Ch05 – Fonctions exponentielles et logarithme décimal – QCM

Question 1

Fonction exponentielle – Définition du domaine

La fonction \(f(x) = 2^x\) est définie pour :

\(x \geq 0\) seulement tout réel \(x\) \(x > 1\) seulement \(x > 0\) seulement

Question 2

Propriétés algébriques – Multiplication

On simplifie \(3^4 \times 3^2\). Le résultat est :

\(3^6\) \(3^8\) \(9^6\) \(3^{4 \times 2}\)

Question 3

Valeur particulière – \(a^0\)

Quelle est la valeur de \(7^0\) ?

7 0 1 indéterminé

Question 4

Signe de \(a^x\)

Pour tout réel \(x\), \(2^x\) est :

positif ou négatif selon \(x\) nul quand \(x = 0\) négatif si \(x < 0\) toujours strictement positif

Question 5

Variations – Base supérieure à 1

La fonction \(f(x) = 3^x\) est :

strictement décroissante strictement croissante constante décroissante puis croissante

Question 6

Variations – Base entre 0 et 1

La fonction \(f(x) = (0{,}5)^x\) est :

strictement décroissante strictement croissante constante nulle en 0

Question 7

Valeurs remarquables du logarithme

\(\log(1)\) est égal à :

1 10 0 indéfini

Question 8

Valeurs remarquables du logarithme

\(\log(10)\) est égal à :

0 1 10 100

Question 9

Logarithme d'une puissance de 10

\(\log(10^3)\) est égal à :

0 1 10 3

Question 10

Domaine de définition du logarithme

\(\log(x)\) est défini pour :

\(x > 0\) tout réel \(x\) \(x \geq 0\) \(x \geq 1\)

Question 11

Propriété – Logarithme d'un produit

\(\log(a \times b)\) est égal à :

\(\log(a) \times \log(b)\) \(\log(a) - \log(b)\) \(\log(a) + \log(b)\) \(\dfrac{\log(a)}{\log(b)}\)

Question 12

Calcul de logarithme

\(\log(100)\) est égal à :

1 2 10 0

Question 13

Point commun des courbes \(a^x\)

Pour tout \(a > 0\), \(a \neq 1\), la courbe de \(f(x) = a^x\) passe toujours par le point :

\((0\,;\,1)\) \((1\,;\,0)\) \((1\,;\,1)\) \((0\,;\,0)\)

Question 14

Calcul – Puissance négative

\(2^{-3}\) est égal à :

\(-8\) \(-6\) \(6\) \(\dfrac{1}{8}\)

Question 15

Variations de \(\log\)

La fonction \(\log\) est :

strictement décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) constante strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) décroissante puis croissante

Question 1

Propriétés algébriques – Simplification

On simplifie \(\dfrac{5^7}{5^3}\). Le résultat est :

\(5^{21}\) \(1^4\) \(5^4\) \(5^{10}\)

Question 2

Propriétés algébriques – Puissance d'une puissance

\(\left(2^3\right)^4\) est égal à :

\(2^7\) \(2^{12}\) \(8^4\) \(2^{34}\)

Question 3

Calcul de logarithme – Propriété du produit

Sachant que \(\log 2 \approx 0{,}301\), calculer \(\log(200)\).

\(0{,}602\) \(1{,}301\) \(20{,}1\) \(2{,}301\)

Question 4

Calcul de logarithme – Propriété de la puissance

Sachant que \(\log 2 \approx 0{,}301\), calculer \(\log(8)\).

\(0{,}903\) \(0{,}301\) \(3{,}01\) \(1{,}204\)

Question 5

Résolution d'équation exponentielle

Pour résoudre \(2^x = 32\), on constate que \(32 = 2^5\). Donc \(x =\) :

\(4\) \(3\) \(5\) \(6\)

Question 6

Résolution par logarithme – Méthode

Pour résoudre \(a^x = b\) (avec \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\)), on obtient :

\(x = \log(b) \times \log(a)\) \(x = \dfrac{\log(b)}{\log(a)}\) \(x = \log(b) - \log(a)\) \(x = \log(b + a)\)

Question 7

Résolution d'une équation logarithmique

On résout \(\log(x) = 2\). La solution est :

\(x = 2\) \(x = 20\) \(x = 0{,}01\) \(x = 100\)

Question 8

Résolution d'équation – Calcul numérique

On résout \(2^x = 50\). Sachant que \(\log 2 \approx 0{,}301\) et \(\log 50 \approx 1{,}699\), la solution approchée est :

\(x \approx 5{,}64\) \(x \approx 0{,}51\) \(x \approx 2\) \(x \approx 48{,}3\)

Question 9

Inéquation exponentielle – Sens de l'inégalité

On résout \(2^x \leq 50\). Sachant que \(\log 2 > 0\), le sens de l'inégalité lors de la division par \(\log 2\) :

s'inverse est conservé dépend de \(x\) devient une égalité

Question 10

Inéquation exponentielle – Base inférieure à 1

On résout \((0{,}8)^n < 0{,}5\). Puisque \(\log(0{,}8) < 0\), lors de la division par \(\log(0{,}8)\) le sens de l'inégalité :

est conservé devient une égalité s'inverse disparaît

Question 11

Application – Dépréciation d'un équipement

Un équipement vaut 10 000 € et perd 10 % de sa valeur chaque année. Sa valeur après \(n\) années est modélisée par :

\(V(n) = 10\,000 \times 0{,}9^n\) \(V(n) = 10\,000 - 0{,}1 \times n\) \(V(n) = 10\,000 \times 1{,}1^n\) \(V(n) = 10\,000 \times 0{,}1^n\)

Question 12

Application – Niveau sonore en décibels

Le niveau sonore est donné par \(L = 10 \times \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\). Si \(\dfrac{I}{I_0} = 10^6\), alors \(L =\) :

6 dB 10 dB 1 dB 60 dB

Question 13

Suite géométrique – Lien avec \(a^x\)

Une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 500\) et de raison \(q = 1{,}04\) vérifie :

\(u_n = 500 + 1{,}04 \times n\) \(u_n = 500 \times 1{,}04^n\) \(u_n = 500 \times n^{1{,}04}\) \(u_n = 500 \div 1{,}04^n\)

Question 14

Résolution d'inéquation logarithmique

On résout \(\log(x) \geq 3\). La solution est :

\(x \geq 3\) \(x \geq 30\) \(x \geq 1000\) \(x \leq 1000\)

Question 15

Application – Calcul de valeur après dépréciation

Un outil vaut 8 000 € et perd 20 % par an. Sa valeur après 3 ans est :

\(8\,000 \times 0{,}8^3 \approx 4\,096\,\text{€}\) \(8\,000 - 3 \times 0{,}20 = 7\,999{,}4\,\text{€}\) \(8\,000 \times 1{,}2^3 \approx 13\,824\,\text{€}\) \(8\,000 \times 0{,}2^3 = 64\,\text{€}\)

Question 1

Résolution d'équation exponentielle – Calcul précis

On résout \(3^x = 100\). Sachant que \(\log 3 \approx 0{,}4771\), la solution approchée est :

\(x \approx 2{,}10\) \(x \approx 4{,}19\) \(x \approx 33{,}3\) \(x \approx 0{,}239\)

Question 2

Inéquation – Base inférieure à 1 et calcul

On résout \((0{,}85)^n < 0{,}5\). Sachant que \(\log(0{,}85) \approx -0{,}0706\) et \(\log(0{,}5) \approx -0{,}301\), la solution est :

\(n < 4{,}26\) \(n < 0{,}234\) \(n > 0{,}234\) \(n > 4{,}26\)

Question 3

Suite géométrique – Recherche de rang

Soit \(u_n = 5000 \times 0{,}9^n\). À partir de quel rang \(n\) a-t-on \(u_n < 1000\) ? (\(\log(0{,}9) \approx -0{,}0458\), \(\log(0{,}2) \approx -0{,}699\))

À partir de \(n = 16\) À partir de \(n = 5\) À partir de \(n = 10\) À partir de \(n = 3\)

Question 4

Dépréciation – Recherche de l'année seuil

Un outil vaut 12 000 € et perd 15 % par an : \(V(n) = 12\,000 \times 0{,}85^n\). À partir de quel rang \(n\) entier \(V(n) < 2\,000\) ? (\(\log(0{,}85) \approx -0{,}0706\), \(\log(1/6) \approx -0{,}7782\))

À partir de \(n = 5\) À partir de \(n = 8\) À partir de \(n = 12\) À partir de \(n = 20\)

Question 5

Calcul de logarithme – Quotient

Sachant que \(\log 2 \approx 0{,}301\), calculer \(\log(5)\).

\(0{,}301\) \(0{,}699\) \(1{,}301\) \(2{,}5\)

Question 6

Niveau sonore – Calcul d'intensité

Le niveau sonore est \(L = 10 \times \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\) avec \(I_0 = 10^{-12}\) W/m². Pour \(L = 80\) dB, le rapport \(\dfrac{I}{I_0}\) vaut :

\(10^{8{,}0}\) et donc \(I = 8 \times 10^{-12}\) W/m² \(10^{80}\) \(10^{0{,}8}\) \(10^8\) et donc \(I = 10^{-4}\) W/m²

Question 7

Propriété – Logarithme d'une puissance

\(\log(a^n) =\) :

\(n \times \log(a)\) \(\log(a)^n\) \(n + \log(a)\) \(\dfrac{\log(a)}{n}\)

Question 8

Résolution d'équation – Contexte professionnel

Un installateur thermique modélise la consommation énergétique par \(C(n) = 3000 \times 0{,}95^n\) (kWh). À partir de quel rang \(n\) la consommation passe-t-elle sous 1 500 kWh ? (\(\log(0{,}95) \approx -0{,}0223\), \(\log(0{,}5) \approx -0{,}301\))

À partir de \(n = 5\) À partir de \(n = 10\) À partir de \(n = 14\) À partir de \(n = 20\)

Question 9

Inéquation logarithmique

On résout \(\log(x) < -1\). En tenant compte du domaine de définition, la solution est :

\(x < -0{,}1\) \(0 < x < 0{,}1\) \(x < 0{,}1\) \(x \leq 0{,}1\)

Question 10

Propriété – Logarithme d'une fraction

\(\log\!\left(\dfrac{1}{a}\right) =\) :

\(\log(a) + 1\) \(\dfrac{1}{\log(a)}\) \(1 - \log(a)\) \(-\log(a)\)

Question 11

Intérêts composés – Recherche de durée

Un capital de 2 000 € est placé à 4 % d'intérêts composés annuels : \(C(n) = 2000 \times 1{,}04^n\). Combien d'années pour dépasser 3 000 € ? (\(\log(1{,}04) \approx 0{,}0170\), \(\log(1{,}5) \approx 0{,}1761\))

Il faut \(n > 10{,}36\), donc à partir de \(n = 11\) ans Il faut \(n > 4\), donc à partir de \(n = 5\) ans Il faut \(n > 25\), donc à partir de \(n = 26\) ans Il faut \(n > 3\), donc à partir de \(n = 4\) ans

Question 12

Calcul avancé – Logarithme de 0,01

\(\log(0{,}01)\) est égal à :

2 0 \(-2\) \(0{,}01\)

Question 13

Résolution d'équation – Calcul complet

On résout \(10^x = 3{,}16 \times 10^{-3}\). Sachant que \(\log(3{,}16) \approx 0{,}5\), la solution est :

\(x \approx 3{,}5\) \(x \approx -2{,}5\) \(x \approx -3{,}16\) \(x \approx 0{,}5\)

Question 14

Contexte pro – Dépréciation et résolution

Un menuisier agenceur possède une machine à commande numérique valant 25 000 €. Elle se déprécie de 12 % par an : \(V(n) = 25\,000 \times 0{,}88^n\). À partir de quel rang entier \(n\) vaut-elle moins de 5 000 € ? (\(\log(0{,}88) \approx -0{,}0555\), \(\log(0{,}2) \approx -0{,}699\))

À partir de \(n = 5\) À partir de \(n = 8\) À partir de \(n = 10\) À partir de \(n = 13\)

Question 15

Raisonnement – Signes et variations

Soit \(a > 1\). On veut résoudre \(a^x \geq a^k\) (avec \(k\) réel). Puisque \(f(x) = a^x\) est croissante pour \(a > 1\), la solution est :

\(x \geq k\) \(x \leq k\) \(x \geq -k\) \(x \leq -k\)