Chapitre 5 – Exponentielle et logarithme décimal | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Mathilde lit que le séisme de 2025 en Turquie était de magnitude 7,8, alors que celui d'Agadir en 1960 était de 5,9. Elle lit aussi qu'un avion au décollage fait 130 dB et un marteau-piqueur 100 dB. Ces écarts paraissent modestes, mais qu'en est-il en réalité physique ?
M = (2/3) × log(E) − 4,8 où E = énergie libérée (joules)
Conséquence : 1 unité de magnitude = facteur 10^(3/2) ≈ 31,6 sur l'énergie.
L = 10 × log(I / I₀) où I₀ = 10⁻¹² W/m² (seuil audition)
Conséquence : 10 dB = facteur 10 sur l'intensité physique.
| Magnitude Richter | Description |
|---|---|
| 2-3 | Détecté par sismographes uniquement |
| 4-5 | Léger tremblement, ressenti |
| 6-7 | Dégâts importants, victimes (L'Aquila 6,3) |
| 8-9 | Catastrophe (Sumatra 2004 : 9,1) |
| 9,5 | Maximum enregistré (Chili 1960) |
| Décibels | Source |
|---|---|
| 0 dB | Seuil d'audition |
| 30 dB | Chuchotement |
| 60 dB | Conversation normale |
| 85 dB | Trafic routier dense (seuil danger) |
| 100 dB | Marteau-piqueur, concert |
| 130 dB | Avion au décollage (seuil douleur) |
| 180 dB | Tir de fusée Saturn V |
📚 Cette activité approfondit les notions du cours §5 (échelles logarithmiques) avec des phénomènes naturels.
Calculer le rapport d'énergie entre le séisme de Turquie (M = 7,8) et celui d'Agadir (M = 5,9).
Différence de magnitude : 7,8 − 5,9 = 1,9.
Rapport d'énergie : 10^(1,5 × 1,9) = 10^2,85 ≈ 708.
Le séisme de Turquie a libéré ~ 700 fois plus d'énergie que celui d'Agadir.
La perception linéaire (« presque 2 unités d'écart ») masque l'énorme différence physique.
Comparer le séisme de Sumatra 2004 (M = 9,1) à celui de Turquie (M = 7,8).
Différence : 9,1 − 7,8 = 1,3.
Rapport d'énergie : 10^(1,5 × 1,3) = 10^1,95 ≈ 89.
Sumatra 2004 a libéré 89 fois plus d'énergie que la Turquie 2025.
Comparaison cumulée : Sumatra 2004 vs Agadir 1960 : 89 × 708 ≈ 63 000 fois plus d'énergie. Astronomique.
C'est pour ça que Sumatra 2004 a déclenché un mégatsunami avec 230 000 morts, alors que Agadir, plus localisé, a fait 12 000 morts.
Calculer le rapport d'intensité sonore entre un avion (130 dB) et un marteau-piqueur (100 dB).
Différence : 130 − 100 = 30 dB.
Rapport d'intensité physique (W/m²) : 10^(30/10) = 10³ = 1 000.
L'avion produit 1 000 fois plus d'énergie sonore que le marteau-piqueur.
C'est pourquoi l'avion est dangereux dès quelques minutes d'exposition non protégée, alors qu'on peut « supporter » un marteau-piqueur (avec EPI) plusieurs heures.
Sur l'échelle dB, on dit qu'« on double la sensation perçue tous les 10 dB ». Mais l'intensité physique est multipliée par 10. Expliquer ce paradoxe.
Notre perception est logarithmique (loi de Weber-Fechner). Notre cerveau « perçoit » le log de l'intensité physique réelle.
C'est exactement pour cela qu'on a inventé l'échelle dB : elle correspond à la perception (linéaire en dB) plutôt qu'à la réalité physique (intensité en W/m²).
10 dB = × 10 en intensité physique = × 2 en sensation perçue.
Ce phénomène est universel pour tous les sens (vue, ouïe, toucher). Notre cerveau « écrase » les grandes plages dynamiques pour ne pas saturer.
2 sources sonores qui font chacune 60 dB sont placées côte à côte. Quel niveau résulte (en dB) ? Pourquoi pas 120 dB ?
Les intensités physiques s'ajoutent (pas les dB) :
I₁ = I₂ = 10⁶ × I₀. I_total = 2 × 10⁶ × I₀.
L_total = 10 × log(2 × 10⁶) = 10 × (log 2 + 6) = 10 × 6,301 ≈ 63 dB.
2 sources de 60 dB ne donnent que 63 dB (et non 120 dB). Doubler une source = +3 dB.
4 sources de 60 dB = 66 dB. 10 sources = 70 dB. Pour passer de 60 à 80 dB (sensation × 4), il faudrait 100 sources.
L'OMS recommande un seuil d'exposition à 85 dB pour 8 h/jour. Si Karim utilise une scie circulaire qui émet 95 dB, combien de temps peut-il travailler par jour sans risque (sans EPI) ?
Règle d'exposition : la dose acceptable est divisée par 2 tous les 3 dB de plus.
De 85 à 95 dB : +10 dB → exposition divisée par 2³·³ ≈ 10.
Donc 8 h / 10 = environ 48 minutes par jour maximum.
Au-delà : risque de surdité progressive (irréversible).
Recommandation pro : EPI obligatoire (casque anti-bruit) qui réduit l'exposition de 25-30 dB.
L'aéroport demande à un nouvel avion d'être 10 dB plus silencieux que l'ancien (passer de 130 à 120 dB). Quel défi technique cela représente-t-il ?
−10 dB = diviser l'intensité sonore par 10.
Défi énorme techniquement :
Pour le grand public, la perception est seulement « 2 fois moins fort ». Pour les ingénieurs, c'est une révolution. C'est pourquoi les normes acoustiques avancent par très petits pas (ex. ICAO Chapter 14 : −7 dB par étape).
Rédiger en 5 lignes une note pédagogique : « Pourquoi les échelles logarithmiques sont-elles trompeuses pour le grand public ? »
Les échelles logarithmiques cachent la réalité physique
Quand on lit « séisme magnitude 7,8 » ou « bruit 130 dB », notre cerveau perçoit ces valeurs linéairement. Mais ce sont des échelles logarithmiques : 1 unité Richter = ×31 sur l'énergie ; 10 dB = ×10 sur l'intensité.
Conséquences :
Toujours « dé-loguer » mentalement les valeurs avant de comparer. Idem pour le pH (acidité), magnitudes stellaires, ISO photo.
L'échelle de Mercalli classe les séismes par leurs effets visibles (I à XII), de manière linéaire. Pourquoi a-t-on remplacé Mercalli par Richter pour la communication scientifique ?
Mercalli (1884, révisé 1931) : I (imperceptible) à XII (destruction totale). Linéaire et qualitative.
Richter (1935) : magnitude quantitative calculée à partir des sismographes.
Avantages de Richter :
Mercalli reste utile pour décrire les effets sur les habitants (mémoire collective, indemnisation), Richter pour la physique.
Aujourd'hui, on utilise une variante améliorée de Richter : la « moment magnitude » Mw, plus précise pour les très gros séismes (Sumatra 9,1).