Chapitre 6 – Vecteurs et géométrie analytique | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Yves, charpentier, conçoit une véranda où une poutre horizontale (qui supportera la couverture) est suspendue par 2 câbles obliques fixés en hauteur. Il doit vérifier que l'ensemble est en équilibre, puis calculer la tension des câbles pour choisir leur diamètre.
| Force | Composante x | Composante y | Description |
|---|---|---|---|
| P (poids) | 0 | −1 200 | Vers le bas |
| T₁ (câble gauche) | −800 | +600 | Vers le haut-gauche |
| T₂ (câble droit) | +800 | +600 | Vers le haut-droit |
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (vecteurs et coordonnées) et §3 (somme vectorielle).
Que signifie qu'un solide est « en équilibre » du point de vue des forces ?
Un solide est en équilibre (statique) lorsque la somme vectorielle de toutes les forces qui s'exercent sur lui est nulle :
Σ F⃗ = 0⃗
En coordonnées : la somme des x est nulle ET la somme des y est nulle.
Si la résultante n'est pas nulle, le solide accélère dans la direction de la résultante (loi de Newton).
Calculer la résultante R⃗ = P⃗ + T₁⃗ + T₂⃗ (composantes x et y).
R_x = 0 + (−800) + 800 = 0
R_y = −1 200 + 600 + 600 = 0
R⃗ = (0 ; 0) = 0⃗.
La résultante est nulle → la poutre est en équilibre. ✓
Calculer la norme (intensité) de chaque tension : ||T₁⃗|| et ||T₂⃗||.
||T₁⃗|| = √((−800)² + 600²) = √(640 000 + 360 000) = √1 000 000 = 1 000 N.
||T₂⃗|| = √(800² + 600²) = 1 000 N (même calcul, symétrique).
Chaque câble doit supporter une tension de 1 000 N (≈ 100 kg).
Note : on retrouve le triplet pythagoricien 6-8-10 (× 100).
Quelle est la norme du poids ? Comparer aux 2 tensions cumulées en composantes verticales.
||P⃗|| = √(0² + (−1 200)²) = 1 200 N.
Composante verticale des tensions : T₁_y + T₂_y = 600 + 600 = 1 200 N.
Conclusion : les 2 câbles ensemble compensent exactement le poids vers le haut. ✓
De même, les composantes horizontales de T₁ et T₂ s'annulent (−800 + 800 = 0) → pas de mouvement latéral.
Yves a un câble qui supporte 800 N maximum (résistance à la traction). Convient-il ? Si non, quelles solutions ?
Non : 1 000 N > 800 N → risque de rupture. Le câble peut casser à tout moment.
Solutions :
Règle pro : toujours doubler ou tripler la résistance théorique pour les charges humaines (sécurité). Ici, viser 2 500-3 000 N par câble.
Si Yves incline les câbles à 30° par rapport à la verticale (au lieu de 45° actuellement), quelle est la nouvelle tension par câble pour le même poids ?
Pour un angle θ par rapport à la verticale, la composante verticale de la tension est T × cos(θ).
Équilibre vertical : 2 × T × cos(θ) = P → T = P / (2 × cos θ).
Avec θ = 30° et P = 1 200 N : T = 1 200 / (2 × 0,866) = 1 200 / 1,732 ≈ 693 N.
Avec θ = 45° (cas actuel) : T = 1 200 / (2 × 0,707) ≈ 849 N (cohérent avec 1 000 N approximé).
Plus les câbles sont verticaux (θ petit), plus la tension est faible.
Inconvénient : à 30° de la verticale, l'écart entre les fixations est plus petit → la poutre est moins stable latéralement.
Si la poutre supporte un poids supplémentaire de 600 N (ex. tuiles ajoutées), quelle nouvelle tension par câble (configuration 45°) ?
Nouveau poids : 1 200 + 600 = 1 800 N.
Nouvelle tension par câble (à 45°) : 1 800 / (2 × 0,707) ≈ 1 273 N.
Augmentation : +27 % par rapport aux 1 000 N initiaux.
Si Yves prévoit cette charge supplémentaire, ses câbles à 800 N sont totalement insuffisants. Il doit prévoir des câbles d'au moins 2 500 N (marge sécurité × 2).
Rédiger en 5 lignes la note technique pour le client (résumé du calcul de tension).
Note technique — Suspension de poutre véranda
Configuration : poutre 1 200 N suspendue par 2 câbles obliques à 45° de la verticale.
Marge supplémentaire à prévoir si charge ajoutée (tuiles, neige). Vérifier régulièrement l'état des câbles (corrosion).
Une grue de chantier soulève une charge de 5 tonnes (50 000 N) avec 3 câbles disposés en triangle (à 60° de la verticale chacun). Quelle est la tension par câble ?
Les 3 câbles sont à 60° de la verticale. Composante verticale par câble : T × cos(60°) = T/2.
Équilibre vertical : 3 × T/2 = 50 000 → T = 50 000 × 2/3 = 33 333 N.
Soit ~ 3,4 tonnes de tension par câble. Énorme.
Remarque : les composantes horizontales (à 120° les unes des autres) s'annulent par symétrie.
Pour soulever en sécurité 5 t avec 3 câbles à 60° : choisir des câbles d'au moins 100 kN (10 tonnes) chacun. C'est pour ça que les grues de chantier ont des câbles très épais (Ø 30 mm ou plus).