Ch04 – Fonctions polynômes de degré 3 – QCM

Question 1

Forme générale – Reconnaître

Une fonction polynôme de degré 3 s'écrit :

\(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\) \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) avec \(a \neq 0\) \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx + d\) \(f(x) = ax + b\) avec \(a \neq 0\)

Question 2

Degré – Identification

Quel est le degré de la fonction \(f(x) = 5x^3 - 2x + 7\) ?

1 2 3 5

Question 3

Calcul d'image – Substitution

Soit \(f(x) = x^3\). Calculer \(f(2)\).

8 6 9 2

Question 4

Calcul d'image – Nombre négatif

Soit \(f(x) = x^3\). Calculer \(f(-2)\).

8 6 \(-6\) \(-8\)

Question 5

Dérivée – Formule de base

La dérivée de \(f(x) = x^3\) est :

\(f'(x) = x^2\) \(f'(x) = 3x^2\) \(f'(x) = 3x^3\) \(f'(x) = 2x\)

Question 6

Dérivée – Polynôme complet

Quelle est la dérivée de \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) ?

\(f'(x) = ax^2 + bx + c\) \(f'(x) = 3ax^3 + 2bx^2 + c\) \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) \(f'(x) = 3ax^2 + bx + c\)

Question 7

Dérivée – Calcul simple

Calculer \(f'(x)\) pour \(f(x) = 2x^3 + x\).

\(f'(x) = 6x^2 + 1\) \(f'(x) = 6x^2\) \(f'(x) = 2x^2 + 1\) \(f'(x) = 3x^2 + 1\)

Question 8

Variations – Lien avec la dérivée

Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est :

décroissante sur cet intervalle constante sur cet intervalle nulle sur cet intervalle croissante sur cet intervalle

Question 9

Variations – Dérivée négative

Si \(f'(x) < 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est :

croissante décroissante constante nulle

Question 10

Extremum – Condition nécessaire

Pour qu'un extremum local existe en \(x_0\), il faut que :

\(f(x_0) = 0\) \(f(x_0) > 0\) \(f'(x_0) = 0\) et le signe de \(f'\) change \(f'(x_0) > 0\)

Question 11

Maximum local – Identification

En \(x_0\), la dérivée \(f'\) passe de \(+\) à \(-\). Alors en \(x_0\) la fonction a :

un maximum local un minimum local un point d'inflexion aucun extremum

Question 12

Minimum local – Identification

En \(x_0\), la dérivée \(f'\) passe de \(-\) à \(+\). Alors en \(x_0\) la fonction a :

un maximum local un point d'inflexion aucun extremum un minimum local

Question 13

Fonction cube – Propriété

La fonction \(f(x) = x^3\) est :

décroissante sur \(\mathbb{R}\) strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) constante sur \(\mathbb{R}\) décroissante sur \(\mathbb{R}^+\)

Question 14

Calcul d'image – Polynôme complet

Soit \(f(x) = x^3 - 2x + 1\). Calculer \(f(1)\).

\(-2\) \(2\) \(0\) \(4\)

Question 15

Dérivée – Terme constant

La dérivée de la constante \(d\) dans \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) est :

\(0\) \(d\) \(1\) \(-d\)

Question 1

Dérivée – Calcul complet

Calculer \(f'(x)\) pour \(f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 7x - 4\).

\(f'(x) = 9x^2 - 2x + 7\) \(f'(x) = 9x^2 - 4x + 7\) \(f'(x) = 3x^2 - 4x + 7\) \(f'(x) = 9x^2 - 4x - 4\)

Question 2

Dérivée – Volume d'une boîte

Un menuisier modélise le volume d'une boîte par \(V(x) = 4x^3 - 140x^2 + 1200x\). Calculer \(V'(x)\).

\(V'(x) = 12x^2 - 140x + 1200\) \(V'(x) = 4x^2 - 280x + 1200\) \(V'(x) = 12x^2 - 280x + 1200\) \(V'(x) = 12x^2 - 280x\)

Question 3

Racines de la dérivée – Discriminant

Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\). On a \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\). Le discriminant de \(f'(x) = 0\) est :

\(\Delta = 144\) \(\Delta = 16\) \(\Delta = 36\) \(\Delta = 0\)

Question 4

Extrema – Calcul des racines de f'

Pour \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\), les racines de \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\) sont :

\(x_1 = 1\) et \(x_2 = 3\) \(x_1 = 0\) et \(x_2 = 2\) \(x_1 = -3\) et \(x_2 = 1\) \(x_1 = -1\) et \(x_2 = 3\)

Question 5

Tableau de variations – Maximum local

Pour \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\), on a \(f(-1) = 7\) et \(f(3) = -25\). En \(x = -1\), la fonction a :

un minimum local égal à 7 un maximum local égal à 7 un point d'inflexion aucun extremum car \(f(-1) > 0\)

Question 6

Tableau de variations – Minimum local

Pour \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\), on a \(f(3) = -25\). En \(x = 3\), la fonction a :

un maximum local égal à \(-25\) un point d'inflexion un minimum local égal à \(-25\) aucun extremum car \(f(3) < 0\)

Question 7

Tableau de variations – Lecture

Pour \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) avec \(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\), sur l'intervalle \(]1\,;\,3[\) la fonction est :

décroissante croissante constante nulle

Question 8

Nombre de solutions graphiques

Pour \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\) (max local = 7, min local = \(-25\)), l'équation \(f(x) = 0\) a :

aucune solution exactement 1 solution exactement 2 solutions exactement 3 solutions

Question 9

Comportement aux extrêmes – Coefficient dominant

Pour un polynôme de degré 3 avec \(a > 0\), quand \(x \to +\infty\), alors \(f(x)\) :

tend vers \(-\infty\) tend vers \(+\infty\) tend vers 0 reste constante

Question 10

Application – Consommation énergétique

Un technicien chauffagiste modélise la consommation mensuelle par \(C(t) = -t^3 + 6t^2 - 9t + 10\) (en kWh, \(t\) en mois). Calculer \(C'(t)\).

\(C'(t) = -3t^2 + 6t - 9\) \(C'(t) = -t^2 + 12t - 9\) \(C'(t) = -3t^2 + 12t - 9\) \(C'(t) = -3t^3 + 12t^2 - 9\)

Question 11

Extrema – Résolution de f'(x)=0

Pour \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\), résoudre \(f'(x) = 0\).

\(x = 1\) et \(x = 3\) \(x = -1\) et \(x = -3\) \(x = 0\) et \(x = 4\) \(x = 2\) uniquement

Question 12

Cas particulier – Discriminant nul

Si \(\Delta = 0\) pour la dérivée \(f'(x)\), la fonction \(f\) :

a deux extrema locaux a un maximum local a un minimum local n'a pas d'extremum : elle est strictement monotone sauf en un point d'inflexion horizontal

Question 13

Nombre de solutions – Lecture graphique

Un polynôme de degré 3 a un max local égal à 5 et un min local égal à \(-3\). Le nombre de solutions de \(f(x) = 2\) est :

0 3 2 1

Question 14

Application – Volume boîte

Un artisan menuisier découpe des carrés de côté \(x\) dans les coins d'une planche \(30 \times 20\) cm. Le volume de la boîte est \(V(x) = x(30-2x)(20-2x)\). Calculer \(V(3)\).

720 cm³ 504 cm³ 1008 cm³ 864 cm³

Question 15

Dérivée – Identification du degré

La dérivée d'un polynôme de degré 3 est un polynôme de degré :

2 3 1 4

Question 1

Factorisation – Racine évidente

On vérifie que \(f(1) = 0\) pour \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\). Cela signifie que :

\(f(x)\) est divisible par \(x\) \(f(x)\) est divisible par \(x^2 - 1\) \((x-1)\) est un facteur de \(f(x)\) \((x+1)\) est un facteur de \(f(x)\)

Question 2

Factorisation – Division

\(f(x) = x^3 - x^2 - x + 1\). On vérifie que \(f(1) = 0\). En divisant par \((x-1)\), on obtient :

\(f(x) = (x-1)(x^2 + 1)\) \(f(x) = (x-1)(x^2 - 1) = (x-1)^2(x+1)\) \(f(x) = (x-1)(x^2 - x - 1)\) \(f(x) = (x-1)(x^2 + x + 1)\)

Question 3

Optimisation – Volume maximal

Un artisan menuisier cherche à maximiser le volume \(V(x) = 4x^3 - 140x^2 + 1200x\) sur \([0\,;\,10]\). On a \(V'(x) = 12x^2 - 280x + 1200\). Les solutions de \(V'(x) = 0\) sont :

\(x = 5\) et \(x = 25\) \(x = 0\) et \(x = 10\) \(x = 6\) et \(x = 20\) \(x \approx 5{,}74\) et \(x \approx 17{,}6\)

Question 4

Optimisation – Interprétation

Pour le volume \(V(x) = 4x^3 - 140x^2 + 1200x\) avec \(x \in [0\,;\,10]\), le maximum sur cet intervalle est atteint en \(x \approx 5{,}74\). Pour trouver la valeur maximale, on calcule :

\(V(5{,}74)\) \(V'(5{,}74)\) \(V(0)\) \(V(10)\)

Question 5

Racines – Nombre de solutions réelles

Pour \(f(x) = x^3 + x\), la dérivée est \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) pour tout \(x\). Cela implique que l'équation \(f(x) = 0\) a :

aucune solution réelle exactement 2 solutions réelles exactement 1 solution réelle exactement 3 solutions réelles

Question 6

Variations complètes – Sens de variation

Pour \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) avec \(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\), quel est le sens de variation sur \(]-\infty\,;\,1[\) ?

décroissante car \(f'(x) < 0\) croissante car \(f'(x) > 0\) constante car \(f'(x) = 0\) croissante car \(f'(x) < 0\)

Question 7

Calcul d'extrema – Valeur précise

Pour \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\), calculer \(f(-1)\) (maximum local).

\(f(-1) = -11\) \(f(-1) = 5\) \(f(-1) = -5\) \(f(-1) = 7\)

Question 8

Calcul d'extrema – Minimum

Pour \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\), calculer \(f(3)\) (minimum local).

\(f(3) = -25\) \(f(3) = 25\) \(f(3) = -7\) \(f(3) = 2\)

Question 9

Nombre de solutions – Cas limite

Un polynôme de degré 3 a un max local égal à 5 et un min local égal à \(-3\). Le nombre de solutions de \(f(x) = 5\) est :

3 0 2 1

Question 10

Factorisation – Application numérique

\(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\). On vérifie \(f(1) = 0\), \(f(2) = 0\) et \(f(3) = 0\). Quelle est la forme factorisée de \(f(x)\) ?

\(f(x) = (x-1)(x-2)(x+3)\) \(f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\) \(f(x) = (x+1)(x+2)(x+3)\) \(f(x) = (x-1)(x-3)(x+2)\)

Question 11

Optimisation – Coût minimal

Un installateur thermique modélise son coût par \(C(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5\) (en centaines d'euros, \(x\) en unités). \(C'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)\). En \(x = 3\), le coût est :

un maximum local une valeur quelconque un point d'inflexion un minimum local

Question 12

Type BTS – Problème complet

Pour \(C(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5\), calculer \(C(3)\).

5 7 \(-4\) 11

Question 13

Dérivée – Application au signe

Pour \(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\), quel est le signe de \(f'(x)\) sur \(]1\,;\,3[\) ?

positif nul négatif impossible à déterminer

Question 14

Type BTS – Monotonie sans extremum

Pour \(f(x) = x^3 + 3x + 1\), la dérivée est \(f'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1)\). Comme \(x^2 + 1 > 0\) toujours, la fonction \(f\) est :

décroissante sur \(\mathbb{R}\) strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) sans extremum croissante sur \(\mathbb{R}^+\) et décroissante sur \(\mathbb{R}^-\) constante sur \(\mathbb{R}\)

Question 15

Type BTS – Résolution graphique

Un polynôme de degré 3 a un max local égal à 4 et un min local égal à \(-2\). L'équation \(f(x) = 8\) possède :

3 solutions 2 solutions aucune solution exactement 1 solution