Chapitre 6 – Vecteurs et géométrie analytique | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Un petit avion d'aérodrome vole avec une vitesse propre de 200 km/h cap au Nord (vitesse par rapport à l'air). Un vent souffle d'Ouest à 50 km/h. La trajectoire réelle de l'avion par rapport au sol n'est pas exactement vers le Nord.
| Vecteur | Composantes (km/h) | Description |
|---|---|---|
| v_a⃗ (vitesse propre avion) | (0 ; 200) | Cap Nord, intensité 200 km/h |
| v_v⃗ (vent) | (50 ; 0) | Vers l'Est (vent venant d'Ouest) |
| v⃗ = v_a⃗ + v_v⃗ (vitesse-sol) | (50 ; 200) | Composition |
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (somme de vecteurs) et §4 (norme et angle d'un vecteur).
Calculer le vecteur vitesse-sol v⃗ = v_a⃗ + v_v⃗.
v⃗ = (0 + 50 ; 200 + 0) = (50 ; 200).
L'avion a maintenant une composante Est (50) en plus de sa composante Nord (200).
Calculer la norme ||v⃗|| (vitesse réelle par rapport au sol).
||v⃗|| = √(50² + 200²) = √(2 500 + 40 000) = √42 500 ≈ 206 km/h.
L'avion va en réalité un peu plus vite que sa vitesse propre (200 km/h), à cause de la composante du vent qui s'ajoute.
Mais cette vitesse n'est pas dans le bon sens : elle est inclinée vers l'Est.
Calculer l'angle de dérive α de l'avion par rapport au Nord (utiliser tan).
tan(α) = composante Est / composante Nord = 50 / 200 = 0,25.
α = arctan(0,25) ≈ 14° vers l'Est.
L'avion dérive de 14° vers l'Est par rapport à son cap. Sur 100 km parcourus, il s'écarte de ~ 25 km vers l'Est de sa cible initiale.
Le pilote veut atteindre une destination plein Nord. Quelle correction de cap doit-il faire ?
Pour que la vitesse résultante soit plein Nord (composante Est = 0), le pilote doit incliner son cap vers l'Ouest.
Soit v_a⃗ = (−v_x ; v_y) avec ||v_a⃗|| = 200 km/h. Pour que v⃗ soit plein Nord :
v_x + 50 = 0 → v_x = −50 (vers l'Ouest).
v_y = √(200² − 50²) = √37 500 ≈ 193,6 km/h.
Cap : tan(α) = 50/193,6 → α = arctan(0,258) ≈ 14,5° vers l'Ouest du Nord.
Vitesse-sol résultante (plein Nord) : 193,6 km/h.
Le pilote « gaspille » 200 − 193,6 = 6,4 km/h pour compenser le vent. Inévitable.
Si l'avion va à 200 km/h et le vent est dans la même direction (vent arrière), quelle est sa vitesse-sol ? Et si le vent est de face ?
Vent arrière (50 km/h cap Nord) : v_a + v_v = (0 ; 200) + (0 ; 50) = (0 ; 250). Vitesse-sol = 250 km/h. Plus vite !
Vent de face (50 km/h vers le Sud) : v_v⃗ = (0 ; −50). v⃗ = (0 ; 150). Vitesse-sol = 150 km/h. Plus lent.
Application aviation : les vols Paris-New York (vent contraire) durent ~ 8h, alors que New York-Paris (vent arrière) ne dure que 7h. Différence : ~ 1h grâce au jet stream (~ 200-300 km/h à 10 000 m).
Pour 1 heure de vol avec correction (situation question 4), de combien de km Tom va-t-il vers le Nord ? Vers l'Ouest ?
Vitesse-sol corrigée : v⃗ = (0 ; 193,6) — plein Nord.
Distance parcourue en 1 h :
Position après 1 h : (0 ; 193,6). Atteinte de la cible si elle était à 193,6 km plein Nord.
Sans correction, Tom serait à (50 ; 200) → trajectoire à 14° vers l'Est, manque la cible.
Comment Tom utilise-t-il ce calcul en navigation aérienne réelle ?
En aviation, on utilise la « règle du triangle des vents », fondée exactement sur ce calcul vectoriel.
Avant chaque vol, le pilote :
Sans ce calcul, on dérive et on rate sa destination ! Tous les pilotes apprennent ça en 1ère heure.
Application identique pour les marins, nageurs en rivière, voiliers qui dérivent à cause des courants.
Rédiger en 5 lignes la procédure du pilote pour préparer un vol avec vent latéral.
Procédure — Préparation d'un vol avec vent latéral
1. Consulter la météo aéronautique (METAR, TAF) : direction et force du vent à l'altitude prévue.
2. Tracer le cap géographique entre le départ et la destination (boussole, carte aéronautique).
3. Décomposer le vent en composante longitudinale (vent arrière/face) et latérale.
4. Calculer le cap à tenir : incliner vers le côté d'où vient le vent (compensation). Utiliser le triangle des vents.
5. Estimer la vitesse-sol et le temps de vol ; ajuster le plan de vol et le carburant en conséquence.
Une nageuse veut traverser une rivière de 80 m de large, perpendiculairement, en nageant à 1 m/s. Le courant l'entraîne à 0,5 m/s parallèlement à la rive. Combien de temps met-elle ? Et où arrive-t-elle ?
v_nageuse⃗ = (0 ; 1) m/s (perpendiculaire au courant). v_courant⃗ = (0,5 ; 0).
v⃗ = (0,5 ; 1). ||v⃗|| = √(0,25 + 1) = √1,25 ≈ 1,12 m/s.
Temps de traversée (déterminé par la composante perpendiculaire 1 m/s) : t = 80 / 1 = 80 secondes.
Distance parallèle parcourue (entraînement par le courant) : 0,5 × 80 = 40 m.
La nageuse arrive 40 m en aval de son point cible. Pour atterrir face à elle, elle devrait nager légèrement contre le courant (cap incliné).