Chapitre 4 – Polynômes du 3ème degré et dérivées | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Mis à jour le 5 octobre 2026
L'atelier de Sami fabrique des boîtes en carton à partir de feuilles carrées de 60 × 60 cm. La technique : découper 4 carrés identiques de côté x dans les coins, puis plier pour former une boîte ouverte (sans couvercle).
Volume de la boîte : V(x) = (longueur × largeur × hauteur)
V(x) = (60 − 2x) × (60 − 2x) × x = x × (60 − 2x)²
En développant : V(x) = x × (3 600 − 240 x + 4 x²) = 4 x³ − 240 x² + 3 600 x
Domaine de validité : 0 < x < 30 (x = 30 donne une boîte de fond nul).
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (polynôme degré 3) et §3 (optimisation par dérivation).
Calculer V(x) pour x = 5, 10, 15, 20 cm.
Le volume augmente puis diminue. Maximum entre x = 5 et x = 15, plus précisément autour de 10.
Calculer V'(x) (dérivée).
V(x) = 4 x³ − 240 x² + 3 600 x.
V'(x) = 12 x² − 480 x + 3 600 = 12 × (x² − 40 x + 300).
Résoudre V'(x) = 0 pour trouver les valeurs critiques.
V'(x) = 12(x−10)(x−30). Le produit est nul pour x = 10 ou x = 30 ; 30 est exclu du domaine ]0 ; 30[.
V' est positive sur ]0 ; 10[ et négative sur ]10 ; 30[. Le volume atteint donc son maximum pour x = 10 cm.
Calculer V(10) et donner le résultat en litres.
V(10) = 10 × (60 − 20)² = 10 × 40² = 10 × 1 600 = 16 000 cm³.
Conversion : 16 000 cm³ = 16 L (puisque 1 L = 1 000 cm³).
Dimensions de la boîte : 40 × 40 × 10 cm.
Vérifier sur le graphique que x = 10 est bien un maximum (et non un autre point).
Tableau de variations :
V'(x) > 0 pour x < 10, V'(x) < 0 pour x > 10 → x = 10 est maximum local et global.
Maximum confirmé. V_max = 16 L.
Sur une feuille L × L (L = 60 cm), le maximum est à x = L/6 (= 10 cm). Vérifier cette propriété générale et calculer pour L = 120 cm.
Pour L > 0 et 0 < x < L/2, on développe : V(x) = 4x³ − 4Lx² + L²x.
En dérivant terme à terme : V'(x) = 12x² − 8Lx + L² = (L−2x)(L−6x).
Le premier facteur est positif dans le domaine. Le second passe de + à − en L/6 : le volume y atteint son maximum.
Pour L = 120 cm : x = 20 cm et V(20) = 20 × 80² = 128 000 cm³ = 128 L.
Sami veut fabriquer des boîtes de 12 L (volume cible). À partir d'une feuille 60×60, est-ce possible ? Quelle valeur de x ?
Il faut résoudre 4x³ − 240x² + 3 600x = 12 000 dans ]0 ; 30[.
Le solveur donne x ≈ 4,67911 cm et x ≈ 16,52704 cm, soit 4,68 cm et 16,53 cm au centième.
Il y a une solution sur chacune des deux branches de la courbe, car 12 000 est strictement entre 0 et le maximum 16 000. Le volume est proche de 12 litres pour chacune de ces découpes arrondies.
Rédiger en 5 lignes une fiche technique pour l'atelier sur le dimensionnement optimal de boîtes carton.
Fiche technique — Dimensionnement de boîtes carton
1. Pour une feuille L×L, le volume maximal est obtenu en découpant des coins de côté x = L/6.
2. Volume maximum : V_max = (L/6) × (4L/6)² = 4 L³/54 = L³ / 13,5.
3. Exemple : feuille 60×60 → x = 10 cm, boîte 40×40×10 = 16 L.
4. Pour une boîte de volume cible strictement positif et inférieur au maximum : 2 solutions (basse-large ou haute-étroite). Choisir selon usage.
5. Pour une boîte rectangulaire (feuille L×W non carrée), refaire le calcul cas par cas.
Sami a une feuille rectangulaire 80 × 50 cm. Calculer la valeur optimale de x et le volume maximal de la boîte.
Sur ]0 ; 25[, V(x) = 4x³ − 260x² + 4 000x et V'(x) = 12x² − 520x + 4 000 = 4(3x−100)(x−10).
Les racines sont 10 et 100/3 ; seule 10 appartient au domaine. V' est positive avant 10 et négative après : le maximum est atteint en 10.
V(10) = 10 × 60 × 30 = 18 000 cm³ = 18 L. La boîte mesure 60 × 30 × 10 cm.