Chapitre 4 – Polynômes du 3ème degré et dérivées | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Un sauteur à ski quitte un tremplin avec une vitesse et un angle initiaux. Sa trajectoire est modélisée (avec frottements de l'air et portance asymétrique) par la fonction :
h(x) = −0,01 x³ + 0,15 x² + 0,5 x + 5
pour x ∈ [0 ; 20] mètres horizontaux après le tremplin
x = 0 : sortie du tremplin (hauteur 5 m). h(x) = hauteur du skieur en mètres.
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (étude des variations) et §4 (tableau de variations).
Calculer h(0), h(5), h(10), h(15), h(20). Décrire l'allure de la trajectoire.
Hauteur croît jusqu'à 10-15 m horizontaux, puis décroît rapidement. Atterrissage à 5 m sous le départ (pente descendante).
Calculer h'(x).
h'(x) = 3 × (−0,01) x² + 2 × 0,15 × x + 0,5 = −0,03 x² + 0,30 x + 0,5.
Résoudre h'(x) = 0 dans l'intervalle [0 ; 20].
−0,03 x² + 0,30 x + 0,5 = 0 → 0,03 x² − 0,30 x − 0,5 = 0 (× −1).
Δ = 0,30² − 4 × 0,03 × (−0,5) = 0,09 + 0,06 = 0,15.
√Δ ≈ 0,387.
x = (0,30 ± 0,387) / (2 × 0,03) = (0,30 ± 0,387) / 0,06.
x₁ = 0,687 / 0,06 ≈ 11,45 ou x₂ = −0,087 / 0,06 ≈ −1,45 (rejeté car < 0).
Maximum atteint à x ≈ 11,5 m horizontaux.
Calculer h(11,5) (hauteur maximale).
h(11,5) = −0,01 × 11,5³ + 0,15 × 11,5² + 0,5 × 11,5 + 5
= −0,01 × 1 521 + 0,15 × 132 + 5,75 + 5
= −15,21 + 19,84 + 5,75 + 5 = 15,38 m ≈ 15,4 m.
Le sauteur atteint donc 15,4 m de hauteur maximale, soit 10,4 m au-dessus du tremplin.
Construire le tableau de variations de h sur [0 ; 20].
| x | 0 | ... | 11,5 | ... | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| h'(x) | +0,5 | + | 0 | − | −2,5 |
| h(x) | 5 | ↗ | 15,4 (max) | ↘ | −5 |
Le sauteur monte jusqu'à x = 11,5 m, atteint 15,4 m, puis descend pour atterrir à x = 20 m, 10 m plus bas que son point culminant et 5 m plus bas que son point de départ.
À quelle distance horizontale le sauteur est-il revenu au niveau du départ (h = 5 m) ?
Résoudre h(x) = 5 → −0,01 x³ + 0,15 x² + 0,5 x + 5 = 5
−0,01 x³ + 0,15 x² + 0,5 x = 0 → x × (−0,01 x² + 0,15 x + 0,5) = 0
Solutions : x = 0 (départ) ou racines de −0,01 x² + 0,15 x + 0,5 = 0.
0,01 x² − 0,15 x − 0,5 = 0 → Δ = 0,0225 + 0,02 = 0,0425 → √Δ ≈ 0,206.
x = (0,15 + 0,206) / 0,02 ≈ 17,8 m.
Le sauteur revient au niveau du départ à 17,8 m, puis continue à descendre.
Quelle hypothèse simplificatrice ce modèle néglige-t-il par rapport à la réalité physique ?
Le modèle réel d'un saut à ski est gouverné par :
Le polynôme degré 3 est une approximation polynomiale qui capte ces effets composés.
Pour un saut sans portance (objet inerte), le degré serait 2 (parabole pure). Le degré 3 reflète la portance asymétrique : le skieur reste en l'air plus longtemps grâce à ses skis.
Rédiger en 5 lignes une note pour l'entraîneur, décrivant les caractéristiques de ce saut.
Analyse — Saut à ski (modèle h(x) = −0,01 x³ + 0,15 x² + 0,5 x + 5)
Caractéristiques du saut :
Saut classique de catégorie K90 (longueur de référence 90 m). Les valeurs sont compatibles avec une vitesse de sortie ~80-100 km/h. Pour optimiser, travailler la position aérodynamique pour augmenter la portance (allonger la phase de montée).
Trouver le point d'inflexion de h(x) (= changement de concavité). Indication : c'est là où h''(x) = 0.
h(x) = −0,01 x³ + 0,15 x² + 0,5 x + 5.
h'(x) = −0,03 x² + 0,30 x + 0,5.
h''(x) = −0,06 x + 0,30.
h''(x) = 0 → x = 0,30 / 0,06 = 5.
Au point d'inflexion (x = 5), la courbe change de concavité : avant elle « accélère vers le haut » (concave vers le bas), après elle « ralentit » (concave vers le bas plus marqué).
h(5) = 10 m. C'est le point où la vitesse de montée (h'(x) = +0,75 m/m) commence à diminuer.
En ski, ce point correspond au moment où la portance des skis commence à être insuffisante pour compenser la gravité.