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Chapitre 6 – Exercices par capacités

Vecteurs  |  Terminale Bac Pro  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Définir un vecteur ; vecteurs égaux et opposés

Rappel de cours

Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme (longueur).
Sa norme est \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes coordonnées (même direction, même sens, même norme).
Le vecteur opposé de \(\overrightarrow{AB}\) est \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\) (coordonnées opposées).

Exercice 1

On considère les points \(A(1;2)\), \(B(4;6)\), \(C(3;1)\) et \(D(6;5)\) dans un repère orthonormé.
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{CD}\).
2. Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont-ils égaux ? Justifier.

12 34 56 12 34 O A B C D
Vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) (bleu) et \(\overrightarrow{CD}\) (rouge) — même direction, même sens, même norme
Rappel : \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\)

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 6-3 \\ 5-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)

2. Oui, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) car ils ont les mêmes coordonnées. Ils ont donc même direction, même sens et même norme. (ABDC est un parallélogramme.)

Exercice 2

Soient \(P(2;5)\) et \(Q(7;3)\).
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{PQ}\) et de \(\overrightarrow{QP}\).
2. Calculer la norme \(\|\overrightarrow{PQ}\|\) (arrondir au centième).
3. \(\overrightarrow{PQ}\) et \(\overrightarrow{QP}\) sont-ils opposés ? Égaux ?

1. \(\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 7-2 \\ 3-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{QP} = \begin{pmatrix} 2-7 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}\)

2. \(\|\overrightarrow{PQ}\| = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29} \approx 5{,}39\)

3. \(\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ}\) (chaque coordonnée est l'opposée) : ils sont bien vecteurs opposés. Ils ne sont pas égaux (ils n'ont pas le même sens).

Exercice 3

Un menuisier agenceur trace un plan de pose sur un quadrillage. Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont les coins d'une pièce rectangulaire avec :
\(A(0;0)\), \(B(6;0)\), \(C(6;4)\), \(D(0;4)\).
Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BC}\). Que remarque-t-on ?

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} 6-0 \\ 4-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 6-6 \\ 4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Remarque : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\). Cela confirme que \(ABCD\) est un parallélogramme (propriété des vecteurs dans un parallélogramme).

Exercice 4

On donne \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\).
1. Calculer la norme de \(\overrightarrow{u}\).
2. Écrire les coordonnées du vecteur opposé \(-\overrightarrow{u}\).
3. La norme de \(-\overrightarrow{u}\) est-elle différente de celle de \(\overrightarrow{u}\) ?

1. \(\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

2. \(-\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\)

3. \(\|-\overrightarrow{u}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5\)
La norme est la même : \(\|\overrightarrow{u}\| = \|-\overrightarrow{u}\|\). Deux vecteurs opposés ont la même norme.

C2 — Additionner des vecteurs ; relation de Chasles

Rappel de cours

Par coordonnées : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x_u + x_v \\ y_u + y_v \end{pmatrix}\).
Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (le point intermédiaire se simplifie).
En particulier : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}\) et \(\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\).

→u →v →u + →v A
Règle du parallélogramme : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\)

Exercice 5

On donne \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}\).
Calculer \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\).

\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 2+(-1) \\ 3+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{v}) = \begin{pmatrix} 2-(-1) \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Exercice 6

Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
On donne \(A(1;3)\), \(B(4;1)\) et \(C(2;7)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) et leur somme.
2. Calculer directement \(\overrightarrow{AC}\) et vérifier l'égalité.

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3+(-2) \\ -2+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\)

2. \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\) ✔

La relation de Chasles est bien vérifiée.

Exercice 7

Simplifier les expressions vectorielles suivantes en utilisant la relation de Chasles :

  1. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\)
  2. \(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PM}\)
  3. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC}\)
a) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\)

b) \(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{MM} = \overrightarrow{0}\)
(On retrouve le point de départ, on obtient le vecteur nul.)

c) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}\)

Exercice 8

Un installateur d'agencement se déplace en atelier. Il part du point \(O(0;0)\), se rend en \(A(5;2)\), puis en \(B(3;7)\), puis revient en \(C(1;4)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
2. Calculer \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) et vérifier avec \(\overrightarrow{OC}\).

1. \(\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}\)

2. \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 5-2-2 \\ 2+5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\)
Vérification : \(\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 1-0 \\ 4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\) ✔

Relation de Chasles : \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC}\).

C3 — Multiplier un vecteur par un scalaire ; coordonnées

Rappel de cours

Dans un repère, si \(A(x_A ; y_A)\) et \(B(x_B ; y_B)\), alors \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\).
Multiplier par un scalaire \(k\) : \(k\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} k\,x \\ k\,y \end{pmatrix}\) et \(\|k\overrightarrow{u}\| = |k|\,\|\overrightarrow{u}\|\).

Exercice 9

On donne \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). Calculer :

  1. \(3\overrightarrow{u}\)
  2. \(-2\overrightarrow{u}\)
  3. \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}\)

Pour chaque résultat, calculer la norme et comparer à \(\|\overrightarrow{u}\|\).

\(\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}\)

a) \(3\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix}\), norme \(= \sqrt{36+81} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} = 3\|\overrightarrow{u}\|\)

b) \(-2\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix}\), norme \(= \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} = 2\|\overrightarrow{u}\|\)

c) \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}\), norme \(= \sqrt{1+2{,}25} = \sqrt{3{,}25} = \dfrac{\sqrt{13}}{2} = \dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{u}\|\)

Propriété : \(\|k\overrightarrow{u}\| = |k| \times \|\overrightarrow{u}\|\).

Exercice 10

On donne \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\). Calculer :

  1. \(2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\)
  2. \(3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}\)
  3. \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) puis sa norme (arrondie au centième)
a) \(2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\)

b) \(3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \end{pmatrix}\)

c) \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\), norme \(= \sqrt{16+1} = \sqrt{17} \approx 4{,}12\)

Exercice 11

Un technicien chauffagiste utilise un plan vectoriel pour répartir des charges. La résultante de deux forces est \(\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}\) avec :
\(\overrightarrow{F_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{F_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) (en newtons).
1. Calculer \(\overrightarrow{F}\).
2. Calculer la norme de \(\overrightarrow{F}\) (arrondie au centième).

1. \(\overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 3+(-1) \\ 5+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix}\) N

2. \(\|\overrightarrow{F}\| = \sqrt{2^2 + 7^2} = \sqrt{4+49} = \sqrt{53} \approx 7{,}28\ \text{N}\)

Exercice 12

On donne les points \(A(2;1)\) et \(B(8;5)\). On note \(M\) le point tel que \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\).
Calculer les coordonnées de \(M\).

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 8-2 \\ 5-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} = \dfrac{2}{3}\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ \frac{8}{3} \end{pmatrix}\)

Les coordonnées de \(M\) :
\(x_M = x_A + 4 = 2 + 4 = 6\)
\(y_M = y_A + \dfrac{8}{3} = 1 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{11}{3} \approx 3{,}67\)

\(M\left(6 ; \dfrac{11}{3}\right)\)

C4 — Colinéarité : points alignés et droites parallèles

Rappel de cours

Deux vecteurs \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}\) sont colinéaires si et seulement si \(ad - bc = 0\).
Trois points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires.
Deux droites sont parallèles \(\Leftrightarrow\) leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Exercice 13

Rappel : deux vecteurs \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}\) sont colinéaires si et seulement si \(ad - bc = 0\).

Trois points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Déterminer si les points suivants sont alignés :
\(A(1;2)\), \(B(3;6)\), \(C(5;10)\).

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}\)

On calcule le déterminant :
\(ad - bc = 2 \times 8 - 4 \times 4 = 16 - 16 = 0\)

Conclusion : les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, donc les points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
(On peut aussi remarquer que \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\).)

Exercice 14

Déterminer si les points \(P(2;1)\), \(Q(5;4)\) et \(R(4;3)\) sont alignés.

\(\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{PR} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\)

Déterminant : \(3 \times 2 - 3 \times 2 = 6 - 6 = 0\)

Conclusion : les vecteurs sont colinéaires (\(\overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{PQ}\)), donc \(P\), \(Q\), \(R\) sont alignés.

Exercice 15

On donne \(A(0;2)\), \(B(3;5)\), \(C(1;0)\) et \(D(4;3)\).
Démontrer que les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles.

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \((AB)\).
\(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \((CD)\).

Déterminant : \(3 \times 3 - 3 \times 3 = 0\)

Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires (ils sont même égaux), donc les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles (ou confondues).

Comme \(A \notin (CD)\) (vérification : \(A(0;2)\) n'est pas sur la droite \(y = x - 1\) passant par \(C\)), les droites sont bien strictement parallèles.

Exercice 16

Un plan de menuiserie représente quatre points : \(A(1;1)\), \(B(4;3)\), \(C(2;4)\), \(D(5;6)\).
1. Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont-elles parallèles ?
2. Les points \(A\), \(B\) et \(E(7;5)\) sont-ils alignés ?

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\)
Déterminant : \(3 \times 2 - 2 \times 3 = 0\) → les droites sont parallèles (ou confondues).
Vérification : \(A \notin (CD)\) ? La droite \((CD)\) passe par \(C(2;4)\) avec vecteur \(\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\), équation \(y - 4 = \dfrac{2}{3}(x-2)\). Pour \(x=1\) : \(y = 4 + \dfrac{2}{3}(1-2) = 4 - \dfrac{2}{3} \approx 3{,}33 \neq 1\). Les droites sont bien strictement parallèles.

2. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\)
Déterminant : \(3 \times 4 - 2 \times 6 = 12 - 12 = 0\)
\(A\), \(B\), \(E\) sont alignés. (On peut vérifier : \(\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AB}\).)

C5 — Vecteurs et géométrie plane : milieu, barycentre simple

Rappel de cours

Milieu de \([AB]\) : \(I\!\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\), ce qui revient à \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\).
Centre de gravité du triangle \(ABC\) : \(G\!\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\,;\,\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)\).

Exercice 17

Rappel : le milieu \(I\) de \([AB]\) a pour coordonnées \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\), ce qui équivaut à \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\).

Calculer les coordonnées du milieu \(I\) de chaque segment :

  1. \([AB]\) avec \(A(3;5)\) et \(B(7;1)\)
  2. \([CD]\) avec \(C(-2;4)\) et \(D(8;-2)\)
a) \(I = \left(\dfrac{3+7}{2} ; \dfrac{5+1}{2}\right) = (5 ; 3)\)
Vérification : \(\overrightarrow{IA} = \begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{IB} = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}\), somme \(= \overrightarrow{0}\) ✔

b) \(I = \left(\dfrac{-2+8}{2} ; \dfrac{4+(-2)}{2}\right) = (3 ; 1)\)

Exercice 18

On sait que \(I\) est le milieu de \([AB]\) avec \(I(4;3)\) et \(A(1;5)\). Trouver les coordonnées de \(B\).

On utilise les formules du milieu :
\(\dfrac{x_A + x_B}{2} = x_I \Rightarrow \dfrac{1 + x_B}{2} = 4 \Rightarrow x_B = 7\)
\(\dfrac{y_A + y_B}{2} = y_I \Rightarrow \dfrac{5 + y_B}{2} = 3 \Rightarrow y_B = 1\)

\(B(7 ; 1)\)

Exercice 19

On considère les points \(A(0;0)\), \(B(6;0)\), \(C(6;4)\) et \(D(0;4)\) qui forment un rectangle.
1. Calculer les coordonnées du milieu \(M\) de \([AC]\) et du milieu \(N\) de \([BD]\).
2. Que peut-on conclure ? Quel est le lien avec les propriétés du rectangle ?

1. Milieu de \([AC]\) : \(M = \left(\dfrac{0+6}{2} ; \dfrac{0+4}{2}\right) = (3 ; 2)\)
Milieu de \([BD]\) : \(N = \left(\dfrac{6+0}{2} ; \dfrac{0+4}{2}\right) = (3 ; 2)\)

2. \(M = N = (3;2)\) : les deux diagonales \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu.
Cela confirme la propriété du rectangle (et plus généralement du parallélogramme) : les diagonales se coupent en leur milieu. Ce point est le centre de symétrie du rectangle.

Exercice 20

Un atelier d'agencement place trois zones de travail \(A(2;1)\), \(B(8;3)\), \(C(5;7)\). On cherche le point \(G\) (centre de gravité du triangle) défini par :
\(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\)
ce qui donne les coordonnées \(G = \left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3} ; \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)\).
1. Calculer les coordonnées de \(G\).
2. Vérifier que \(G\) est bien le milieu du segment joignant \(A\) au milieu \(I\) de \([BC]\).

1. \(G = \left(\dfrac{2+8+5}{3} ; \dfrac{1+3+7}{3}\right) = \left(\dfrac{15}{3} ; \dfrac{11}{3}\right) = \left(5 ; \dfrac{11}{3}\right)\)

2. Milieu \(I\) de \([BC]\) : \(I = \left(\dfrac{8+5}{2} ; \dfrac{3+7}{2}\right) = \left(\dfrac{13}{2} ; 5\right)\)
Milieu de \([AI]\) : \(\left(\dfrac{2+\frac{13}{2}}{2} ; \dfrac{1+5}{2}\right) = \left(\dfrac{\frac{17}{2}}{2} ; 3\right) = \left(\dfrac{17}{4} ; 3\right)\)

Hmm, ce n'est pas tout à fait \(G = \left(5 ; \dfrac{11}{3}\right)\). En réalité, \(G\) divise \([AI]\) dans le rapport \(2:1\) depuis \(A\) :
\(x_G = x_A + \dfrac{2}{3}(x_I - x_A) = 2 + \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{13}{2} - 2\right) = 2 + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{2} = 2 + 3 = 5\) ✔
\(y_G = 1 + \dfrac{2}{3}(5 - 1) = 1 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{11}{3}\) ✔

Conclusion : le centre de gravité \(G\) se trouve au point \(\left(5 ; \dfrac{11}{3}\right)\). Il est situé aux deux tiers du segment \([AI]\) depuis \(A\) (propriété de la médiane).

C6 — Vecteurs dans l'espace (programme Terminale groupement B)

À retenir

Dans un repère 3D \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) : \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{pmatrix}\). Norme : \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\). Colinéarité : \(\vec{u}=k\vec{v}\).

Exercice 16

\(A(1;2;3)\), \(B(4;0;1)\), \(C(7;-2;-1)\). a) Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). b) \(\|\overrightarrow{AB}\|\). c) A, B, C alignés ?

a) \(\overrightarrow{AB}=(3;-2;-2)\), \(\overrightarrow{AC}=(6;-4;-4)\). b) \(\sqrt{17}\approx 4{,}12\). c) \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}\) → colinéaires → alignés.

Exercice 17

Meuble : \(A(0;0;0)\), \(B(1{,}2;0;0)\), \(D(0;0;2{,}1)\), \(E(0;0{,}6;0)\), \(G(1{,}2;0{,}6;2{,}1)\). Calculer \(\|\overrightarrow{AG}\|\) et vérifier que \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AG}\).

\(\|\overrightarrow{AG}\|=\sqrt{1{,}44+0{,}36+4{,}41}=\sqrt{6{,}21}\approx 2{,}49\) m. Somme : \((1{,}2;0;0)+(0;0;2{,}1)+(0;0{,}6;0)=(1{,}2;0{,}6;2{,}1)=\overrightarrow{AG}\) ✔

Exercice 18

\(\vec{u}=(2;-1;3)\), \(\vec{v}=(-4;2;-6)\). a) \(\vec{u}+\vec{v}\) et \(3\vec{u}\). b) Colinéaires ? c) Rapport des normes.

a) \((-2;1;-3)\) et \((6;-3;9)\). b) \(\vec{v}=-2\vec{u}\) → colinéaires. c) \(\|\vec{u}\|=\sqrt{14}\), \(\|\vec{v}\|=2\sqrt{14}=2\|\vec{u}\|\).