Fonctions exponentielles et logarithme décimal — Terminale Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Calculer sans calculatrice :
a) \(\log(1\,000) = \log(10^{...}) = ...\)
b) \(\log(0{,}01) = \log(10^{...}) = ...\)
c) \(\log(1) = ...\)
d) \(\log(10) = ...\)
a) \(\log(1\,000) = \log(10^3) = \mathbf{3}\)
b) \(\log(0{,}01) = \log(10^{-2}) = \mathbf{-2}\)
c) \(\log(1) = \log(10^0) = \mathbf{0}\)
d) \(\log(10) = \mathbf{1}\)
On donne \(\log(2) \approx 0{,}301\). Calculer :
a) \(\log(200) = \log(2 \times 100) = \log(2) + \log(100) = 0{,}301 + ... = ...\)
b) \(\log(8) = \log(2^3) = 3 \times \log(2) = 3 \times 0{,}301 = ...\)
a) \(\log(200) = \log(2) + \log(100) = 0{,}301 + 2 = \mathbf{2{,}301}\)
b) \(\log(8) = 3 \times 0{,}301 = \mathbf{0{,}903}\)
Compléter le tableau de valeurs de \(f(x) = 2^x\) :
| \(x\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2^x\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
La fonction \(f(x) = 2^x\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
| \(x\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2^x\) | \(\mathbf{0{,}25}\) | \(\mathbf{0{,}5}\) | \(\mathbf{1}\) | \(\mathbf{2}\) | \(\mathbf{4}\) | \(\mathbf{8}\) |
La base est \(a = 2 > 1\), donc \(f(x) = 2^x\) est strictement croissante : quand \(x\) augmente, \(2^x\) augmente.
Résoudre :
a) \(\log(x) = 2 \implies x = 10^{...} = ...\)
b) \(2^x = 16\). On remarque que \(16 = 2^{...}\), donc \(x = ...\)
a) \(\log(x) = 2 \implies x = 10^2 = \mathbf{100}\)
b) \(16 = 2^4\), donc \(2^x = 2^4\), d'où \(x = \mathbf{4}\).
Un outil industriel coûte 6 000 € à l'achat. Sa valeur diminue de 20 % chaque année.
a) Donner la raison \(q\) : \(q = 1 - \dfrac{20}{100} = ...\)
b) Écrire \(V(n) = ... \times ...^n\)
c) Calculer la valeur après 3 ans : \(V(3) = 6\,000 \times ...^3 = ...\) €
a) \(q = 1 - 0{,}20 = \mathbf{0{,}80}\)
b) \(V(n) = 6\,000 \times 0{,}80^n\)
c) \(V(3) = 6\,000 \times 0{,}80^3 = 6\,000 \times 0{,}512 = \mathbf{3\,072\,€}\)
Barème : 20 points
Calculer sans calculatrice :
a) \(\log(10\,000) = \log(10^{...}) = ...\)
b) \(\log(0{,}001) = \log(10^{...}) = ...\)
c) \(\log(100) = ...\)
d) \(\log(0{,}1) = ...\)
a) \(\log(10\,000) = \log(10^4) = \mathbf{4}\)
b) \(\log(0{,}001) = \log(10^{-3}) = \mathbf{-3}\)
c) \(\log(100) = \log(10^2) = \mathbf{2}\)
d) \(\log(0{,}1) = \log(10^{-1}) = \mathbf{-1}\)
On donne \(\log(3) \approx 0{,}477\). Calculer :
a) \(\log(300) = \log(3 \times 100) = \log(3) + \log(100) = 0{,}477 + ... = ...\)
b) \(\log(27) = \log(3^3) = 3 \times \log(3) = 3 \times 0{,}477 = ...\)
a) \(\log(300) = \log(3) + \log(100) = 0{,}477 + 2 = \mathbf{2{,}477}\)
b) \(\log(27) = 3 \times 0{,}477 = \mathbf{1{,}431}\)
Compléter le tableau de valeurs de \(f(x) = 3^x\) :
| \(x\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(3^x\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
La fonction \(f(x) = 3^x\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
| \(x\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(3^x\) | \(\mathbf{\dfrac{1}{9} \approx 0{,}11}\) | \(\mathbf{\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33}\) | \(\mathbf{1}\) | \(\mathbf{3}\) | \(\mathbf{9}\) | \(\mathbf{27}\) |
La base est \(a = 3 > 1\), donc \(f(x) = 3^x\) est strictement croissante : quand \(x\) augmente, \(3^x\) augmente.
Résoudre :
a) \(\log(x) = 3 \implies x = 10^{...} = ...\)
b) \(3^x = 81\). On remarque que \(81 = 3^{...}\), donc \(x = ...\)
a) \(\log(x) = 3 \implies x = 10^3 = \mathbf{1\,000}\)
b) \(81 = 3^4\), donc \(3^x = 3^4\), d'où \(x = \mathbf{4}\).
Un compresseur industriel coûte 4 500 € à l'achat. Sa valeur diminue de 15 % chaque année.
a) Donner la raison \(q\) : \(q = 1 - \dfrac{15}{100} = ...\)
b) Écrire \(V(n) = ... \times ...^n\)
c) Calculer la valeur après 4 ans : \(V(4) = 4\,500 \times ...^4 = ...\) €
a) \(q = 1 - 0{,}15 = \mathbf{0{,}85}\)
b) \(V(n) = 4\,500 \times 0{,}85^n\)
c) \(V(4) = 4\,500 \times 0{,}85^4 = 4\,500 \times 0{,}5220 \approx \mathbf{2\,349\,€}\)
Barème : 20 points
Calculer (on donne \(\log(2) \approx 0{,}301\)) :
a) \(\log(400)\)
b) \(\log(5)\)
c) \(\log(0{,}002)\)
a) \(\log(400) = \log(4 \times 100) = \log(2^2) + \log(100) = 2 \times 0{,}301 + 2 = \mathbf{2{,}602}\)
b) \(\log(5) = \log\!\left(\dfrac{10}{2}\right) = \log(10) - \log(2) = 1 - 0{,}301 = \mathbf{0{,}699}\)
c) \(\log(0{,}002) = \log(2 \times 10^{-3}) = \log(2) + \log(10^{-3}) = 0{,}301 + (-3) = \mathbf{-2{,}699}\)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
a) \(5^x = 200\)
b) \(\log(x) = 2{,}5\)
c) \(3^x = 81\)
a) \(x \cdot \log(5) = \log(200)\), donc \(x = \dfrac{\log(200)}{\log(5)} = \dfrac{2{,}301}{0{,}699} \approx \mathbf{3{,}29}\)
b) \(\log(x) = 2{,}5 \implies x = 10^{2{,}5} \approx \mathbf{316}\)
c) \(81 = 3^4\), donc \(3^x = 3^4\), d'où \(x = \mathbf{4}\).
Un véhicule utilitaire est acheté 28 000 € par un artisan menuisier. Sa valeur diminue de 12 % chaque année.
a) Écrire la formule de \(V(n)\).
b) Calculer la valeur après 4 ans.
c) Au bout de combien d'années la valeur passe-t-elle sous 10 000 € ? (Utiliser le logarithme.)
a) \(V(n) = 28\,000 \times 0{,}88^n\)
b) \(V(4) = 28\,000 \times 0{,}88^4 = 28\,000 \times 0{,}5997 \approx \mathbf{16\,791\,€}\)
c) On résout \(0{,}88^n < \dfrac{10\,000}{28\,000} \approx 0{,}3571\).
\(n \cdot \log(0{,}88) < \log(0{,}3571)\). Comme \(\log(0{,}88) \approx -0{,}0555 < 0\), le sens s'inverse :
\(n > \dfrac{\log(0{,}3571)}{\log(0{,}88)} = \dfrac{-0{,}4472}{-0{,}0555} \approx 8{,}06\)
La valeur passe sous 10 000 € à partir de \(\mathbf{n = 9}\) ans.
Résoudre les inéquations suivantes :
a) \(\log(x) \geq 1{,}5\)
b) \(0{,}85^n < 0{,}5\)
a) \(\log\) est croissante, donc \(\log(x) \geq 1{,}5 \iff x \geq 10^{1{,}5} \approx \mathbf{31{,}6}\). Solution : \(x \geq 31{,}6\).
b) \(n \cdot \log(0{,}85) < \log(0{,}5)\). Comme \(\log(0{,}85) \approx -0{,}0706 < 0\), le sens s'inverse :
\(n > \dfrac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}85)} = \dfrac{-0{,}301}{-0{,}0706} \approx 4{,}26\)
Pour \(n\) entier : \(\mathbf{n \geq 5}\).
Vérification : \(0{,}85^4 \approx 0{,}522 > 0{,}5\) ; \(0{,}85^5 \approx 0{,}444 < 0{,}5\) ✓
Un élève écrit : « \(\log(30 + 70) = \log(30) + \log(70)\) ». A-t-il raison ? Justifier par le calcul.
L'élève a tort.
Membre de gauche : \(\log(30 + 70) = \log(100) = 2\).
Membre de droite : \(\log(30) + \log(70) \approx 1{,}477 + 1{,}845 = 3{,}322\).
\(2 \neq 3{,}322\). La propriété correcte est \(\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)\), pas \(\log(a + b)\).
Le logarithme d'une somme ne se simplifie pas.
Barème : 20 points
Calculer (on donne \(\log(3) \approx 0{,}477\)) :
a) \(\log(900)\)
b) \(\log\!\left(\dfrac{10}{3}\right)\)
c) \(\log(0{,}003)\)
a) \(\log(900) = \log(9 \times 100) = \log(3^2) + \log(100) = 2 \times 0{,}477 + 2 = \mathbf{2{,}954}\)
b) \(\log\!\left(\dfrac{10}{3}\right) = \log(10) - \log(3) = 1 - 0{,}477 = \mathbf{0{,}523}\)
c) \(\log(0{,}003) = \log(3 \times 10^{-3}) = \log(3) + \log(10^{-3}) = 0{,}477 + (-3) = \mathbf{-2{,}523}\)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
a) \(4^x = 100\)
b) \(\log(x) = 1{,}8\)
c) \(2^x = 32\)
a) \(x \cdot \log(4) = \log(100)\), donc \(x = \dfrac{\log(100)}{\log(4)} = \dfrac{2}{0{,}602} \approx \mathbf{3{,}32}\)
b) \(\log(x) = 1{,}8 \implies x = 10^{1{,}8} \approx \mathbf{63{,}1}\)
c) \(32 = 2^5\), donc \(2^x = 2^5\), d'où \(x = \mathbf{5}\).
Une scie à panneaux est achetée 18 000 € par un atelier de menuiserie. Sa valeur diminue de 10 % chaque année.
a) Écrire la formule de \(V(n)\).
b) Calculer la valeur après 5 ans.
c) Au bout de combien d'années la valeur passe-t-elle sous 8 000 € ? (Utiliser le logarithme.)
a) \(V(n) = 18\,000 \times 0{,}90^n\)
b) \(V(5) = 18\,000 \times 0{,}90^5 = 18\,000 \times 0{,}5905 \approx \mathbf{10\,629\,€}\)
c) On résout \(0{,}90^n < \dfrac{8\,000}{18\,000} \approx 0{,}4444\).
\(n \cdot \log(0{,}90) < \log(0{,}4444)\). Comme \(\log(0{,}90) \approx -0{,}0458 < 0\), le sens s'inverse :
\(n > \dfrac{\log(0{,}4444)}{\log(0{,}90)} = \dfrac{-0{,}3522}{-0{,}0458} \approx 7{,}69\)
La valeur passe sous 8 000 € à partir de \(\mathbf{n = 8}\) ans.
Résoudre les inéquations suivantes :
a) \(\log(x) \geq 2{,}3\)
b) \(0{,}90^n < 0{,}4\)
a) \(\log\) est croissante, donc \(\log(x) \geq 2{,}3 \iff x \geq 10^{2{,}3} \approx \mathbf{199{,}5}\). Solution : \(x \geq 199{,}5\).
b) \(n \cdot \log(0{,}90) < \log(0{,}4)\). Comme \(\log(0{,}90) \approx -0{,}0458 < 0\), le sens s'inverse :
\(n > \dfrac{\log(0{,}4)}{\log(0{,}90)} = \dfrac{-0{,}3979}{-0{,}0458} \approx 8{,}69\)
Pour \(n\) entier : \(\mathbf{n \geq 9}\).
Vérification : \(0{,}90^8 \approx 0{,}430 > 0{,}4\) ; \(0{,}90^9 \approx 0{,}387 < 0{,}4\) ✓
Un élève écrit : « \(\log(50 \times 20) = \log(50) \times \log(20)\) ». A-t-il raison ? Justifier par le calcul.
L'élève a tort.
Membre de gauche : \(\log(50 \times 20) = \log(1\,000) = 3\).
Membre de droite : \(\log(50) \times \log(20) \approx 1{,}699 \times 1{,}301 = 2{,}210\).
\(3 \neq 2{,}210\). La propriété correcte est \(\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)\), pas \(\log(a) \times \log(b)\).
Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes, pas le produit.
Barème : 20 points
Un outil industriel coûte 12 000 € et perd 15 % de sa valeur chaque année.
a) Écrire \(V(n)\) et calculer la valeur après 5 ans.
b) Résoudre algébriquement (avec le logarithme) : à partir de quelle année la valeur passe-t-elle sous 2 000 € ?
c) Vérifier le résultat en calculant \(V(n)\) pour les deux années encadrant la solution.
a) \(V(n) = 12\,000 \times 0{,}85^n\). Après 5 ans : \(V(5) = 12\,000 \times 0{,}85^5 \approx 12\,000 \times 0{,}4437 \approx \mathbf{5\,324\,€}\).
b) On résout \(12\,000 \times 0{,}85^n < 2\,000\) :
\(0{,}85^n < \dfrac{2\,000}{12\,000} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1\overline{6}\)
\(n \cdot \log(0{,}85) < \log\!\left(\dfrac{1}{6}\right)\). Comme \(\log(0{,}85) \approx -0{,}0706 < 0\), le sens s'inverse :
\(n > \dfrac{\log(1/6)}{\log(0{,}85)} = \dfrac{-0{,}7782}{-0{,}0706} \approx 11{,}02\)
Donc \(\mathbf{n = 12}\) ans.
c) \(V(11) = 12\,000 \times 0{,}85^{11} \approx 2\,161 > 2\,000\) et \(V(12) = 12\,000 \times 0{,}85^{12} \approx 1\,837 < 2\,000\) ✓
Dans un atelier, on mesure un niveau sonore de 95 dB près d'une machine.
On rappelle : \(L = 10 \times \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\) avec \(I_0 = 10^{-12}\) W/m².
a) Calculer l'intensité sonore \(I\) correspondant à 95 dB.
b) Après l'installation d'un capot d'insonorisation, le niveau tombe à 80 dB. Par quel facteur l'intensité a-t-elle été divisée ?
a) \(95 = 10 \times \log\!\left(\dfrac{I}{10^{-12}}\right)\) → \(\log\!\left(\dfrac{I}{10^{-12}}\right) = 9{,}5\) → \(\dfrac{I}{10^{-12}} = 10^{9{,}5}\)
\(I = 10^{9{,}5} \times 10^{-12} = 10^{-2{,}5} \approx \mathbf{3{,}16 \times 10^{-3}\,\text{W/m}^2}\)
b) Pour 80 dB : \(I' = 10^{8-12} = 10^{-4}\) W/m².
Rapport : \(\dfrac{I}{I'} = \dfrac{10^{-2{,}5}}{10^{-4}} = 10^{-2{,}5+4} = 10^{1{,}5} \approx \mathbf{31{,}6}\)
L'intensité a été divisée par environ 31,6 (une différence de 15 dB correspond toujours au facteur \(10^{1{,}5}\)).
Un capital de 8 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 4 %.
a) Écrire \(C(n)\) le capital après \(n\) années.
b) Résoudre \(C(n) \geq 12\,000\) pour déterminer à partir de quelle année le capital dépasse 12 000 €.
c) Déterminer au bout de combien d'années le capital double (résoudre \(1{,}04^n \geq 2\)).
a) \(C(n) = 8\,000 \times 1{,}04^n\)
b) \(8\,000 \times 1{,}04^n \geq 12\,000\) → \(1{,}04^n \geq 1{,}5\) → \(n \cdot \log(1{,}04) \geq \log(1{,}5)\)
\(\log(1{,}04) \approx 0{,}0170 > 0\), donc sens conservé :
\(n \geq \dfrac{\log(1{,}5)}{\log(1{,}04)} = \dfrac{0{,}1761}{0{,}0170} \approx 10{,}35\)
Le capital dépasse 12 000 € à partir de \(\mathbf{n = 11}\) ans.
c) \(1{,}04^n \geq 2\) → \(n \geq \dfrac{\log(2)}{\log(1{,}04)} = \dfrac{0{,}301}{0{,}0170} \approx 17{,}7\)
Le capital double au bout de \(\mathbf{n = 18}\) ans.
Résoudre les inéquations :
a) \(3^x \leq 100\)
b) \((0{,}7)^n < 0{,}1\) — donner la plus petite valeur entière de \(n\).
a) \(x \cdot \log(3) \leq \log(100)\). Comme \(\log(3) \approx 0{,}477 > 0\), sens conservé :
\(x \leq \dfrac{2}{0{,}477} \approx \mathbf{4{,}19}\). Solution : \(x \leq 4{,}19\).
b) \(n \cdot \log(0{,}7) < \log(0{,}1) = -1\). Comme \(\log(0{,}7) \approx -0{,}155 < 0\), sens inversé :
\(n > \dfrac{-1}{-0{,}155} \approx 6{,}45\)
Plus petite valeur entière : \(\mathbf{n = 7}\).
Vérification : \(0{,}7^6 \approx 0{,}118 > 0{,}1\) ; \(0{,}7^7 \approx 0{,}082 < 0{,}1\) ✓
Un élève résout \(0{,}5^x < 0{,}25\) et écrit :
« \(x \cdot \log(0{,}5) < \log(0{,}25)\), donc \(x < \dfrac{\log(0{,}25)}{\log(0{,}5)} = 2\). »
a) Identifier l'erreur commise par l'élève.
b) Donner la résolution correcte.
a) L'erreur est que l'élève divise par \(\log(0{,}5)\) qui est négatif (\(\log(0{,}5) \approx -0{,}301\)) sans inverser le sens de l'inégalité.
b) Résolution correcte : \(x \cdot \log(0{,}5) < \log(0{,}25)\). Comme \(\log(0{,}5) < 0\), le sens s'inverse :
\(x > \dfrac{\log(0{,}25)}{\log(0{,}5)} = \dfrac{-0{,}602}{-0{,}301} = 2\)
Solution : \(\mathbf{x > 2}\).
Vérification : \(0{,}5^3 = 0{,}125 < 0{,}25\) ✓ et \(0{,}5^2 = 0{,}25\), pas strictement inférieur.
Barème : 20 points
Un véhicule utilitaire coûte 25 000 € et perd 18 % de sa valeur chaque année.
a) Écrire \(V(n)\) et calculer la valeur après 4 ans.
b) Résoudre algébriquement (avec le logarithme) : à partir de quelle année la valeur passe-t-elle sous 5 000 € ?
c) Vérifier le résultat en calculant \(V(n)\) pour les deux années encadrant la solution.
a) \(V(n) = 25\,000 \times 0{,}82^n\). Après 4 ans : \(V(4) = 25\,000 \times 0{,}82^4 \approx 25\,000 \times 0{,}4521 \approx \mathbf{11\,302\,€}\).
b) On résout \(25\,000 \times 0{,}82^n < 5\,000\) :
\(0{,}82^n < \dfrac{5\,000}{25\,000} = 0{,}20\)
\(n \cdot \log(0{,}82) < \log(0{,}20)\). Comme \(\log(0{,}82) \approx -0{,}0862 < 0\), le sens s'inverse :
\(n > \dfrac{\log(0{,}20)}{\log(0{,}82)} = \dfrac{-0{,}6990}{-0{,}0862} \approx 8{,}11\)
Donc \(\mathbf{n = 9}\) ans.
c) \(V(8) = 25\,000 \times 0{,}82^8 \approx 5\,126 > 5\,000\) et \(V(9) = 25\,000 \times 0{,}82^9 \approx 4\,203 < 5\,000\) ✓
La concentration d'un produit chimique dans l'air d'un local est de 80 ppm. Cette concentration diminue de 25 % toutes les heures grâce à la ventilation.
On rappelle que la concentration limite tolérable est de 5 ppm.
a) Écrire \(C(n)\) la concentration après \(n\) heures.
b) Résoudre \(C(n) < 5\) pour déterminer au bout de combien d'heures la concentration passe sous le seuil.
a) \(C(n) = 80 \times 0{,}75^n\)
b) \(80 \times 0{,}75^n < 5\) → \(0{,}75^n < \dfrac{5}{80} = 0{,}0625\)
\(n \cdot \log(0{,}75) < \log(0{,}0625)\). Comme \(\log(0{,}75) \approx -0{,}125 < 0\), le sens s'inverse :
\(n > \dfrac{\log(0{,}0625)}{\log(0{,}75)} = \dfrac{-1{,}204}{-0{,}125} \approx 9{,}63\)
La concentration passe sous 5 ppm au bout de \(\mathbf{n = 10}\) heures.
Un capital de 10 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 5 %.
a) Écrire \(C(n)\) le capital après \(n\) années.
b) Résoudre \(C(n) \geq 16\,000\) pour déterminer à partir de quelle année le capital dépasse 16 000 €.
c) Déterminer au bout de combien d'années le capital triple (résoudre \(1{,}05^n \geq 3\)).
a) \(C(n) = 10\,000 \times 1{,}05^n\)
b) \(10\,000 \times 1{,}05^n \geq 16\,000\) → \(1{,}05^n \geq 1{,}6\) → \(n \cdot \log(1{,}05) \geq \log(1{,}6)\)
\(\log(1{,}05) \approx 0{,}02119 > 0\), donc sens conservé :
\(n \geq \dfrac{\log(1{,}6)}{\log(1{,}05)} = \dfrac{0{,}2041}{0{,}02119} \approx 9{,}63\)
Le capital dépasse 16 000 € à partir de \(\mathbf{n = 10}\) ans.
c) \(1{,}05^n \geq 3\) → \(n \geq \dfrac{\log(3)}{\log(1{,}05)} = \dfrac{0{,}477}{0{,}02119} \approx 22{,}5\)
Le capital triple au bout de \(\mathbf{n = 23}\) ans.
Résoudre les inéquations :
a) \(4^x \leq 200\)
b) \((0{,}8)^n < 0{,}05\) — donner la plus petite valeur entière de \(n\).
a) \(x \cdot \log(4) \leq \log(200)\). Comme \(\log(4) \approx 0{,}602 > 0\), sens conservé :
\(x \leq \dfrac{\log(200)}{\log(4)} = \dfrac{2{,}301}{0{,}602} \approx \mathbf{3{,}82}\). Solution : \(x \leq 3{,}82\).
b) \(n \cdot \log(0{,}8) < \log(0{,}05)\). Comme \(\log(0{,}8) \approx -0{,}0969 < 0\), sens inversé :
\(n > \dfrac{\log(0{,}05)}{\log(0{,}8)} = \dfrac{-1{,}301}{-0{,}0969} \approx 13{,}43\)
Plus petite valeur entière : \(\mathbf{n = 14}\).
Vérification : \(0{,}8^{13} \approx 0{,}055 > 0{,}05\) ; \(0{,}8^{14} \approx 0{,}044 < 0{,}05\) ✓
Un élève résout \(0{,}6^x < 0{,}1\) et écrit :
« \(x \cdot \log(0{,}6) < \log(0{,}1)\), donc \(x < \dfrac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}6)} \approx 4{,}51\). »
a) Identifier l'erreur commise par l'élève.
b) Donner la résolution correcte.
a) L'erreur est que l'élève divise par \(\log(0{,}6)\) qui est négatif (\(\log(0{,}6) \approx -0{,}222\)) sans inverser le sens de l'inégalité.
b) Résolution correcte : \(x \cdot \log(0{,}6) < \log(0{,}1)\). Comme \(\log(0{,}6) < 0\), le sens s'inverse :
\(x > \dfrac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}6)} = \dfrac{-1}{-0{,}222} \approx 4{,}51\)
Solution : \(\mathbf{x > 4{,}51}\).
Vérification : \(0{,}6^4 = 0{,}1296 > 0{,}1\) et \(0{,}6^5 = 0{,}0778 < 0{,}1\) ✓