Chapitre 6 – Vecteurs et géométrie analytique | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Tom, livreur à vélo cargo dans une ville plate, doit relier 3 clients dans le quartier. Voici leurs positions, en kilomètres par rapport à son point de départ (l'entrepôt) :
| Point | Coordonnées (km) | Description |
|---|---|---|
| O | (0 ; 0) | Entrepôt (départ et arrivée) |
| A | (3 ; 4) | Boulangerie |
| B | (−2 ; 5) | Restaurant |
| C | (1 ; −3) | Bureau |
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (vecteur entre 2 points), §2 (norme) et §4 (application en repère).
Calculer la distance entre l'origine O(0 ; 0) et chacun des 3 clients A, B, C.
Distance (norme du vecteur) : ||OM⃗|| = √(x_M² + y_M²).
C est le plus proche, A et B sont à distance similaire.
Calculer le vecteur AB⃗ (déplacement de A à B). Quelle est sa norme ?
AB⃗ = (x_B − x_A ; y_B − y_A) = (−2 − 3 ; 5 − 4) = (−5 ; 1).
||AB⃗|| = √((−5)² + 1²) = √(25 + 1) = √26 ≈ 5,1 km.
C'est la distance directe entre A et B.
Calculer également les distances AC, BC.
AC⃗ = (1 − 3 ; −3 − 4) = (−2 ; −7) → ||AC⃗|| = √(4 + 49) = √53 ≈ 7,3 km.
BC⃗ = (1 − (−2) ; −3 − 5) = (3 ; −8) → ||BC⃗|| = √(9 + 64) = √73 ≈ 8,5 km.
BC est la plus grande distance entre 2 clients.
Comparer 2 trajets pour la tournée (départ et retour à O) :
Quel est le plus court ?
Récapitulatif : OA = 5,0 ; OB = 5,4 ; OC = 3,2 ; AB = 5,1 ; AC = 7,3 ; BC = 8,5.
Trajet (a) : OA + AB + BC + CO = 5,0 + 5,1 + 8,5 + 3,2 = 21,8 km.
Trajet (b) : OC + CA + AB + BO = 3,2 + 7,3 + 5,1 + 5,4 = 21,0 km.
Le trajet (b) est plus court de 0,8 km. Économie de ~ 4 %.
Sur 100 tournées par mois (≈ 1 par jour ouvré), économie ~ 80 km/mois. Significatif pour le temps de travail.
Calculer un 3ème trajet : O → B → A → C → O. Le comparer aux 2 précédents.
Trajet (c) : OB + BA + AC + CO = 5,4 + 5,1 + 7,3 + 3,2 = 21,0 km.
Identique au trajet (b). C'est en fait l'ordre inverse de (b) : O → C → A → B → O ↔ O → B → A → C → O.
Pour 3 points autour de O, il y a 6 ordres possibles, mais 3 sont les inverses des autres → seulement 3 distances différentes possibles.
Avec un vélo à 15 km/h, combien de temps prend la tournée optimale (21 km) ? Et avec un véhicule à 30 km/h ?
Temps = distance / vitesse.
Vélo (15 km/h) : 21 / 15 = 1 h 24 min.
Véhicule (30 km/h en ville) : 21 / 30 = 42 min.
Temps réel à prévoir : ajouter 5-10 min par client (livraison, paiement) → vélo ~ 1h45-2h, véhicule ~ 1h-1h15.
Avec 5-6 livraisons/jour : vélo cargo réaliste pour les courtes distances urbaines.
Tom doit livrer un 4ème client D(−4 ; −2). Recalculer toutes les distances depuis D et chercher le meilleur trajet à 4 escales.
Distances depuis D :
Avec 4 points (24 ordres possibles, 12 distincts), trouver l'optimum nécessite des essais. Solution intuitive : ordre par direction.
Trajet O → C → D → B → A → O : 3,2 + 5,1 + 7,3 + 5,1 + 5,0 = 25,7 km.
Trajet O → D → C → A → B → O : 4,5 + 5,1 + 7,3 + 5,1 + 5,4 = 27,4 km. Moins bon.
Le 1er ordre paraît meilleur. À tester avec un algorithme dédié pour confirmer.
Rédiger en 5 lignes une procédure pour Tom : comment optimiser sa tournée chaque matin ?
Procédure — Optimisation de tournée à vélo cargo
1. Lister les coordonnées des clients dans un repère centré sur l'entrepôt.
2. Calculer toutes les distances entre paires de points (formule √((Δx)² + (Δy)²)) → tableau matriciel.
3. Tracer un schéma rapide. Tester plusieurs ordres en partant intuitivement par les plus proches ou en suivant un sens logique (horloge).
4. Pour 3-4 clients : 6-12 ordres possibles, calculer chaque trajet manuellement.
5. Pour 5+ clients : utiliser une appli routière (Google Maps « optimiser », Circuit) qui résout automatiquement le problème du voyageur de commerce.
Le problème du voyageur de commerce (TSP) : pour n clients, on a (n−1)!/2 trajets possibles. Pour n = 10, calculer ce nombre. Pour n = 20 ?
n = 10 : 9! / 2 = 362 880 / 2 = 181 440 trajets différents.
n = 20 : 19! / 2 = 121 645 100 408 832 000 / 2 ≈ 6 × 10¹⁶. 60 millions de milliards de trajets.
Impossible à tester un par un, même avec un super-ordinateur.
Le TSP est l'un des problèmes les plus étudiés en algorithmique. Pas de solution exacte rapide connue (problème NP-hard).
Solutions pratiques : algorithmes heuristiques (« plus proche voisin », « 2-opt », « algorithmes génétiques ») qui donnent une approximation proche de l'optimum en quelques secondes.
Applications réelles : UPS, Amazon, La Poste utilisent des logiciels TSP pour optimiser leurs millions de tournées chaque jour. Économies massives en carburant.