(AC\).
a) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix}5-1\\4-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\). Donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). ✓
b) Comme \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), les côtés \([AB]\) et \([DC]\) sont parallèles et de même longueur. \(ABCD\) est un parallélogramme. De plus \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 4 \times 0 + 0 \times 3 = 0\), donc c'est un rectangle.
c) \(AC = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = \mathbf{5}\) m
Un plombier chauffagiste trace un réseau de canalisations. Un tuyau suit la droite \(\Delta : 3x + 4y - 12 = 0\). Un robinet est placé en \(R(2\,;\,5)\).
a) Donner un vecteur directeur et un vecteur normal de la droite \(\Delta\).
b) Calculer la distance du robinet \(R\) à la canalisation \(\Delta\).
a) Vecteur normal : \(\vec{n} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\). Vecteur directeur : \(\vec{d} = \begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}\).
b) \(d(R,\Delta) = \dfrac{|3 \times 2 + 4 \times 5 - 12|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \dfrac{|6+20-12|}{\sqrt{25}} = \dfrac{14}{5} = \mathbf{2{,}8}\) m
Dans l'espace, une canalisation relie le point \(S(1\,;\,0\,;\,2)\) (sous-sol) au point \(T(5\,;\,3\,;\,6)\) (étage).
a) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{ST}\).
b) Calculer la longueur de la canalisation (arrondir au dixième).
c) Calculer les coordonnées du milieu \(M\) de \([ST]\).
a) \(\overrightarrow{ST} = \begin{pmatrix}4\\3\\4\end{pmatrix}\)
b) \(\|\overrightarrow{ST}\| = \sqrt{16+9+16} = \sqrt{41} \approx \mathbf{6{,}4}\) dm
c) \(M = \left(\dfrac{1+5}{2}\,;\,\dfrac{0+3}{2}\,;\,\dfrac{2+6}{2}\right) = \mathbf{(3\,;\,1{,}5\,;\,4)}\)
On considère les droites \(d_1 : 2x - y + 3 = 0\) et \(d_2 : 4x - 2y - 1 = 0\).
a) Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont-elles parallèles ? Justifier par le calcul.
b) Sont-elles confondues ? Justifier.
a) Vecteurs normaux : \(\vec{n_1} = \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\), \(\vec{n_2} = \begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}\). \(\det = 2 \times (-2) - (-1) \times 4 = -4 + 4 = 0\). Les vecteurs normaux sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.
b) Pour \(d_2\), divisons par 2 : \(2x - y - 0{,}5 = 0\). Or \(d_1 : 2x - y + 3 = 0\). Les constantes diffèrent (\(+3 \neq -0{,}5\)), donc les droites sont parallèles mais non confondues (strictement parallèles).
Soit \(\vec{u} = \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\). On pose \(\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}\).
a) Calculer les coordonnées de \(\vec{w}\).
b) Calculer la norme de \(\vec{w}\) (arrondir au dixième).
a) \(\vec{w} = 2\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}9\\15\end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix}-5\\-17\end{pmatrix}}\)
b) \(\|\vec{w}\| = \sqrt{25+289} = \sqrt{314} \approx \mathbf{17{,}7}\)
Barème : 20 points
Un menuisier agenceur place des éléments de cuisine aux positions suivantes (en mètres) : \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\), \(C(4\,;\,3)\), \(D(0\,;\,3)\).
a) Montrer que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
b) En déduire la nature du quadrilatère \(ABCD\).
c) Calculer la longueur de la diagonale \(AC\).
a) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix}4-0\\3-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\). Donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). ✓
b) Comme \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), les côtés \([AB]\) et \([DC]\) sont parallèles et de même longueur. \(ABCD\) est un parallélogramme. De plus \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 4 \times 0 + 0 \times 3 = 0\), donc c'est un rectangle.
c) \(AC = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = \mathbf{5}\) m
Un technicien chauffagiste trace un réseau de tuyaux. Un tuyau suit la droite \(\Delta : 2x + 5y - 10 = 0\). Un capteur est placé en \(C(4\,;\,3)\).
a) Donner un vecteur directeur et un vecteur normal de la droite \(\Delta\).
b) Calculer la distance du capteur \(C\) au tuyau \(\Delta\).
a) Vecteur normal : \(\vec{n} = \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\). Vecteur directeur : \(\vec{d} = \begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}\).
b) \(d(C,\Delta) = \dfrac{|2 \times 4 + 5 \times 3 - 10|}{\sqrt{2^2+5^2}} = \dfrac{|8+15-10|}{\sqrt{29}} = \dfrac{13}{\sqrt{29}} \approx \mathbf{2{,}4}\) m
Dans l'espace, un conduit de ventilation relie le point \(A(2\,;\,1\,;\,0)\) (rez-de-chaussée) au point \(B(6\,;\,4\,;\,3)\) (combles).
a) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
b) Calculer la longueur du conduit (arrondir au dixième).
c) Calculer les coordonnées du milieu \(M\) de \([AB]\).
a) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\3\\3\end{pmatrix}\)
b) \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{16+9+9} = \sqrt{34} \approx \mathbf{5{,}8}\) m
c) \(M = \left(\dfrac{2+6}{2}\,;\,\dfrac{1+4}{2}\,;\,\dfrac{0+3}{2}\right) = \mathbf{(4\,;\,2{,}5\,;\,1{,}5)}\)
On considère les droites \(d_1 : 3x - y + 2 = 0\) et \(d_2 : 6x - 2y - 5 = 0\).
a) Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont-elles parallèles ? Justifier par le calcul.
b) Sont-elles confondues ? Justifier.
a) Vecteurs normaux : \(\vec{n_1} = \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\), \(\vec{n_2} = \begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}\). \(\det = 3 \times (-2) - (-1) \times 6 = -6 + 6 = 0\). Les vecteurs normaux sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.
b) Pour \(d_2\), divisons par 2 : \(3x - y - 2{,}5 = 0\). Or \(d_1 : 3x - y + 2 = 0\). Les constantes diffèrent (\(+2 \neq -2{,}5\)), donc les droites sont parallèles mais non confondues (strictement parallèles).
Soit \(\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}\). On pose \(\vec{w} = 3\vec{u} - 2\vec{v}\).
a) Calculer les coordonnées de \(\vec{w}\).
b) Calculer la norme de \(\vec{w}\) (arrondir au dixième).
a) \(\vec{w} = 3\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9\\6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\8\end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix}11\\-2\end{pmatrix}}\)
b) \(\|\vec{w}\| = \sqrt{121+4} = \sqrt{125} \approx \mathbf{11{,}2}\)