Chapitre 5 – Exponentielle et logarithme décimal | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Un archéologue trouve un fragment de bois dans une tombe préhistorique. Pour le dater, il fait analyser sa teneur en carbone 14 (¹⁴C) au laboratoire. Résultat : 30 % du taux observé sur du bois actuel. De quelle époque date la coupe de l'arbre ?
Le ¹⁴C est radioactif et se désintègre selon la loi exponentielle :
N(t) = N₀ × 0,5^(t/5 730)
où :
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (logarithme décimal) et §4 (résolution d'équation exponentielle).
Combien reste-t-il de C14 dans un échantillon vieux de :
Chaque demi-vie divise la quantité restante par 2. C'est la signature de la décroissance exponentielle.
Le fragment a 30 % de C14. Écrire l'équation à résoudre pour trouver t.
N(t)/N₀ = 0,30 → 0,5^(t/5 730) = 0,30.
Cette équation est de la forme a^x = b, qui ne se résout pas par les méthodes usuelles. On utilise le logarithme.
Résoudre 0,5^(t/5 730) = 0,30 en utilisant le logarithme décimal.
Appliquer log aux deux membres :
log(0,5^(t/5 730)) = log(0,30)
(t / 5 730) × log(0,5) = log(0,30) (propriété : log(a^n) = n × log(a))
t = 5 730 × log(0,30) / log(0,5)
= 5 730 × (−0,5229) / (−0,3010)
= 5 730 × 1,737
≈ 9 952 ans.
Le fragment de bois date d'environ 10 000 ans.
Le fragment date donc d'environ −8 000 av. J.-C. À quelle période historique cela correspond-il ? Que peut-on en déduire ?
−8 000 av. J.-C. correspond au Mésolithique (transition entre Paléolithique et Néolithique).
À cette époque :
Si la tombe contient ce bois, elle a probablement été creusée à cette époque (datation cohérente avec le contexte archéologique du site).
Pourquoi le carbone 14 permet-il de dater l'organique mort, mais pas une roche ?
Le ¹⁴C se forme en permanence dans l'atmosphère (réaction des rayons cosmiques avec l'azote N₁₄). Tous les êtres vivants l'absorbent (photosynthèse pour les plantes, alimentation pour les animaux), et leur teneur en ¹⁴C est en équilibre avec l'atmosphère pendant qu'ils vivent.
À leur mort, l'absorption cesse. Le ¹⁴C accumulé se désintègre lentement (demi-vie 5 730 ans). En mesurant le ratio résiduel ¹⁴C / ¹²C, on remonte à l'âge.
Une roche minérale ne contient pas de carbone organique (sauf charbon, calcaire), et n'a pas absorbé ¹⁴C de l'atmosphère. On utilise d'autres isotopes :
Pourquoi le carbone 14 ne peut pas dater au-delà de ~50 000 ans ?
Au bout de 50 000 ans, on a passé environ 50 000 / 5 730 ≈ 8,7 demi-vies.
Quantité restante : 0,5^8,7 ≈ 0,24 % du ¹⁴C initial.
À ce niveau, la quantité résiduelle est trop faible pour être mesurée fiablement (rapport signal/bruit insuffisant, contamination atmosphérique parasite).
Pour dater plus ancien (préhumains, roches) : autres méthodes (potassium-argon, uranium-plomb, thermoluminescence, racémisation des acides aminés...).
Un autre échantillon a 7 % de C14. Calculer son âge.
0,5^(t/5 730) = 0,07.
t = 5 730 × log(0,07) / log(0,5) = 5 730 × (−1,155) / (−0,3010) = 5 730 × 3,838 ≈ 21 990 ans.
Cet échantillon date d'environ −20 000 av. J.-C., en plein Paléolithique supérieur (homo sapiens, art rupestre, dernière glaciation).
Ces dates sont compatibles avec les peintures de Lascaux (~ 18 000 av. J.-C.) ou Chauvet (~ 36 000 av. J.-C.).
Rédiger un mode opératoire en 5 lignes pour calculer l'âge à partir d'un taux de C14 (utilisable en classe).
Méthode — Datation au C14
1. Mesurer le pourcentage p de C14 résiduel par rapport à un échantillon actuel (ex. 30 % → p = 0,30).
2. Écrire l'équation : 0,5^(t/5 730) = p.
3. Appliquer log : (t/5 730) × log(0,5) = log(p).
4. Calculer : t = 5 730 × log(p) / log(0,5). Calculatrice : touche LOG.
5. Vérification cohérence : p = 50 % → t = 5 730 ans (1 demi-vie). Si l'âge sort de [0 ; 50 000 ans], la méthode est inutilisable, choisir un autre isotope.
Une autre méthode utilise le logarithme népérien : N(t) = N₀ × e^(−λt) avec λ = ln(2) / T (T = demi-vie). Calculer λ pour le C14, puis vérifier le résultat trouvé pour le fragment à 30 %.
λ = ln(2) / 5 730 = 0,693 / 5 730 ≈ 1,21 × 10⁻⁴ par an.
Équation : 0,30 = e^(−1,21 × 10⁻⁴ × t).
ln(0,30) = −1,21 × 10⁻⁴ × t → t = −ln(0,30) / 1,21 × 10⁻⁴ = 1,2040 / 1,21 × 10⁻⁴ ≈ 9 950 ans. ✓
Même résultat. Les deux écritures (en base 0,5 ou en base e) sont équivalentes.
En sciences, on utilise plus souvent la base e (logarithme népérien) car elle apparaît naturellement dans les équations différentielles de la physique nucléaire.