Fonctions polynômes de degré 3 | Terminale Bac Pro | Mathématiques
Capacités et connaissances du programme :
C1 — Calculer des images par \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) et construire un tableau de valeurs
C2 — Calculer la dérivée d'une fonction polynôme de degré 3
C3 — Dresser le tableau de variations à partir du signe de \(f'\)
C4 — Déterminer les extremums locaux (maximum, minimum) d'une fonction polynôme
C5 — Résoudre des problèmes d'optimisation en contexte professionnel
C6 — Étudier la fonction cube ; déterminer le nombre de solutions de \(f(x) = c\)
C1 — Calculer des images et construire un tableau de valeurs
Rappel de cours
Une fonction polynôme de degré 3 a la forme \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) avec \(a \neq 0\). Pour calculer une image \(f(k)\), remplacer \(x\) par la valeur \(k\) et effectuer les calculs en respectant les priorités opératoires (puissances d'abord, puis multiplications, puis additions).
Exercice 1
Soit \(f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1\). Calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(-1)\) et \(f(2)\).
Un menuisier modélise le volume (en dm³) d'une pièce de bois usinée par :
\(V(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 10\) où \(x\) est en dm.
Calculer \(V(1)\), \(V(2)\) et \(V(3)\). Interpréter chaque résultat.
Interprétation : lorsque la valeur du paramètre de fraisage vaut 1 dm, le volume est de 10 dm³ ; pour \(x = 2\) dm, il descend à 8 dm³ (creux), puis remonte à 10 dm³ pour \(x = 3\) dm.
Exercice 4
Soit \(h(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 4\). Vérifier que \(h(1) = 0\), puis calculer \(h(0)\), \(h(2)\) et \(h(4)\).
\(h(1) = -1 + 6 - 9 + 4 = 0\) ✔ (1 est bien une racine de \(h\))
C2 — Calculer la dérivée d'une fonction polynôme de degré 3
À retenir — Formule de dérivation
Si \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), alors \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\). Règle terme à terme : \((ax^n)' = nax^{n-1}\), la constante \(d\) disparaît. La dérivée mesure le taux de variation instantané (pente de la tangente à la courbe).
Exercice 5
Rappel : si \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), alors \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\).
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
\(f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3\)
\(g(x) = 2x^3 - x + 7\)
\(h(x) = -x^3 + 4x^2 - 2\)
a) \(f'(x) = 3x^2 + 4x - 5\) b) \(g'(x) = 6x^2 - 1\) c) \(h'(x) = -3x^2 + 8x\)
Exercice 6
Soit \(p(x) = 3x^3 - 6x^2 + 12x - 4\).
1. Calculer \(p'(x)\).
2. Calculer \(p'(0)\) et \(p'(2)\).
3. Que représente \(p'(a)\) géométriquement ?
3. \(p'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(p\) au point d'abscisse \(a\). Il mesure la pente de la courbe en ce point.
Exercice 7
Un technicien chauffagiste modélise la puissance thermique (en kW) d'une installation par :
\(P(t) = 0{,}5t^3 - 3t^2 + 6t + 2\) où \(t\) est en heures (avec \(t \in [0;8]\)).
Calculer \(P'(t)\) puis évaluer \(P'(2)\) et interpréter ce résultat.
Interprétation : à \(t = 2\) heures, la puissance thermique atteint un extremum (le taux de variation instantané est nul). La puissance n'augmente ni ne diminue à cet instant précis.
Exercice 8
On donne \(f(x) = ax^3 + 2x^2 - 4x + 1\). Sachant que \(f'(1) = 5\), déterminer la valeur de \(a\).
On calcule \(f'(x) = 3ax^2 + 4x - 4\).
On évalue en \(x = 1\) :
\(f'(1) = 3a \times 1 + 4 \times 1 - 4 = 3a\)
On résout \(3a = 5\) :
\(a = \dfrac{5}{3}\)
C3 — Dresser le tableau de variations à partir du signe de \(f'\)
Rappel de cours
Le tableau de variations résume le sens de variation de \(f\) : si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle, \(f\) est croissante ; si \(f'(x) < 0\), \(f\) est décroissante. Les changements de signe de \(f'\) (racines de \(f'\)) indiquent les extremums locaux.
Exercice 9
Soit \(f(x) = x^3 - 3x + 2\), définie sur \(\mathbb{R}\).
1. Calculer \(f'(x)\).
2. Résoudre \(f'(x) = 0\).
3. Dresser le tableau de signe de \(f'(x)\) puis le tableau de variations de \(f\).
2. \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1\) ou \(x = 1\)
3. Tableau de signe de \(f'(x) = 3(x-1)(x+1)\) :
— Pour \(x < -1\) : \(f'(x) > 0\) (croissante)
— Pour \(-1 < x < 1\) : \(f'(x) < 0\) (décroissante)
— Pour \(x > 1\) : \(f'(x) > 0\) (croissante)
Valeurs aux extremums : \(f(-1) = 4\) (maximum local) et \(f(1) = 0\) (minimum local).
\(f\) est croissante sur \(]-\infty ; -1]\), décroissante sur \([-1 ; 1]\), croissante sur \([1 ; +\infty[\).
Exercice 10
Soit \(g(x) = -x^3 + 3x^2\), définie sur \(\mathbb{R}\).
Après avoir calculé \(g'(x)\) et résolu \(g'(x) = 0\), dresser le tableau de variations complet de \(g\).
\(g'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)\)
Résolution : \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) ou \(x = 2\)
\(k'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (racine double)
Signe de \(k'(x) = 6(x-1)^2\) : \((x-1)^2 \geq 0\) pour tout \(x\), donc \(k'(x) \geq 0\) partout. \(k'(x) = 0\) uniquement en \(x = 1\).
Conclusion : \(k\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) (avec une tangente horizontale en \(x = 1\) mais sans changement de monotonie). Il n'y a pas d'extremum.
Exercice 12
Un installateur thermique suit l'évolution d'un débit (en L/h) modélisé par :
\(D(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 4\) pour \(t \in [0 ; 5]\).
Calculer \(D'(t)\), résoudre \(D'(t) = 0\) sur \([0;5]\) et dresser le tableau de variations de \(D\).
C4 — Déterminer les extremums locaux d'une fonction polynôme
À retenir
En un point où \(f'(x_0) = 0\) : si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) en \(x_0\), alors \(f(x_0)\) est un maximum local ; si \(f'\) passe de \(-\) à \(+\), alors \(f(x_0)\) est un minimum local ; si \(f'\) ne change pas de signe, il n'y a pas d'extremum (point d'inflexion).
Exercice 13
Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\), définie sur \(\mathbb{R}\).
1. Calculer \(f'(x)\) et résoudre \(f'(x) = 0\).
2. Déterminer les coordonnées des extremums locaux de \(f\).
3. Préciser pour chacun s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum local.
2. \(f(-1) = -1 - 3 + 9 + 2 = 7\) → extremum local en \((-1 ; 7)\)
\(f(3) = 27 - 27 - 27 + 2 = -25\) → extremum local en \((3 ; -25)\)
3. \(f'(x)\) passe de \(+\) à \(-\) en \(x = -1\) : maximum local de valeur 7.
\(f'(x)\) passe de \(-\) à \(+\) en \(x = 3\) : minimum local de valeur −25.
Exercice 14
Soit \(g(x) = -2x^3 + 6x^2 - 4\), définie sur \(\mathbb{R}\).
Déterminer les extremums locaux de \(g\) et préciser leur nature.
\(g'(x) = -6x^2 + 12x = -6x(x - 2)\)
\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) ou \(x = 2\)
\(g(0) = -4\) → \(g'\) passe de \(-\) à \(+\) : minimum local en \((0; -4)\)
\(g(2) = -16 + 24 - 4 = 4\) → \(g'\) passe de \(+\) à \(-\) : maximum local en \((2; 4)\)
Exercice 15
Un artisan menuisier modélise le profit mensuel (en centaines d'euros) en fonction du nombre \(x\) de meubles produits (par dizaines) par :
\(P(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 4\) pour \(x \in [0 ; 5]\).
Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) le profit est localement maximal, et calculer ce maximum.
Conclusion : le profit est localement maximal pour \(x = 3\) (soit 30 meubles), avec un profit de 4 centaines d'euros = 400 €.
Exercice 16
On considère \(f(x) = x^3 - 12x\), définie sur \([-4 ; 4]\).
1. Déterminer les extremums locaux de \(f\) sur cet intervalle.
2. Comparer les valeurs en \(x = -4\), aux extremums et en \(x = 4\) pour identifier le maximum et minimum absolus sur \([-4;4]\).
\(f(-2) = -8 + 24 = 16\) : maximum local
\(f(2) = 8 - 24 = -16\) : minimum local
2. Valeurs aux bornes : \(f(-4) = -64 + 48 = -16\) et \(f(4) = 64 - 48 = 16\)
Maximum absolu sur \([-4;4]\) : 16, atteint en \(x = -2\) et \(x = 4\). Minimum absolu sur \([-4;4]\) : −16, atteint en \(x = 2\) et \(x = -4\).
C5 — Résoudre des problèmes d'optimisation en contexte professionnel
Rappel de cours
Démarche d'optimisation : (1) exprimer la quantité à optimiser (volume, coût, profit…) comme une fonction \(f(x)\) ; (2) calculer \(f'(x)\) ; (3) résoudre \(f'(x) = 0\) sur le domaine ; (4) vérifier que c'est bien un maximum ou minimum (signe de \(f'\)) ; (5) conclure dans le contexte avec l'unité appropriée.
Exercice 17
Un fabricant de meubles produit des boîtes de rangement sans couvercle à partir d'une plaque carrée de 30 cm de côté. On découpe des petits carrés de côté \(x\) cm aux quatre coins, puis on rabat les bords.
Le volume de la boîte est : \(V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x\) pour \(x \in ]0 ; 15[\).
Plaque carrée de 30 cm — on découpe des carrés de côté \(x\) aux 4 coins puis on plie
1. Calculer \(V'(x)\).
2. Résoudre \(V'(x) = 0\) sur \(]0;15[\).
3. Déterminer la valeur de \(x\) qui maximise le volume et calculer ce volume maximum.
2. Discriminant : \(\Delta = 400 - 300 = 100\)
\(x_1 = \dfrac{20 - 10}{2} = 5\) et \(x_2 = \dfrac{20 + 10}{2} = 15\)
Seul \(x = 5\) est dans \(]0;15[\).
3. \(V'(x)\) passe de \(+\) à \(-\) en \(x = 5\) → maximum.
\(V(5) = 4(125) - 120(25) + 900(5) = 500 - 3000 + 4500 = 2000\ \text{cm}^3\)
Conclusion : pour maximiser le volume, il faut découper des carrés de 5 cm de côté. Le volume maximum est 2 000 cm³.
Exercice 18
Un technicien chauffagiste installe des capteurs solaires. La quantité d'énergie récupérée (en kWh) au cours d'une journée est modélisée par :
\(E(t) = -0{,}1t^3 + 1{,}5t^2 + 2t\) pour \(t \in [0 ; 12]\) (en heures depuis le lever du soleil).
1. Calculer \(E'(t)\).
2. Résoudre \(E'(t) = 0\) sur \([0;12]\) (on admettra une solution approchée à 0,1 près).
3. Conclure sur l'heure de rendement maximal.
3. \(E'(t)\) passe de \(+\) à \(-\) en \(t \approx 10{,}6\) → maximum d'énergie récupérée vers 10h36 après le lever du soleil.
Exercice 19
Un poseur de cuisines cherche à minimiser les coûts de transport d'une commande. Le coût total (en euros) en fonction du nombre \(x\) de livraisons hebdomadaires est :
\(C(x) = 2x^3 - 18x^2 + 48x + 10\) pour \(x \in [1 ; 7]\).
Déterminer le nombre de livraisons qui minimise le coût. Calculer ce coût minimum.
Conclusion : le coût est minimal pour 4 livraisons par semaine, avec un coût de 42 €.
Exercice 20
Un atelier d'agencement fabrique des étagères modulables. La marge bénéficiaire journalière (en euros) en fonction du nombre \(x\) d'étagères produites est modélisée par :
\(M(x) = -x^3 + 9x^2 - 15x - 7\) pour \(x \in [0 ; 8]\).
1. Calculer \(M'(x)\).
2. Résoudre \(M'(x) = 0\).
3. Déterminer le nombre d'étagères à produire pour maximiser la marge. Calculer cette marge maximale.
2. \(M'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) ou \(x = 5\)
3. Signe de \(M'(x)\) sur \([0;8]\) :
— \(0 \leq x < 1\) : \(M'(x) < 0\)
— \(1 < x < 5\) : \(M'(x) > 0\)
— \(5 < x \leq 8\) : \(M'(x) < 0\)
Minimum local en \(x = 1\), maximum local en \(x = 5\).
\(M(5) = -125 + 225 - 75 - 7 = 18\)
Conclusion : en produisant 5 étagères par jour, la marge est maximale : 18 €.
C6 — Fonction cube ; nombre de solutions de \(f(x) = c\)
À retenir
\(f(x) = x^3\) : dérivée \(f'(x) = 3x^2 \geq 0\), strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). \(f'(0)=0\) mais pas d'extremum (point d'inflexion).
Exercice 21
Soit \(f(x) = x^3\). Calculer \(f'(x)\), dresser le tableau de variations. \(f'(0)=0\) : y a-t-il un extremum en 0 ?
\(f'(x) = 3x^2 \geq 0\) toujours. \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\). En 0 : pas d'extremum car \(f'\) ne change pas de signe (point d'inflexion).
Exercice 22
\(f(x) = x^3 - 3x + 2\) : max local 4 en \(x=-1\), min local 0 en \(x=1\). Nombre de solutions de \(f(x)=5\), \(f(x)=2\), \(f(x)=0\), \(f(x)=-3\) ?
\(c=5>4\) (au-dessus du max) → 1 solution. \(c=2\) (entre min et max) → 3 solutions. \(c=0\) (= min) → 2 solutions. \(c=-3<0\) (sous le min) → 1 solution.