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Chapitre 5 – Exercices par capacités

Fonctions exponentielles et logarithme décimal  |  Terminale Bac Pro  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Calculer des images et propriétés de \(f(x) = a^x\)

Rappel de cours

La fonction exponentielle de base \(a\) est \(f(x) = a^x\) (avec \(a > 0\), \(a \neq 1\)). Si \(a > 1\) : \(f\) est croissante ; si \(0 < a < 1\) : \(f\) est décroissante. On a toujours \(a^0 = 1\), \(a^1 = a\), \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). En contexte : coefficient multiplicateur \(q = 1 + t/100\) pour une suite géométrique.

−2 −1 O 1 2 1 2 (0 ; 1) 2ˣ (0,5)ˣ
\(2^x\) croissante (bleu) et \((0{,}5)^x\) décroissante (rouge) — toutes passent par \((0\,;\,1)\)

Exercice 1

Soit \(f(x) = 2^x\). Calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(3)\), \(f(-1)\) et \(f(0{,}5)\).
Préciser si \(f\) est croissante ou décroissante et justifier.

\(f(0) = 2^0 = 1\)
\(f(1) = 2^1 = 2\)
\(f(3) = 2^3 = 8\)
\(f(-1) = 2^{-1} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\)
\(f(0{,}5) = 2^{0{,}5} = \sqrt{2} \approx 1{,}414\)

Sens de variation : comme \(a = 2 > 1\), la fonction \(f(x) = 2^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Lorsque \(x\) augmente, \(2^x\) augmente.

Exercice 2

Soit \(g(x) = (0{,}5)^x\). Calculer \(g(0)\), \(g(1)\), \(g(2)\), \(g(-2)\).
La fonction est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.

\(g(0) = (0{,}5)^0 = 1\)
\(g(1) = 0{,}5\)
\(g(2) = (0{,}5)^2 = 0{,}25\)
\(g(-2) = (0{,}5)^{-2} = \dfrac{1}{0{,}25} = 4\)

Sens de variation : comme \(a = 0{,}5\) et \(0 < 0{,}5 < 1\), la fonction \(g(x) = (0{,}5)^x\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\). Lorsque \(x\) augmente, \((0{,}5)^x\) diminue.

Exercice 3

On place 5 000 € sur un compte qui rapporte 3 % par an. La somme après \(n\) années est :
\(S(n) = 5000 \times 1{,}03^n\).
Calculer \(S(1)\), \(S(5)\) et \(S(10)\). La suite est-elle croissante ou décroissante ?

\(S(1) = 5000 \times 1{,}03 = 5150\ €\)
\(S(5) = 5000 \times 1{,}03^5 \approx 5000 \times 1{,}1593 \approx 5796{,}37\ €\)
\(S(10) = 5000 \times 1{,}03^{10} \approx 5000 \times 1{,}3439 \approx 6719{,}58\ €\)

Sens de variation : comme \(a = 1{,}03 > 1\), la suite est croissante. La somme augmente chaque année (placement à intérêts composés).

Exercice 4

Comparer les valeurs de \(3^5\) et \(5^3\) sans calculatrice en utilisant vos connaissances sur la croissance des fonctions exponentielles.

On calcule directement :
\(3^5 = 243\)
\(5^3 = 125\)

Donc \(3^5 > 5^3\).

Remarque : bien que 5 > 3, élever 3 à une puissance plus grande (5 > 3) peut donner un résultat plus grand. On ne peut pas comparer deux expressions exponentielles sans les calculer si les bases sont différentes.

C2 — Propriétés du logarithme décimal \(\log_{10}\)

À retenir — Propriétés du log décimal

\(\log(ab) = \log a + \log b\)  |  \(\log\!\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b\)  |  \(\log(a^n) = n\log a\)
Valeurs clés : \(\log 1 = 0\), \(\log 10 = 1\), \(\log 100 = 2\), \(\log 0{,}1 = -1\). Pour tout \(x > 0\) : \(\log(10^x) = x\).

Exercice 5

Rappel : \(\log(ab) = \log(a) + \log(b)\) ; \(\log(a^n) = n\log(a)\) ; \(\log\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)\) ; \(\log(10) = 1\) ; \(\log(1) = 0\).

Calculer sans calculatrice :

  1. \(\log(100)\)
  2. \(\log(0{,}01)\)
  3. \(\log(10^5)\)
  4. \(\log(1000)\)
a) \(\log(100) = \log(10^2) = 2\log(10) = 2\)
b) \(\log(0{,}01) = \log(10^{-2}) = -2\log(10) = -2\)
c) \(\log(10^5) = 5\log(10) = 5\)
d) \(\log(1000) = \log(10^3) = 3\)

Exercice 6

Simplifier les expressions suivantes à l'aide des propriétés du logarithme :

  1. \(\log(4) + \log(25)\)
  2. \(\log(500) - \log(5)\)
  3. \(3\log(2) + \log(125)\)
a) \(\log(4) + \log(25) = \log(4 \times 25) = \log(100) = 2\)
b) \(\log(500) - \log(5) = \log\!\left(\dfrac{500}{5}\right) = \log(100) = 2\)
c) \(3\log(2) + \log(125) = \log(2^3) + \log(125) = \log(8 \times 125) = \log(1000) = 3\)

Exercice 7

L'atténuation acoustique \(A\) (en décibels) d'un matériau isolant est donnée par :
\(A = 10 \times \log\!\left(\dfrac{I_1}{I_2}\right)\)
où \(I_1\) et \(I_2\) sont les intensités sonores avant et après l'isolant.
Calculer \(A\) si \(\dfrac{I_1}{I_2} = 10^4\). Que vaut \(A\) si ce rapport est doublé (c'est-à-dire \(\dfrac{I_1}{I_2} = 2 \times 10^4\)) ?

Pour \(I_1/I_2 = 10^4\) :
\(A = 10 \times \log(10^4) = 10 \times 4 = 40\ \text{dB}\)

Pour \(I_1/I_2 = 2 \times 10^4\) :
\(A = 10 \times \log(2 \times 10^4) = 10 \times (\log 2 + \log 10^4) = 10 \times (0{,}301 + 4) = 10 \times 4{,}301 \approx 43\ \text{dB}\)

Interprétation : doubler le rapport d'intensité n'ajoute que 3 dB (car \(10 \times \log 2 \approx 3\)).

Exercice 8

On sait que \(\log(2) \approx 0{,}301\) et \(\log(3) \approx 0{,}477\). Calculer, sans calculatrice :

  1. \(\log(6)\)
  2. \(\log(9)\)
  3. \(\log(0{,}5)\)
  4. \(\log(18)\)
a) \(\log(6) = \log(2 \times 3) = \log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778\)
b) \(\log(9) = \log(3^2) = 2\log 3 \approx 2 \times 0{,}477 = 0{,}954\)
c) \(\log(0{,}5) = \log\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\log 2 \approx -0{,}301\)
d) \(\log(18) = \log(2 \times 3^2) = \log 2 + 2\log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}954 = 1{,}255\)

C3 — Résoudre des équations \(a^x = b\) avec \(\log_{10}\)

À retenir

Pour résoudre \(a^x = b\) (avec \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\)) : appliquer \(\log\) des deux membres → \(x\log a = \log b\) → \(x = \dfrac{\log b}{\log a}\). Si \(a = 10\) : \(x = \log b\) directement.

Exercice 9

Méthode : \(a^x = b \Leftrightarrow x\log(a) = \log(b) \Leftrightarrow x = \dfrac{\log(b)}{\log(a)}\) (si \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\)).

Résoudre les équations suivantes (arrondir au centième) :

  1. \(2^x = 8\) (résoudre sans calculatrice)
  2. \(3^x = 20\)
  3. \(5^x = 100\)
a) \(2^x = 8 = 2^3\) donc \(x = 3\). (Sans calculatrice, en reconnaissant la puissance.)

b) \(3^x = 20 \Leftrightarrow x\log 3 = \log 20\)
\(x = \dfrac{\log 20}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}301}{0{,}477} \approx 2{,}73\)

c) \(5^x = 100 \Leftrightarrow x\log 5 = \log 100 = 2\)
\(x = \dfrac{2}{\log 5} \approx \dfrac{2}{0{,}699} \approx 2{,}86\)

Exercice 10

Un équipement de chauffage perd 15 % de son rendement par an. Son rendement après \(n\) années est :
\(R(n) = R_0 \times (0{,}85)^n\).
On souhaite savoir au bout de combien d'années le rendement sera réduit à la moitié de sa valeur initiale.
Résoudre \((0{,}85)^n = 0{,}5\).

\((0{,}85)^n = 0{,}5\)
\(n \times \log(0{,}85) = \log(0{,}5)\)
\(n = \dfrac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}85)}\)
\(n = \dfrac{-0{,}301}{-0{,}0706} \approx 4{,}27\)

Conclusion : le rendement sera réduit de moitié au bout d'environ 4,27 ans, soit au cours de la 5ème année d'utilisation.

Exercice 11

Résoudre les équations suivantes :

  1. \(1{,}04^n = 2\)
  2. \(10^x = 50\)
  3. \(7^x = 3\)
a) \(1{,}04^n = 2 \Leftrightarrow n \times \log(1{,}04) = \log(2)\)
\(n = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}04} \approx \dfrac{0{,}301}{0{,}01703} \approx 17{,}7\)

b) \(10^x = 50 \Leftrightarrow x = \log(50) \approx 1{,}699\)
(Car \(\log(10^x) = x\) par définition.)

c) \(7^x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{\log 3}{\log 7} \approx \dfrac{0{,}477}{0{,}845} \approx 0{,}565\)

Exercice 12

Un artisan achète un matériel à 12 000 € qui se déprécie de 20 % par an.
La valeur après \(n\) années est \(V(n) = 12000 \times (0{,}8)^n\).
Au bout de combien d'années la valeur sera-t-elle inférieure à 3 000 € ?
Résoudre l'inéquation \((0{,}8)^n \leq 0{,}25\).

\((0{,}8)^n \leq 0{,}25\)
On applique le logarithme (en notant que \(\log(0{,}8) < 0\), le sens de l'inégalité s'inverse) :
\(n \times \log(0{,}8) \leq \log(0{,}25)\)
\(n \geq \dfrac{\log(0{,}25)}{\log(0{,}8)}\) (inégalité inversée car on divise par un nombre négatif)
\(n \geq \dfrac{-0{,}602}{-0{,}097} \approx 6{,}2\)

Conclusion : à partir de la 7ème année, la valeur du matériel sera inférieure à 3 000 €.

C4 — Temps de doublement et demi-vie

Rappel de cours

Le temps de doublement \(T\) est la solution de \(a^T = 2\), soit \(T = \dfrac{\log 2}{\log a}\). La demi-vie \(T_{1/2}\) est la solution de \(a^{T_{1/2}} = 0{,}5\), soit \(T_{1/2} = \dfrac{\log 0{,}5}{\log a}\). Ces calculs s'appliquent aux contextes de croissance/décroissance en base \(a\).

Exercice 13

Le temps de doublement est le temps \(T\) tel que la quantité soit multipliée par 2.
Une colonie de bactéries évolue selon \(N(t) = N_0 \times 1{,}3^t\) (avec \(t\) en heures).
Calculer le temps de doublement \(T\) tel que \(1{,}3^T = 2\).

\(1{,}3^T = 2\)
\(T \times \log(1{,}3) = \log(2)\)
\(T = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}3} \approx \dfrac{0{,}301}{0{,}1139} \approx 2{,}64\)

Conclusion : le nombre de bactéries double toutes les 2,64 heures environ (soit 2 h 38 min).

Exercice 14

La demi-vie d'une substance radioactive est le temps \(T_{1/2}\) tel que la masse soit divisée par 2.
Une substance se désintègre selon \(m(t) = m_0 \times (0{,}9)^t\) (avec \(t\) en années).
Calculer la demi-vie \(T_{1/2}\) tel que \((0{,}9)^{T_{1/2}} = 0{,}5\).

\((0{,}9)^{T_{1/2}} = 0{,}5\)
\(T_{1/2} \times \log(0{,}9) = \log(0{,}5)\)
\(T_{1/2} = \dfrac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}9)} = \dfrac{-0{,}301}{-0{,}04576} \approx 6{,}58\ \text{ans}\)

Conclusion : la demi-vie de cette substance est d'environ 6,58 ans.

Exercice 15

Un investissement croît de 5 % par an. On modélise la valeur \(V(n) = V_0 \times 1{,}05^n\).
1. Calculer le temps de doublement (au dixième d'année).
2. Vérifier en calculant \(V_0 \times 1{,}05^{14{,}2}\) et \(V_0 \times 1{,}05^{15}\) et en comparant à \(2V_0\).

1. Temps de doublement \(T\) :
\(1{,}05^T = 2 \Leftrightarrow T = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}05} \approx \dfrac{0{,}301}{0{,}02119} \approx 14{,}2\ \text{ans}\)

2. Vérification :
\(1{,}05^{14{,}2} \approx 1{,}9986 \approx 2\) ✔
\(1{,}05^{15} \approx 2{,}079 > 2\)

Au bout de 14,2 ans, la valeur est pratiquement doublée ; au bout de 15 ans elle est multipliée par plus de 2.

Exercice 16

La valeur d'une pompe à chaleur se déprécie de 12 % par an.
1. Écrire la formule de la valeur \(V(n)\) en fonction de la valeur initiale \(V_0\).
2. Calculer la demi-vie de cette dépréciation.
3. Si la pompe a été achetée 8 000 €, au bout de combien d'années vaudra-t-elle moins de 1 000 € ?

1. \(V(n) = V_0 \times (0{,}88)^n\) (car chaque année la valeur est multipliée par \(1 - 0{,}12 = 0{,}88\))

2. Demi-vie : \((0{,}88)^{T_{1/2}} = 0{,}5\)
\(T_{1/2} = \dfrac{\log 0{,}5}{\log 0{,}88} \approx \dfrac{-0{,}301}{-0{,}0555} \approx 5{,}42\ \text{ans}\)

3. \(8000 \times (0{,}88)^n < 1000 \Leftrightarrow (0{,}88)^n < \dfrac{1000}{8000} = 0{,}125\)
\(n \times \log(0{,}88) < \log(0{,}125)\)
\(n > \dfrac{\log(0{,}125)}{\log(0{,}88)} = \dfrac{-0{,}903}{-0{,}0555} \approx 16{,}3\)

Conclusion : à partir de la 17ème année, la pompe vaudra moins de 1 000 €.

C5 — Problèmes de croissance et décroissance exponentielle en contexte professionnel

Rappel de cours

Démarche : (1) modéliser la situation par \(u(n) = u_0 \times a^n\) (identifier \(u_0\) et \(a\)) ; (2) calculer une valeur future en appliquant la formule ; (3) trouver le rang \(n\) correspondant à un seuil en résolvant \(a^n = k\) via \(n = \dfrac{\log k}{\log a}\) ; (4) conclure avec l'unité et interpréter dans le contexte.

Exercice 17

Un plombier chauffagiste constate que la consommation de gaz d'un bâtiment augmente de 4 % par an. En 2020, la consommation annuelle était de 15 000 kWh.
1. Écrire la formule de la consommation \(C(n)\) après \(n\) années.
2. Prévoir la consommation en 2030 (soit \(n = 10\)).
3. Au bout de combien d'années la consommation dépassera-t-elle 20 000 kWh ?

1. \(C(n) = 15000 \times 1{,}04^n\)

2. \(C(10) = 15000 \times 1{,}04^{10} \approx 15000 \times 1{,}4802 \approx 22203\ \text{kWh}\)

3. \(15000 \times 1{,}04^n > 20000 \Leftrightarrow 1{,}04^n > \dfrac{20000}{15000} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}333\)
\(n > \dfrac{\log(1{,}333)}{\log(1{,}04)} \approx \dfrac{0{,}1249}{0{,}01703} \approx 7{,}3\)

Conclusion : à partir de la 8ème année (en 2028), la consommation dépassera 20 000 kWh.

Exercice 18

Un menuisier agenceur a investi 25 000 € dans un atelier. La valeur de l'atelier diminue de 8 % par an (dépréciation).
1. Donner la formule de la valeur \(V(n)\) après \(n\) années.
2. Calculer la valeur au bout de 5 ans, arrondie à l'euro.
3. Au bout de combien d'années la valeur sera-t-elle inférieure à 10 000 € ?

1. \(V(n) = 25000 \times (0{,}92)^n\) (car \(1 - 0{,}08 = 0{,}92\))

2. \(V(5) = 25000 \times (0{,}92)^5 \approx 25000 \times 0{,}6591 \approx 16478\ €\)

3. \(25000 \times (0{,}92)^n < 10000 \Leftrightarrow (0{,}92)^n < 0{,}4\)
\(n \times \log(0{,}92) < \log(0{,}4)\)
\(n > \dfrac{\log(0{,}4)}{\log(0{,}92)} \approx \dfrac{-0{,}3979}{-0{,}03621} \approx 10{,}99\)

Conclusion : à partir de la 11ème année, la valeur de l'atelier sera inférieure à 10 000 €.

Exercice 19

Un technicien en énergies renouvelables suit l'évolution de la production d'énergie solaire installée dans une région. En 2015, la capacité installée était de 500 MW. Elle a augmenté de 12 % par an.
1. Modéliser la capacité \(P(n)\) après \(n\) années depuis 2015.
2. Calculer la capacité prévue en 2025.
3. En quelle année la capacité aura-t-elle été multipliée par 3 ?

1. \(P(n) = 500 \times 1{,}12^n\)

2. En 2025, \(n = 10\) :
\(P(10) = 500 \times 1{,}12^{10} \approx 500 \times 3{,}1058 \approx 1553\ \text{MW}\)

3. \(1{,}12^n = 3 \Leftrightarrow n = \dfrac{\log 3}{\log 1{,}12} \approx \dfrac{0{,}4771}{0{,}04922} \approx 9{,}7\)

Conclusion : la capacité sera multipliée par 3 au bout d'environ 9,7 ans, soit courant 2025.

Exercice 20

Une entreprise d'installation de chauffage compare deux offres pour renouveler son parc de véhicules utilitaires :
— Offre A : véhicule à 18 000 €, dépréciation de 15 % par an.
— Offre B : véhicule à 14 000 €, dépréciation de 20 % par an.
Au bout de combien d'années les deux véhicules auront-ils la même valeur ?
(Résoudre \(18000 \times 0{,}85^n = 14000 \times 0{,}80^n\).)

\(18000 \times (0{,}85)^n = 14000 \times (0{,}80)^n\)
On divise les deux membres par \((0{,}80)^n\) :
\(18000 \times \left(\dfrac{0{,}85}{0{,}80}\right)^n = 14000\)
\(18000 \times (1{,}0625)^n = 14000\)
\((1{,}0625)^n = \dfrac{14000}{18000} = \dfrac{7}{9} \approx 0{,}778\)
\(n = \dfrac{\log(0{,}778)}{\log(1{,}0625)} \approx \dfrac{-0{,}109}{0{,}02633} \approx -4{,}14\)

\(n\) négatif signifie que l'équation n'a pas de solution pour \(n > 0\).

Interprétation : le véhicule A (18 000 €, −15 %/an) est plus cher que le véhicule B (14 000 €, −20 %/an) au départ, et sa dépréciation est plus lente. Le véhicule A sera donc toujours plus cher que le véhicule B pour tout \(n > 0\). Le véhicule B reste moins cher sur toute la durée de vie.

C6 — Résoudre des inéquations du type \(q^x \geq a\) et \(\log(x) \geq a\)

Rappel de cours

Pour résoudre \(q^x \geq a\) (avec \(q > 1\)) : passer au log → \(x \geq \frac{\log(a)}{\log(q)}\).
Pour \(0 < q < 1\) : l'inégalité s'inverse → \(x \leq \frac{\log(a)}{\log(q)}\).
Pour \(\log(x) \geq a\) : \(x \geq 10^a\) (car log est croissante).

Exercice 16

Résoudre les inéquations suivantes :

  1. \(2^x \geq 64\)
  2. \(3^x < 100\)
  3. \(\log(x) \geq 2\)
  4. \(\log(x) < -1\)
  1. \(2^x \geq 64 = 2^6\) → \(x \geq 6\). Solution : \([6\,;\,+\infty[\).
  2. \(3^x < 100\) → \(x < \frac{\log(100)}{\log(3)} = \frac{2}{0{,}477} \approx 4{,}19\). Solution : \(]-\infty\,;\,4{,}19[\).
  3. \(\log(x) \geq 2\) → \(x \geq 10^2 = 100\). Solution : \([100\,;\,+\infty[\).
  4. \(\log(x) < -1\) → \(0 < x < 10^{-1} = 0{,}1\). Solution : \(]0\,;\,0{,}1[\).

Exercice 17

Un menuisier place 5 000 € sur un compte rémunéré à 3 % par an. À partir de combien d'années son capital dépassera-t-il 6 500 € ?

Capital après \(n\) ans : \(C_n = 5\,000 \times 1{,}03^n\).
On résout \(5\,000 \times 1{,}03^n \geq 6\,500\) :
\(1{,}03^n \geq 1{,}3\)
\(n \geq \frac{\log(1{,}3)}{\log(1{,}03)} = \frac{0{,}114}{0{,}0128} \approx 8{,}9\)
→ À partir de 9 ans, le capital dépasse 6 500 €.
Vérification : \(5\,000 \times 1{,}03^9 \approx 6\,}523\) € ✔