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Chapitre 4 – Interrogation écrite

Fonctions polynômes de degré 3 — Terminale Bac Pro

Dernière mise à jour : 17 mars 2026

Durée : 40 minutes  |  Barème : 20 points  |  Calculatrice autorisée

Compétences évaluées :

Socle

Sujet A

Exercice 1 — Reconnaître un polynôme de degré 3 (5 points)

Rappel : Un polynôme de degré 3 s'écrit sous la forme \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) avec \(a \neq 0\).

Pour chaque expression, indiquer si c'est un polynôme de degré 3 en cochant OUI ou NON. Justifier en une phrase.

ExpressionDegré 3 ?Justification
\(f(x) = 2x^3 - x + 7\)OUI / NON
\(g(x) = x^2 - 4x + 1\)OUI / NON
\(h(x) = -3x^3 + 5x^2 - 2x + 4\)OUI / NON
\(k(x) = \dfrac{1}{x^3} + 2\)OUI / NON
\(m(x) = 4x^3\)OUI / NON
ExpressionDegré 3 ?Justification
\(f(x) = 2x^3 - x + 7\)OUILe terme de plus haut degré est \(2x^3\), donc degré 3 avec \(a = 2\).
\(g(x) = x^2 - 4x + 1\)NONLe terme de plus haut degré est \(x^2\), c'est un polynôme de degré 2.
\(h(x) = -3x^3 + 5x^2 - 2x + 4\)OUILe terme de plus haut degré est \(-3x^3\), donc degré 3 avec \(a = -3\).
\(k(x) = \dfrac{1}{x^3} + 2\)NON\(\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}\) n'est pas un polynôme (exposant négatif).
\(m(x) = 4x^3\)OUIC'est \(4x^3 + 0x^2 + 0x + 0\), degré 3 avec \(a = 4\).

Exercice 2 — Identifier les coefficients (5 points)

Rappel : Dans \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), les coefficients sont :
  • \(a\) = coefficient de \(x^3\)
  • \(b\) = coefficient de \(x^2\)
  • \(c\) = coefficient de \(x\)
  • \(d\) = terme constant (sans \(x\))

Pour chaque polynôme, compléter le tableau des coefficients :

a) \(f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1\)

\(a\)\(b\)\(c\)\(d\)

b) \(g(x) = -x^3 + 4x - 7\)

Attention : Il n'y a pas de terme en \(x^2\). Quel est alors le coefficient \(b\) ?
\(a\)\(b\)\(c\)\(d\)

a) \(f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1\)

\(a\)\(b\)\(c\)\(d\)
\(3\)\(-2\)\(5\)\(-1\)

b) \(g(x) = -x^3 + 4x - 7 = -1 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 4x + (-7)\)

\(a\)\(b\)\(c\)\(d\)
\(-1\)\(0\)\(4\)\(-7\)

Exercice 3 — Calculer des images (5 points)

Soit \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 3\).

Méthode : Pour calculer \(f(2)\), remplacer chaque \(x\) par \(2\) dans l'expression.

a) Calculer \(f(0)\).

Détail : \(f(0) = (0)^3 - 2 \times (0)^2 + 3 = \)

b) Calculer \(f(1)\).

Détail : \(f(1) = (1)^3 - 2 \times (1)^2 + 3 = \)

c) Calculer \(f(-1)\).

Attention aux signes ! \((-1)^3 = -1\) et \((-1)^2 = +1\).

Détail : \(f(-1) = (-1)^3 - 2 \times (-1)^2 + 3 = \)

d) Calculer \(f(2)\).

\(f(2) = \)

a) \(f(0) = 0 - 0 + 3 = \boxed{3}\)

b) \(f(1) = 1 - 2 + 3 = \boxed{2}\)

c) \(f(-1) = (-1) - 2 \times 1 + 3 = -1 - 2 + 3 = \boxed{0}\)

d) \(f(2) = 8 - 2 \times 4 + 3 = 8 - 8 + 3 = \boxed{3}\)

Exercice 4 — Calculer des dérivées (5 points)

Rappel des formules :
  • Si \(f(x) = ax^3\) alors \(f'(x) = 3ax^2\)
  • Si \(f(x) = bx^2\) alors \(f'(x) = 2bx\)
  • Si \(f(x) = cx\) alors \(f'(x) = c\)
  • Si \(f(x) = d\) alors \(f'(x) = 0\)

a) Soit \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 3\). Compléter le calcul :

\(f'(x) = 3 \times \ldots \times x^2 - 2 \times \ldots \times x + 0 = \)

b) Soit \(g(x) = 2x^3 + 5x - 4\). Calculer \(g'(x)\).

\(g'(x) = \)

c) Soit \(h(x) = -3x^3 + x^2 - 6\). Calculer \(h'(x)\).

\(h'(x) = \)

a) \(f'(x) = 3 \times 1 \times x^2 - 2 \times 2 \times x + 0 = \boxed{3x^2 - 4x}\)

b) \(g'(x) = 3 \times 2 \times x^2 + 5 = \boxed{6x^2 + 5}\)

c) \(h'(x) = 3 \times (-3) x^2 + 2 \times 1 \times x = \boxed{-9x^2 + 2x}\)

Sujet B

Exercice 1 — Reconnaître un polynôme de degré 3 (5 points)

Rappel : Un polynôme de degré 3 s'écrit sous la forme \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) avec \(a \neq 0\).

Pour chaque expression, indiquer si c'est un polynôme de degré 3 en cochant OUI ou NON. Justifier en une phrase.

ExpressionDegré 3 ?Justification
\(f(x) = -x^3 + 3x - 2\)OUI / NON
\(g(x) = 5x^2 + 2x - 9\)OUI / NON
\(h(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\)OUI / NON
\(k(x) = 2^x + 3\)OUI / NON
\(m(x) = -7x^3\)OUI / NON
ExpressionDegré 3 ?Justification
\(f(x) = -x^3 + 3x - 2\)OUILe terme de plus haut degré est \(-x^3\), donc degré 3 avec \(a = -1\).
\(g(x) = 5x^2 + 2x - 9\)NONLe terme de plus haut degré est \(5x^2\), c'est un polynôme de degré 2.
\(h(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\)OUILe terme de plus haut degré est \(x^3\), donc degré 3 avec \(a = 1\).
\(k(x) = 2^x + 3\)NON\(2^x\) est une fonction exponentielle, pas un polynôme.
\(m(x) = -7x^3\)OUIC'est \(-7x^3 + 0x^2 + 0x + 0\), degré 3 avec \(a = -7\).

Exercice 2 — Identifier les coefficients (5 points)

Rappel : Dans \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), les coefficients sont :
  • \(a\) = coefficient de \(x^3\)
  • \(b\) = coefficient de \(x^2\)
  • \(c\) = coefficient de \(x\)
  • \(d\) = terme constant (sans \(x\))

Pour chaque polynôme, compléter le tableau des coefficients :

a) \(f(x) = -2x^3 + 4x^2 - 3x + 8\)

\(a\)\(b\)\(c\)\(d\)

b) \(g(x) = 5x^3 - 2x + 1\)

Attention : Il n'y a pas de terme en \(x^2\). Quel est alors le coefficient \(b\) ?
\(a\)\(b\)\(c\)\(d\)

a) \(f(x) = -2x^3 + 4x^2 - 3x + 8\)

\(a\)\(b\)\(c\)\(d\)
\(-2\)\(4\)\(-3\)\(8\)

b) \(g(x) = 5x^3 - 2x + 1 = 5 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + (-2)x + 1\)

\(a\)\(b\)\(c\)\(d\)
\(5\)\(0\)\(-2\)\(1\)

Exercice 3 — Calculer des images (5 points)

Soit \(f(x) = 2x^3 - x^2 + 4\).

Méthode : Pour calculer \(f(2)\), remplacer chaque \(x\) par \(2\) dans l'expression.

a) Calculer \(f(0)\).

Détail : \(f(0) = 2 \times (0)^3 - (0)^2 + 4 = \)

b) Calculer \(f(1)\).

Détail : \(f(1) = 2 \times (1)^3 - (1)^2 + 4 = \)

c) Calculer \(f(-1)\).

Attention aux signes ! \((-1)^3 = -1\) et \((-1)^2 = +1\).

Détail : \(f(-1) = 2 \times (-1)^3 - (-1)^2 + 4 = \)

d) Calculer \(f(2)\).

\(f(2) = \)

a) \(f(0) = 0 - 0 + 4 = \boxed{4}\)

b) \(f(1) = 2 - 1 + 4 = \boxed{5}\)

c) \(f(-1) = 2(-1) - 1 + 4 = -2 - 1 + 4 = \boxed{1}\)

d) \(f(2) = 2(8) - 4 + 4 = 16 - 4 + 4 = \boxed{16}\)

Exercice 4 — Calculer des dérivées (5 points)

Rappel des formules :
  • Si \(f(x) = ax^3\) alors \(f'(x) = 3ax^2\)
  • Si \(f(x) = bx^2\) alors \(f'(x) = 2bx\)
  • Si \(f(x) = cx\) alors \(f'(x) = c\)
  • Si \(f(x) = d\) alors \(f'(x) = 0\)

a) Soit \(f(x) = 2x^3 - x^2 + 4\). Compléter le calcul :

\(f'(x) = 3 \times \ldots \times x^2 - 2 \times \ldots \times x + 0 = \)

b) Soit \(g(x) = -3x^3 + 4x - 7\). Calculer \(g'(x)\).

\(g'(x) = \)

c) Soit \(h(x) = 5x^3 - 2x^2 + 1\). Calculer \(h'(x)\).

\(h'(x) = \)

a) \(f'(x) = 3 \times 2 \times x^2 - 2 \times 1 \times x + 0 = \boxed{6x^2 - 2x}\)

b) \(g'(x) = 3 \times (-3) \times x^2 + 4 = \boxed{-9x^2 + 4}\)

c) \(h'(x) = 3 \times 5 \times x^2 - 2 \times 2 \times x = \boxed{15x^2 - 4x}\)

Standard

Sujet A

Exercice 1 — Reconnaître un polynôme de degré 3 (4 points)

Parmi les fonctions suivantes, identifier celles qui sont des polynômes de degré 3. Justifier chaque réponse.

  1. \(f(x) = 5x^3 - 2x^2 + x - 8\)
  2. \(g(x) = x^4 - x^3 + 2\)
  3. \(h(x) = (x-1)(x^2 + 3)\)
  4. \(k(x) = \sqrt{x^3 + 1}\)

a) \(f(x) = 5x^3 - 2x^2 + x - 8\) → OUI, forme \(ax^3+bx^2+cx+d\) avec \(a=5\).

b) \(g(x) = x^4 - x^3 + 2\) → NON, c'est un polynôme de degré 4.

c) \(h(x) = (x-1)(x^2+3) = x^3 + 3x - x^2 - 3 = x^3 - x^2 + 3x - 3\) → OUI, en développant on obtient un polynôme de degré 3 avec \(a=1\).

d) \(k(x) = \sqrt{x^3 + 1}\) → NON, la racine carrée empêche d'avoir un polynôme.

Exercice 2 — Coefficients et calcul d'images (6 points)

Soit \(f(x) = -2x^3 + 3x^2 - x + 5\).

  1. Identifier les coefficients \(a\), \(b\), \(c\), \(d\). (1 pt)
  2. Calculer \(f(0)\), \(f(1)\) et \(f(-1)\). (3 pts)
  3. Calculer \(f(2)\) et \(f(-2)\). (2 pts)

1. \(a = -2\), \(b = 3\), \(c = -1\), \(d = 5\).

2.

  • \(f(0) = 0 + 0 - 0 + 5 = \boxed{5}\)
  • \(f(1) = -2 + 3 - 1 + 5 = \boxed{5}\)
  • \(f(-1) = -2(-1) + 3(1) -(-1) + 5 = 2 + 3 + 1 + 5 = \boxed{11}\)

3.

  • \(f(2) = -2(8) + 3(4) - 2 + 5 = -16 + 12 - 2 + 5 = \boxed{-1}\)
  • \(f(-2) = -2(-8) + 3(4) -(-2) + 5 = 16 + 12 + 2 + 5 = \boxed{35}\)

Exercice 3 — Calculer des dérivées (6 points)

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\) (2 pts)
  2. \(g(x) = -4x^3 + x^2 - 3\) (2 pts)
  3. \(h(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x\) (2 pts)

a) \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\)

b) \(g'(x) = -12x^2 + 2x\)

c) \(h'(x) = \dfrac{1}{3} \times 3x^2 - 2 \times 2x + 5 = x^2 - 4x + 5\)

Exercice 4 — Dérivée et calcul de valeurs (4 points)

Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\).

  1. Calculer \(f'(x)\). (1 pt)
  2. Calculer \(f'(0)\) et \(f'(2)\). (2 pts)
  3. Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) a-t-on \(f'(x) = 0\) ? (1 pt)

1. \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)

2.

  • \(f'(0) = 0 - 0 = \boxed{0}\)
  • \(f'(2) = 3(4) - 6(2) = 12 - 12 = \boxed{0}\)

3. \(f'(x) = 0 \iff 3x^2 - 6x = 0 \iff 3x(x - 2) = 0\)

Donc \(x = 0\) ou \(x = 2\).

Sujet B

Exercice 1 — Reconnaître un polynôme de degré 3 (4 points)

Parmi les fonctions suivantes, identifier celles qui sont des polynômes de degré 3. Justifier chaque réponse.

  1. \(f(x) = -3x^3 + x^2 - 4x + 2\)
  2. \(g(x) = x^5 - 2x^3 + 1\)
  3. \(h(x) = (x+2)(x^2 - 1)\)
  4. \(k(x) = |x^3 + 1|\)

a) \(f(x) = -3x^3 + x^2 - 4x + 2\) → OUI, forme \(ax^3+bx^2+cx+d\) avec \(a=-3\).

b) \(g(x) = x^5 - 2x^3 + 1\) → NON, c'est un polynôme de degré 5.

c) \(h(x) = (x+2)(x^2-1) = x^3 - x + 2x^2 - 2 = x^3 + 2x^2 - x - 2\) → OUI, en développant on obtient un polynôme de degré 3 avec \(a=1\).

d) \(k(x) = |x^3 + 1|\) → NON, la valeur absolue empêche d'avoir un polynôme.

Exercice 2 — Coefficients et calcul d'images (6 points)

Soit \(f(x) = 3x^3 - x^2 + 2x - 4\).

  1. Identifier les coefficients \(a\), \(b\), \(c\), \(d\). (1 pt)
  2. Calculer \(f(0)\), \(f(1)\) et \(f(-1)\). (3 pts)
  3. Calculer \(f(2)\) et \(f(-2)\). (2 pts)

1. \(a = 3\), \(b = -1\), \(c = 2\), \(d = -4\).

2.

  • \(f(0) = 0 - 0 + 0 - 4 = \boxed{-4}\)
  • \(f(1) = 3 - 1 + 2 - 4 = \boxed{0}\)
  • \(f(-1) = 3(-1) - 1(1) + 2(-1) - 4 = -3 - 1 - 2 - 4 = \boxed{-10}\)

3.

  • \(f(2) = 3(8) - 1(4) + 2(2) - 4 = 24 - 4 + 4 - 4 = \boxed{20}\)
  • \(f(-2) = 3(-8) - 1(4) + 2(-2) - 4 = -24 - 4 - 4 - 4 = \boxed{-36}\)

Exercice 3 — Calculer des dérivées (6 points)

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1\) (2 pts)
  2. \(g(x) = -5x^3 + 2x^2 + 7\) (2 pts)
  3. \(h(x) = \dfrac{1}{2}x^3 - 3x^2 + x\) (2 pts)

a) \(f'(x) = 6x^2 - 6x + 4\)

b) \(g'(x) = -15x^2 + 4x\)

c) \(h'(x) = \dfrac{1}{2} \times 3x^2 - 3 \times 2x + 1 = \dfrac{3}{2}x^2 - 6x + 1\)

Exercice 4 — Dérivée et calcul de valeurs (4 points)

Soit \(f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 1\).

  1. Calculer \(f'(x)\). (1 pt)
  2. Calculer \(f'(0)\) et \(f'(2)\). (2 pts)
  3. Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) a-t-on \(f'(x) = 0\) ? (1 pt)

1. \(f'(x) = 6x^2 - 12x\)

2.

  • \(f'(0) = 0 - 0 = \boxed{0}\)
  • \(f'(2) = 6(4) - 12(2) = 24 - 24 = \boxed{0}\)

3. \(f'(x) = 0 \iff 6x^2 - 12x = 0 \iff 6x(x - 2) = 0\)

Donc \(x = 0\) ou \(x = 2\).

Approfondissement

Sujet A

Exercice 1 — Reconnaître un polynôme de degré 3 (4 points)

Pour chaque expression, déterminer s'il s'agit d'un polynôme de degré 3. Si oui, donner sa forme développée \(ax^3+bx^2+cx+d\). Si non, justifier.

  1. \(f(x) = (2x-1)(x^2+x+3)\)
  2. \(g(x) = x^3 - (x+1)^3\)
  3. \(h(x) = (x-2)^3\)
  4. \(k(x) = x^2(x+5) - x^3\)

a) \(f(x) = (2x-1)(x^2+x+3) = 2x^3 + 2x^2 + 6x - x^2 - x - 3 = 2x^3 + x^2 + 5x - 3\) → OUI, degré 3.

b) \(g(x) = x^3 - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = -3x^2 - 3x - 1\) → NON, les termes en \(x^3\) se simplifient, c'est un polynôme de degré 2.

c) \(h(x) = (x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8\) → OUI, degré 3.

d) \(k(x) = x^3 + 5x^2 - x^3 = 5x^2\) → NON, les \(x^3\) se simplifient, c'est un polynôme de degré 2.

Exercice 2 — Coefficients et calcul d'images (5 points)

Soit \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) un polynôme de degré 3 tel que :

\(f(0) = 4\), \quad \(f(1) = 6\), \quad \(f(-1) = 8\), \quad \(f(2) = 0\).

  1. En utilisant \(f(0)\), déterminer la valeur de \(d\). (1 pt)
  2. En utilisant \(f(1)\) et \(f(-1)\), montrer que \(b = 3\) et que \(a + c = -1\). (2 pts)
  3. En utilisant \(f(2)\), déterminer \(a\) et \(c\). (2 pts)

1. \(f(0) = d = 4\), donc \(\boxed{d = 4}\).

2.

  • \(f(1) = a + b + c + 4 = 6\), donc \(a + b + c = 2\) … (I)
  • \(f(-1) = -a + b - c + 4 = 8\), donc \(-a + b - c = 4\) … (II)

En additionnant (I) et (II) : \(2b = 6\), donc \(\boxed{b = 3}\).

En soustrayant (II) de (I) : \(2a + 2c = -2\), donc \(\boxed{a + c = -1}\).

3. \(f(2) = 8a + 4(3) + 2c + 4 = 8a + 2c + 16 = 0\), donc \(8a + 2c = -16\), soit \(4a + c = -8\).

Or \(a + c = -1\), donc par soustraction : \(3a = -7\), soit \(\boxed{a = -\dfrac{7}{3}}\) et \(c = -1 + \dfrac{7}{3} = \boxed{\dfrac{4}{3}}\).

Exercice 3 — Calculer des dérivées (5 points)

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = 2x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 + 7x - 1\) (1 pt)
  2. \(g(x) = (x+1)^3\) (développer d'abord) (2 pts)
  3. \(h(x) = x^2(3x - 5) + 2x\) (développer d'abord) (2 pts)

a) \(f'(x) = 6x^2 - 3x + 7\)

b) \(g(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\), donc \(g'(x) = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x^2 + 2x + 1) = 3(x+1)^2\).

c) \(h(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x\), donc \(h'(x) = 9x^2 - 10x + 2\).

Exercice 4 — Dérivée et résolution d'équation (6 points)

Un menuisier agenceur fabrique des boîtes de rangement ouvertes à partir de plaques rectangulaires de 30 cm × 24 cm, en découpant des carrés de côté \(x\) (en cm) aux quatre coins.

  1. Montrer que le volume de la boîte est \(V(x) = 4x^3 - 108x^2 + 720x\). (1 pt)
  2. Calculer \(V'(x)\). (1 pt)
  3. Résoudre \(V'(x) = 0\). On pourra factoriser par \(12\). (2 pts)
  4. Parmi les solutions, laquelle est acceptable sachant que \(0 < x < 12\) ? Calculer le volume maximal. (2 pts)

1. \(V(x) = x(30-2x)(24-2x) = x(720 - 60x - 48x + 4x^2) = x(4x^2 - 108x + 720)\)

\(= \boxed{4x^3 - 108x^2 + 720x}\)

2. \(V'(x) = 12x^2 - 216x + 720\)

3. \(V'(x) = 0 \iff 12(x^2 - 18x + 60) = 0 \iff x^2 - 18x + 60 = 0\)

\(\Delta = 324 - 240 = 84\), \(\sqrt{84} = 2\sqrt{21} \approx 9{,}17\).

\(x_1 = \dfrac{18 - 2\sqrt{21}}{2} = 9 - \sqrt{21} \approx 4{,}42\) et \(x_2 = 9 + \sqrt{21} \approx 13{,}58\).

4. Seul \(x_1 \approx 4{,}42\) cm est dans \(]0\,;12[\).

\(V(4{,}42) \approx 4(86{,}35) - 108(19{,}54) + 720(4{,}42) \approx 345{,}4 - 2110{,}3 + 3182{,}4 \approx \boxed{1417{,}5 \text{ cm}^3}\).

Sujet B

Exercice 1 — Reconnaître un polynôme de degré 3 (4 points)

Pour chaque expression, déterminer s'il s'agit d'un polynôme de degré 3. Si oui, donner sa forme développée \(ax^3+bx^2+cx+d\). Si non, justifier.

  1. \(f(x) = (3x+1)(x^2-2x+4)\)
  2. \(g(x) = 2x^3 - (2x-1)^3\)
  3. \(h(x) = (x+3)^3\)
  4. \(k(x) = x^2(2x-1) - 2x^3\)

a) \(f(x) = (3x+1)(x^2-2x+4) = 3x^3 - 6x^2 + 12x + x^2 - 2x + 4 = 3x^3 - 5x^2 + 10x + 4\) → OUI, degré 3.

b) \(g(x) = 2x^3 - (8x^3 - 12x^2 + 6x - 1) = -6x^3 + 12x^2 - 6x + 1\) → OUI, degré 3.

c) \(h(x) = (x+3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27\) → OUI, degré 3.

d) \(k(x) = 2x^3 - x^2 - 2x^3 = -x^2\) → NON, les \(x^3\) se simplifient, c'est un polynôme de degré 2.

Exercice 2 — Coefficients et calcul d'images (5 points)

Soit \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) un polynôme de degré 3 tel que :

\(f(0) = -3\), \quad \(f(1) = 1\), \quad \(f(-1) = -5\), \quad \(f(2) = 9\).

  1. En utilisant \(f(0)\), déterminer la valeur de \(d\). (1 pt)
  2. En utilisant \(f(1)\) et \(f(-1)\), montrer que \(b = 1\) et que \(a + c = 3\). (2 pts)
  3. En utilisant \(f(2)\), déterminer \(a\) et \(c\). (2 pts)

1. \(f(0) = d = -3\), donc \(\boxed{d = -3}\).

2.

  • \(f(1) = a + b + c - 3 = 1\), donc \(a + b + c = 4\) ... (I)
  • \(f(-1) = -a + b - c - 3 = -5\), donc \(-a + b - c = -2\) ... (II)

En additionnant (I) et (II) : \(2b = 2\), donc \(\boxed{b = 1}\).

En soustrayant (II) de (I) : \(2a + 2c = 6\), donc \(\boxed{a + c = 3}\).

3. \(f(2) = 8a + 4(1) + 2c - 3 = 8a + 2c + 1 = 9\), donc \(8a + 2c = 8\), soit \(4a + c = 4\).

Or \(a + c = 3\), donc par soustraction : \(3a = 1\), soit \(\boxed{a = \dfrac{1}{3}}\) et \(c = 3 - \dfrac{1}{3} = \boxed{\dfrac{8}{3}}\).

Exercice 3 — Calculer des dérivées (5 points)

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = -3x^3 + \dfrac{5}{2}x^2 - 4x + 3\) (1 pt)
  2. \(g(x) = (x-2)^3\) (développer d'abord) (2 pts)
  3. \(h(x) = x^2(2x + 3) - x\) (développer d'abord) (2 pts)

a) \(f'(x) = -9x^2 + 5x - 4\)

b) \(g(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8\), donc \(g'(x) = 3x^2 - 12x + 12 = 3(x^2 - 4x + 4) = 3(x-2)^2\).

c) \(h(x) = 2x^3 + 3x^2 - x\), donc \(h'(x) = 6x^2 + 6x - 1\).

Exercice 4 — Dérivée et résolution d'équation (6 points)

Un installateur thermique fabrique un réservoir de stockage ouvert à partir d'une plaque métallique rectangulaire de 40 cm × 20 cm, en découpant des carrés de côté \(x\) (en cm) aux quatre coins.

  1. Montrer que le volume du réservoir est \(V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 800x\). (1 pt)
  2. Calculer \(V'(x)\). (1 pt)
  3. Résoudre \(V'(x) = 0\). On pourra factoriser par \(12\). (2 pts)
  4. Parmi les solutions, laquelle est acceptable sachant que \(0 < x < 10\) ? Calculer le volume maximal. (2 pts)

1. \(V(x) = x(40-2x)(20-2x) = x(800 - 80x - 40x + 4x^2) = x(4x^2 - 120x + 800)\)

\(= \boxed{4x^3 - 120x^2 + 800x}\)

2. \(V'(x) = 12x^2 - 240x + 800\)

3. \(V'(x) = 0 \iff 4(3x^2 - 60x + 200) = 0 \iff 3x^2 - 60x + 200 = 0\)

\(\Delta = 3600 - 2400 = 1200\), \(\sqrt{1200} = 20\sqrt{3} \approx 34{,}64\).

\(x_1 = \dfrac{60 - 20\sqrt{3}}{6} = 10 - \dfrac{10\sqrt{3}}{3} \approx 4{,}23\) et \(x_2 = 10 + \dfrac{10\sqrt{3}}{3} \approx 15{,}77\).

4. Seul \(x_1 \approx 4{,}23\) cm est dans \(]0\,;10[\).

\(V(4{,}23) \approx 4(75{,}6) - 120(17{,}9) + 800(4{,}23) \approx 302{,}4 - 2148 + 3384 \approx \boxed{1539 \text{ cm}^3}\).