Chapitre 5 – Exponentielle et logarithme décimal | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Léa, technicienne aquariologue, contrôle l'eau d'un bac à crevettes Caridina (espèce très sensible aux variations de pH). Le pH idéal pour ces crevettes est 6,5. Léa fait des analyses régulières et doit comprendre l'échelle pH.
pH = − log([H⁺])
où [H⁺] est la concentration en ions hydronium (mol/L)
| pH | [H⁺] (mol/L) | Exemple |
|---|---|---|
| 0 | 1 = 10⁰ | acide batterie |
| 2 | 10⁻² | jus de citron |
| 5 | 10⁻⁵ | pluie acide, café |
| 6,5 | 3,2 × 10⁻⁷ | aquarium crevettes |
| 7 | 10⁻⁷ | eau pure (neutre) |
| 9 | 10⁻⁹ | bicarbonate |
| 14 | 10⁻¹⁴ | soude caustique |
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (logarithme décimal) et §5 (échelles logarithmiques).
Calculer le pH pour [H⁺] = 10⁻⁶ mol/L et [H⁺] = 3,2 × 10⁻⁷ mol/L.
pH₁ = −log(10⁻⁶) = 6 (légèrement acide).
pH₂ = −log(3,2 × 10⁻⁷) = −[log(3,2) + log(10⁻⁷)] = −[0,505 − 7] = 6,5 (cible aquarium).
Propriété utile : log(a × 10ⁿ) = log(a) + n.
Inversement, calculer [H⁺] pour pH = 5,5.
pH = 5,5 → −log([H⁺]) = 5,5 → log([H⁺]) = −5,5.
[H⁺] = 10^(−5,5) = 10⁻⁶ × 10^(0,5) = 10⁻⁶ × 3,16 ≈ 3,16 × 10⁻⁶ mol/L.
Le pH inverse l'exponentielle : pour passer du pH à [H⁺], faire 10^(−pH).
Léa mesure pH = 5,5 dans le bac (au lieu de 6,5 attendu). Calculer le rapport entre la nouvelle [H⁺] et la [H⁺] idéale. Que conclure ?
[H⁺] mesurée : 3,16 × 10⁻⁶ mol/L.
[H⁺] cible : 3,2 × 10⁻⁷ mol/L.
Rapport : 3,16 × 10⁻⁶ / 3,2 × 10⁻⁷ ≈ 10.
L'eau du bac est 10 fois plus acide que la cible. La perception « pH 5,5 vs 6,5 » paraît modeste, mais en réalité, la concentration d'ions H⁺ a été multipliée par 10. Les crevettes sont en stress hydroionique sévère.
Action urgente : ajuster le pH par ajout de bicarbonate ou eau distillée.
Pourquoi utiliser une échelle logarithmique pour le pH plutôt que directement [H⁺] ?
Les concentrations [H⁺] varient de 10⁰ = 1 mol/L (acide concentré) à 10⁻¹⁴ mol/L (base concentrée), soit un facteur de 10¹⁴ entre les extrêmes.
Impossible à représenter linéairement sur une échelle compacte (un graphique avec 10⁰ et 10⁻¹⁴ serait illisible).
Le logarithme « compresse » cette plage : pH 0 → pH 14 sur une échelle simple, lisible et mesurable.
Avantage supplémentaire : l'œil humain et l'oreille perçoivent eux-mêmes en log (Weber-Fechner) — les échelles log sont « naturelles » pour notre cerveau.
Citer 3 autres échelles logarithmiques utilisées en physique ou en ingénierie.
Toutes ces échelles « écrasent » des plages très étendues pour permettre la mesure et la comparaison.
Pour normaliser le pH du bac de 5,5 à 6,5, Léa veut diviser la [H⁺] par 10. Si le bac contient 100 L d'eau, combien de moles d'ions H⁺ doit-elle « neutraliser » ?
Volume : 100 L = 0,1 m³.
[H⁺] actuel : 3,16 × 10⁻⁶ mol/L. Cible : 3,2 × 10⁻⁷ mol/L.
Différence : 3,16 × 10⁻⁶ − 3,2 × 10⁻⁷ ≈ 2,84 × 10⁻⁶ mol/L à neutraliser.
Pour 100 L : 2,84 × 10⁻⁶ × 100 = 2,84 × 10⁻⁴ mol ≈ 0,000 28 mol d'ions H⁺ à neutraliser.
Avec du bicarbonate (NaHCO₃, masse molaire 84 g/mol) : 84 × 0,000 28 ≈ 0,024 g.
Une demi-pincée de bicarbonate suffit ! Mais ajout très progressif pour ne pas choquer les crevettes.
Si la pluie acide a un pH de 4,5, combien de fois est-elle plus acide que l'eau pure (pH 7) ?
Différence : pH 7 − 4,5 = 2,5 unités.
Rapport [H⁺] : 10^2,5 ≈ 316 fois plus d'ions H⁺.
La pluie acide est donc 316 fois plus acide que l'eau pure. Énorme.
Conséquences : altération des forêts, érosion des bâtiments, acidification des lacs (avec mort des poissons).
Cause principale : émissions de SO₂ et NOx par les industries et l'automobile (qui forment H₂SO₄ et HNO₃ dans l'atmosphère).
Rédiger en 5 lignes une fiche d'aide pour Léa : suivi du pH du bac à crevettes.
Fiche — Suivi du pH du bac à crevettes Caridina
1. Cible : pH 6,5 (= [H⁺] = 3,2 × 10⁻⁷ mol/L).
2. Mesurer le pH 1×/jour (sonde ou bandelette).
3. Tolérance : ±0,2 unité (= ratio max ×1,6 sur [H⁺]). Au-delà, action immédiate.
4. Si pH baisse (acidification) : ajouter du bicarbonate de soude très progressivement (0,1 g/100 L).
5. Si pH monte : ajouter de l'eau distillée ou diluer avec de l'osmose inverse. Toujours par paliers de 0,2 maximum par jour pour ne pas stresser les crevettes.
Le pH des océans est passé de 8,2 (préindustrielle) à 8,1 (actuel) en 200 ans, à cause de l'absorption du CO₂. Calculer l'augmentation relative de [H⁺]. Pourquoi est-ce une catastrophe écologique ?
Différence : pH 8,2 → 8,1 = baisse de 0,1 unité.
Rapport [H⁺] : 10^0,1 ≈ 1,26. Soit +26 % d'ions H⁺ dans les océans.
Conséquences :
Bien que « petite » en apparence (0,1 unité), c'est l'une des plus grandes menaces écologiques actuelles. Les échelles log nous trompent visuellement.