Chapitre 4 – Polynômes du 3ème degré et dérivées | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
L'atelier de Sami fabrique des boîtes en carton à partir de feuilles carrées de 60 × 60 cm. La technique : découper 4 carrés identiques de côté x dans les coins, puis plier pour former une boîte ouverte (sans couvercle).
Volume de la boîte : V(x) = (longueur × largeur × hauteur)
V(x) = (60 − 2x) × (60 − 2x) × x = x × (60 − 2x)²
En développant : V(x) = x × (3 600 − 240 x + 4 x²) = 4 x³ − 240 x² + 3 600 x
Domaine de validité : 0 < x < 30 (x = 30 donne une boîte de fond nul).
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (polynôme degré 3) et §3 (optimisation par dérivation).
Calculer V(x) pour x = 5, 10, 15, 20 cm.
Le volume augmente puis diminue. Maximum entre x = 5 et x = 15, plus précisément autour de 10.
Calculer V'(x) (dérivée).
V(x) = 4 x³ − 240 x² + 3 600 x.
V'(x) = 12 x² − 480 x + 3 600 = 12 × (x² − 40 x + 300).
Résoudre V'(x) = 0 pour trouver les valeurs critiques.
V'(x) = 0 → x² − 40 x + 300 = 0.
Δ = 40² − 4 × 300 = 1 600 − 1 200 = 400 → √Δ = 20.
x = (40 ± 20) / 2 → x₁ = 10 ou x₂ = 30.
x = 30 donne V = 0 (boîte sans fond) → c'est un minimum local au bord.
x = 10 est donc le maximum recherché.
Calculer V(10) et donner le résultat en litres.
V(10) = 10 × (60 − 20)² = 10 × 40² = 10 × 1 600 = 16 000 cm³.
Conversion : 16 000 cm³ = 16 L (puisque 1 L = 1 000 cm³).
Dimensions de la boîte : 40 × 40 × 10 cm.
Vérifier sur le graphique que x = 10 est bien un maximum (et non un autre point).
Tableau de variations :
| x | 0 | ... | 10 | ... | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| V'(x) | + | + | 0 | − | 0 |
| V(x) | 0 | ↗ | 16 000 | ↘ | 0 |
V'(x) > 0 pour x < 10, V'(x) < 0 pour x > 10 → x = 10 est maximum local et global.
Maximum confirmé. V_max = 16 L.
Sur une feuille L × L (L = 60 cm), le maximum est à x = L/6 (= 10 cm). Vérifier cette propriété générale et calculer pour L = 120 cm.
Pour une feuille L × L, V(x) = x(L − 2x)².
V'(x) = (L − 2x)² + x × 2(L − 2x)(−2) = (L − 2x) × (L − 2x − 4x) = (L − 2x)(L − 6x).
V'(x) = 0 → x = L/2 (= boîte plate, V=0) ou x = L/6 = maximum.
Pour L = 120 cm : x_max = 120/6 = 20 cm. V_max = 20 × 80² = 128 000 cm³ = 128 L.
Conclusion : la règle x = L/6 est universelle pour ce type de problème. À retenir !
Sami veut fabriquer des boîtes de 12 L (volume cible). À partir d'une feuille 60×60, est-ce possible ? Quelle valeur de x ?
12 L = 12 000 cm³. Résoudre 4 x³ − 240 x² + 3 600 x = 12 000.
Soit x³ − 60 x² + 900 x − 3 000 = 0.
Solutions numériques (par essais) :
Pour obtenir 12 L : x ≈ 4,7 cm (boîte basse et large) ou x ≈ 17 cm (boîte haute et étroite).
Choix selon l'usage. Boîte basse plus stable, boîte haute mieux pour les objets longs.
Rédiger en 5 lignes une fiche technique pour l'atelier sur le dimensionnement optimal de boîtes carton.
Fiche technique — Dimensionnement de boîtes carton
1. Pour une feuille L×L, le volume maximal est obtenu en découpant des coins de côté x = L/6.
2. Volume maximum : V_max = (L/6) × (4L/6)² = 4 L³/54 ≈ L³ / 13,5.
3. Exemple : feuille 60×60 → x = 10 cm, boîte 40×40×10 = 16 L.
4. Pour une boîte de volume cible < max : 2 solutions (basse-large ou haute-étroite). Choisir selon usage.
5. Pour une boîte rectangulaire (feuille L×W non carrée), refaire le calcul cas par cas.
Sami a une feuille rectangulaire 80 × 50 cm. Calculer la valeur optimale de x et le volume maximal de la boîte.
V(x) = (80 − 2x)(50 − 2x)x = x × (4 000 − 260 x + 4 x²) = 4 x³ − 260 x² + 4 000 x.
V'(x) = 12 x² − 520 x + 4 000.
Δ = 520² − 4 × 12 × 4 000 = 270 400 − 192 000 = 78 400 → √Δ ≈ 280.
x = (520 ± 280) / 24 → x₁ ≈ 33,3 (rejeté car > 25 = mi-largeur) ou x₂ ≈ 10 cm.
V(10) = 10 × 60 × 30 = 18 000 cm³ = 18 L.
Boîte de 60 × 30 × 10 cm. Pour une feuille rectangulaire, la règle x = L/6 ne s'applique pas directement.