Chapitre 4 – Polynômes du 3ème degré et dérivées | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Mis à jour le 5 octobre 2026
On étudie une trajectoire fictive inspirée du saut à ski. Ce modèle mathématique sert à travailler les variations ; il n'est pas validé physiquement pour un saut réel. La hauteur est donnée par :
h(x) = −0,01 x³ + 0,15 x² + 0,5 x + 5
pour x ∈ [0 ; 20] mètres horizontaux après le tremplin
x = 0 : sortie du tremplin (hauteur 5 m). h(x) = hauteur en mètres par rapport à un niveau de référence. On suppose une réception au point x = 20 m, de hauteur −5 m.
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (étude des variations) et §4 (tableau de variations).
Calculer h(0), h(5), h(10), h(15), h(20). Décrire l'allure de la trajectoire.
Hauteur croît jusqu'à 10-15 m horizontaux, puis décroît rapidement. Atterrissage à 5 m sous le départ (pente descendante).
Calculer h'(x).
h'(x) = 3 × (−0,01) x² + 2 × 0,15 × x + 0,5 = −0,03 x² + 0,30 x + 0,5.
Résoudre h'(x) = 0 dans l'intervalle [0 ; 20].
Le solveur de degré 2 (coefficients −0,03 ; 0,30 ; 0,5) donne environ −1,45497 et 11,45497. Seule la seconde racine, notée α, appartient à [0 ; 20].
La dérivée est positive avant α et négative après : h atteint son maximum en α ≈ 11,45 m.
Calculer h(11,5) pour approcher la hauteur maximale.
h(11,5) = −15,20875 + 19,8375 + 5,75 + 5 = 15,37875 m.
La hauteur maximale est donc proche de 15,4 m, soit environ 10,4 m au-dessus du départ.
Construire le tableau de variations de h sur [0 ; 20].
Le sauteur monte jusqu'à x = α ≈ 11,45 m, atteint 15,4 m, puis descend pour atterrir à x = 20 m, environ 20,4 m plus bas que son point culminant et 10 m plus bas que son point de départ.
À quelle distance horizontale le sauteur est-il revenu au niveau du départ (h = 5 m) ?
h(x) = 5 équivaut à x(−0,01x² + 0,15x + 0,5) = 0.
Le départ x = 0 est une solution. Le solveur du second facteur donne environ −2,80776 et 17,80776.
Le retour au niveau du départ a donc lieu pour x ≈ 17,8 m.
Pourquoi ce polynôme, à lui seul, ne permet-il pas de valider la trajectoire d'un saut réel ?
Les coefficients sont fournis pour un exercice et ne proviennent pas de mesures. Le degré 3 ne démontre ni un effet de portance, ni une vitesse de départ.
Une validation physique demanderait des données et un modèle adapté. Les résultats obtenus ici décrivent uniquement la fonction donnée sur [0 ; 20].
Rédiger en 5 lignes une note pour l'entraîneur, décrivant les caractéristiques de ce saut.
Le modèle part de 5 m et atteint environ 15,4 m à 11,45 m horizontalement. Il revient au niveau de départ vers 17,8 m. La réception supposée est en x = 20 m, à −5 m, soit 10 m sous le départ. Ces résultats sont mathématiques ; ils ne déterminent ni une catégorie de tremplin ni une vitesse réelle.
Complément facultatif : h'' désigne la dérivée de h'. Pour ce polynôme de degré 3, le point d'inflexion est celui où h'' s'annule en changeant de signe. Le déterminer.
h''(x) = −0,06x + 0,30, donc h''(x) = 0 pour x = 5. Le signe passe de + à − : la courbe est convexe avant 5 puis concave après 5.
Le point d'inflexion est (5 ; 10). La pente h'(5) = −0,75 + 1,5 + 0,5 = 1,25. Comme x est une distance et non le temps, h' n'est pas une vitesse.